湘教版八年级数学下册 1.4.2 三角形的角平分线（Word版含答案）

1.4.2 三角形的角平分线

1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　)
A．点M B．点N C．点P D．点Q
2．如图，在CD上找一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　)
A．线段CD的中点
B．过点O作CD的垂线段所得的垂足
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
3．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中(　　)
A．全部正确 B．仅①和②正确
C．仅①正确 D．仅①和③正确
4．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰在∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点处，上述结论中，正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，O为△ABC的三条角平分线的交点，OF⊥AB，OD⊥BC OE⊥AC，垂足分别为F，D，E，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边
AB，BC，AC的距离分别为(　　)
A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm
C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
6．【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(　　)
A．30° B．35° C．45° D．60°
7.【中考·滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：
①AC＝BD；
②∠AMB＝40°；
③OM平分∠BOC；
④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2 cm.若△ABC的周长是28 cm，则△ABC的面积是(　　)
A．22 cm2 B．25 cm2 C．28 cm2 D．56 cm2
9.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝(　　)
A．1：1：1 B．1：2：3
C．2：3：4 D．3：4：5
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于(　　)
A． cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
11．如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________．
12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连接AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H，若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝________．

13．如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.
求证：OP平分∠AOB．
14.(1)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2.求证：OB＝OC．
(2)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC；求证：∠1＝∠2.
15．【教材改编题】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG相交于O.求证：点O到AB，BC，AC的距离相等．

16．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC．
(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
17．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC．求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；

1.4.2 三角形的角平分线

1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　A　)
A．点M B．点N C．点P D．点Q
2．如图，在CD上找一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　C　)
A．线段CD的中点
B．过点O作CD的垂线段所得的垂足
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
3．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中(　B　)
A．全部正确 B．仅①和②正确
C．仅①正确 D．仅①和③正确
4．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰在∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点处，上述结论中，正确的有(　D　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，O为△ABC的三条角平分线的交点，OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为F，D，E，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，
AC＝6 cm，则点O到三边
AB，BC，AC的距离分别为(　A　)
A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm
C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
6．【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(　B　)
A．30° B．35° C．45° D．60°
7.【中考·滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：
①AC＝BD；
②∠AMB＝40°；
③OM平分∠BOC；
④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为(　B　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】由SAS证明△AOC≌△BOD，得出AC＝BD，故①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得∠AMB＋∠OAC＝∠AOB＋∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正确；
过点O作OG⊥MC于点G，作OH⊥MB于点H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由全等三角形的性质得出∠OCG＝∠ODH，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG＝OH，由角平分线的性质定理的逆定理可得MO平分∠BMC，故④正确；由已知条件不能得到OM平分∠BOC，故③错误．
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2 cm.若△ABC的周长是28 cm，则△ABC的面积是(　C　)
A．22 cm2 B．25 cm2 C．28 cm2 D．56 cm2
【点拨】∵O为△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，∴O到AB，BC，CA边的距离相等，均等于OD的长，∴S△ABC＝BC·OD＋AC·OD＋AB·OD＝OD·(BC＋AC＋AB)＝×2×28＝28(cm2)．
9.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝(　C　)
A．1：1：1 B．1：2：3
C．2：3：4 D．3：4：5
【点拨】∵O是△ABC三条角平分线的交点，∴O到AB，BC，AC的距离相等．∵AB，BC，AC的长分别为12，18，24，∴S△OAB:S△OBC:S△OAC＝AB:BC:AC＝12:18:24＝2:3:4.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于(　C　)
A． cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
【点拨】∵ED⊥AB，∠A＝30°，∴DE＝AE＝3 cm.
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝3 cm.
11．如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若∠BAC＝70°，则∠BOC＝__125______．
12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连接AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H，若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝__10______．

【点拨】如图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OE⊥AB，OH⊥BC，∴OE＝OH＝5.
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝30°，∴AO＝2OE＝10.
13．如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.
求证：OP平分∠AOB．
【点拨】一条射线是否是角的平分线应根据这条射线上的某一点到角的两边距离是否相等，即到角两边的垂线段的长度是否相等来判定，而题中PA，PB不是到角两边的垂线段，故不能直接得出OP平分∠AOB.
证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F.
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO.
在△PAE和△PBF中，
∴△PAE≌△PBF(AAS)．∴PE＝PF.
∴OP为∠AOB的平分线，即OP平分∠AOB.
14.(1)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2.求证：OB＝OC．
(2)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC；求证：∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE.
在△OBD和△OCE中，
∴△OBD≌△OCE.∴OB＝OC.
(2)：在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE.∴OD＝OE.
又OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
15．【教材改编题】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG相交于O.求证：点O到AB，BC，AC的距离相等．

证明：如图，过点O作OM⊥AB交BA的延长线于M，作ON⊥BD交BD于N，作OH⊥AC交AC于H.
∵∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG相交于O，
∴ON＝OH，OM＝ON，
∴OM＝ON＝OH，
即点O到AB，BC，AC的距离相等．
16．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC．
(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.
(2)：AB＋AC＝2AE.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.
∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.
17．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC．求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；

证明：(1)如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，OE⊥AC，∴CO平分∠ACD.
(2)：在Rt△ABO和Rt△AEO中，∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．
∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.在Rt△OCE和Rt△OCD中，
∴Rt△OCE≌Rt△OCD(HL)．∴∠COD＝∠COE＝∠DOE.
∵∠AOC＝∠AOE＋∠COE，
∴∠AOC＝∠BOE＋∠DOE＝×180°＝90°.∴OA⊥OC.