湘教版八年级数学下册 1.4.1 角平分线的性质与判定（Word版 含答案）

1.4.1 角平分线的性质与判定
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
3．如图，已知BD是∠ABC的平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(　D　)
A．6 B．5
C．4 D．3
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　　)
A．6 B．4
C．3 D．1
5．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB的两边的距离相等的点是(　　)
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
6.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．24 B．30 C．36 D．42

7.【教材改编题】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，则△ADC的面积为(　　)
A．3 B．10
C．12 D．15

8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的结论是(　　)
A．①②③ B．②③
C．①③ D．①
9．【中考·永州】如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F.若DE＝2，则DF＝________．
10．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝_______．
11.【中考·湘潭】如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为________．
12．【中考·福建】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．
求证：(1)AM⊥DM； (2)M为BC的中点．

14．如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB＝AD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．

15．【中考·长春】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC．
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证： DB＝DC．

已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B，D分别在AN，AM上．

(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明；
(2)如图②，若∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
1.4.1 角平分线的性质与判定
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(　D　)
A．2 B．3
C．4 D．6
【点拨】∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝6.
2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是(　D　)
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
3．如图，已知BD是∠ABC的平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(　D　)
A．6 B．5
C．4 D．3
【点拨】∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC.
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，AB⊥AC，
∴∠ABD＝∠DBC，DE＝AD＝3.
又∵∠BAC＝90°，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，
∴CD＝2DE＝6，∴CE＝＝3 .
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( C　　)
A．6 B．4
C．3 D．1

【点拨】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝12，DC＝AD，
∴CD＝12×＝3.
∵CD⊥BC，ED⊥BE，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝3，即点D到AB的距离为3.
5．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB的两边的距离相等的点是(　A　)
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
6.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　B　)
A．24 B．30 C．36 D．42

【点拨】如图，过D作DH⊥AB交BA的延长线于H.
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30.
7.【教材改编题】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，则△ADC的面积为(　D　)
A．3 B．10
C．12 D．15

【点拨】过点D作DH⊥AC于H，如图．
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10.
∵AD为∠BAC的平分线，AB⊥BD，DH⊥AC，∴DB＝DH，
∵S△ADC＝AB·CD＝DH·AC，
∴6(8－DH)＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC＝×10×3＝15.
8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的结论是(　A　)
A．①②③ B．②③
C．①③ D．①
9．【中考·永州】如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F.若DE＝2，则DF＝___4_____．
【点拨】过D作DN⊥OB于点N.
∵∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，DE⊥OA，DN⊥OB，∴∠AOC＝∠COB＝30°，DN＝DE＝2.
∵DE⊥OA，∴∠DFO＝90°－60°＝30°，∴DF＝2DN＝4.
10．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝__150°._____．
【点拨】∵BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，
∴AD是∠BAC的平分线．
∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.
11.【中考·湘潭】如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为___3_____．
12．【中考·福建】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

解：如图，BQ就是∠ABC的平分线．
证明如下：过点A作AM⊥PQ于点M，则∠AMP＝∠AMQ＝90°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，
∴∠AQM＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQM.
∵∠BPD＝∠APM，∴∠APM＝∠AQM.在△APM和△AQM中，∴△APM≌△AQM(AAS)．∴AP＝AQ.
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．
求证：(1)AM⊥DM； (2)M为BC的中点．

证明：(1)∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°.
∴∠MAD＋∠ADM＝90°.
∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
(2)：如图，过M作MN⊥AD交AD于点N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.
又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，即M为BC的中点．
14．如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB＝AD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．

【点拨】本题利用角平分线的性质，
证S△ABC＝S△ACD，S△AEC＝S△CDF，从而得到结论．
解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥AD于点H.
∵AC为∠BAD的平分线，∴CG＝CH.∵AB＝AD，
∴S△ABC＝S△ACD＝S四边形ABCD.又∵AE＝DF，∴S△AEC＝S△CDF.
∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△CDF＋S△ACF＝S△ACD＝S四边形ABCD，
即四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．
15．【中考·长春】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC．
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证： DB＝DC．

【点拨】本题根据∠ACD与∠FCD是邻补角及
∠ABD＋∠ACD＝180°得出∠B＝∠FCD，再根据全等三角形的判定与性质得出结论．
证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC.
已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B，D分别在AN，AM上．

(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明；
(2)如图②，若∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：关系是AD＋AB＝AC.
证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAD＝∠CAB＝60°.
又∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝30°.
∴AD＝AB＝AC. ∴AD＋AB＝AC.
(2)：仍成立．
证明：如图，过点C作CE⊥AM于E，
CF⊥AN于F.
∵AC平分∠MAN，CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABC.
又∵∠CED＝∠CFB＝90°，
∴△CED≌△CFB.
∴ED＝FB，∴AD＋AB＝AE－ED＋AF＋FB＝AE＋AF.
由(1)易知AE＋AF＝AC. ∴AD＋AB＝AC.