5.3.3 平行线的性质与判定综合问题同步练习（含答案）

人教版七年级下册5.3.3平行线的性质与判定综合问题同步练习
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共20小题）
1．（2020秋?道里区期末）已知：如图，DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
证明：∵DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H（已知），
∴∠DGH＝∠EHF＝90°（　 　）．
∴DB∥EC（　 　）．
∴∠C＝　 　（　 　）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠D＝　 　（　 　）．
∴DF∥AC（　 　）．
∴∠A＝∠F（　 　）．
2．（2020秋?道外区期末）完成推理填空
如图，已知∠B＝∠D，∠BAE＝∠E．将证明∠AFC+∠DAE＝180°的过程填写完整．证明：∵∠BAE＝∠E，
∴　 　∥　 　（　 　）．
∴∠B＝∠　 　（　 　）．
又∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠　 　（等量代换）．
∴AD∥BC（　 　）．
∴∠AFC+∠DAE＝180°（　 　）．
3．（2020秋?长春期末）完成推理填空．
填写推理理由：
如图：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．
∵EF∥AD，
∴∠2＝　 　，（　 　）
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴AB∥　 　，（　 　）
∴∠BAC+　 　＝180°，（　 　）
又∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
4．（2020秋?叙州区期末）如图，A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上，且∠1＝∠2，∠C＝∠D，试完成下面证明∠A＝∠F的过程．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（　 　），
∴　 　（等量代换）
∴BD∥CE（　 　）
∴∠D+∠DEC＝180°（　 　），
又∵∠C＝∠D（　 　），
∴∠C+∠DEC＝180°（　 　），
∴　 　（　 　），
∴∠A＝∠F（　 　）．
5．（2020秋?德惠市期末）如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
试说明：∠A＝∠F．
请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵∠AGB＝∠DGF （　 　）
∠AGB＝∠EHF（已知）
∴∠DGF＝∠EHF （　 　）
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠D＝　 　（　 　）
∵∠D＝∠C（已知）
∴　 　＝∠C （　 　）
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠A＝∠F （　 　）
6．（2020秋?太原期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
7．（2020秋?肃州区期末）已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
8．（2020春?天河区校级期中）如图，已知AD∥EF，∠2＝50°．
（1）求∠3的度数；
（2）若∠1＝∠2，问：DG∥BA吗？请说明理由；
（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度数．
9．（2020秋?南岗区校级月考）已知：∠BDG+∠EFG＝180°，∠B＝∠DEF．
（1）如图1，求证：DE∥BC．
（2）如图2，当∠A＝∠EFG＝90°时，请直接写出与∠C互余的角．
10．（2019秋?市南区期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．
（1）请你判断∠1与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．
11．（2020秋?杨浦区校级期中）如图：AB∥CD，AE、DF分别是∠BAO、∠CDO的平分线，求证：AE∥DF．
12．（2020秋?香坊区校级期中）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
13．（2020秋?南岗区校级期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EF∥BH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
14．（2020春?津南区校级月考）已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．
证明：（1）GD∥AC；
（2）∠ADC＝90°．
15．（2020春?河口区期末）如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？
16．（2020春?汉阳区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝63°，求∠DEC的度数．
17．（2020秋?南岗区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
18．（2020秋?南岗区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．
19．（2020春?黄陂区期末）如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．
①如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；
②直接写出∠DPG的度数为　 　（结果用含α的式子表示）．
20．（2020春?汉阳区校级期中）（1）如图1，AB∥CD，点M为直线AB，CD所确定的平面内的一点，若∠A＝105°+α，∠M＝108°﹣α，请直接写出∠C的度数　 　；
（2）如图2，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，点E在直线CD上，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCE的平分线于M，若∠P＝30°，求∠AMC的度数；
（3）如图3，点P与直线AB，CD在同一平面内，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCD的平分线于M，若∠AMC＝180°-12∠P，求证：AB∥CD．
答案
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共20小题）
1．【解析】∵DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H（已知），
∴∠DGH＝∠EHF＝90°（垂直的定义），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DBA（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DBA，两直线平行，同位角相等；∠DBA，等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
2．【解析】证明：∵∠BAE＝∠E，
∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠BCE（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠BCE（等量代换）．
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AFC+∠DAE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：AB，DE，内错角相等，两直线平行；BCE，两直线平行，内错角相等；BCE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
3．【解析】∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．
4．【解析】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠3（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠D+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠C+∠DEC＝180°（等量代换），
∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；∠1＝∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；等量代换；DF∥AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
5．【解析】∵∠AGB＝∠DGF （对顶角相等）
∠AGB＝∠EHF（已知）
∴∠DGF＝∠EHF （等量代换）
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）
∴∠D＝∠CEF（两直线平行，同位角相等）
∵∠D＝∠C（已知）
∴∠CEF＝∠C （等量代换）
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠F （两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；∠CEF；两直线平行，同位角相等；∠CEF；等量代换；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
6．【解析】（1）DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×919=45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，
∴CD⊥AB．
7．【解析】证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠3，
∴∠A＝∠EBC＝∠E．
8．【解析】（1）∵AD∥EF，
∴∠3＝∠2＝50°；
（2）DG∥BA，理由如下：
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴DG∥BA；
（3）∵∠1＝∠2＝50°，∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴DG∥BA，
∴∠AGD＝∠CAB，
∵∠CAB＝∠DAG+∠3＝20°+50°＝70°，
∴∠AGD＝∠CAB＝70°．
9．【解析】（1）证明：∵∠EFD+∠EFG＝180°，
∠BDG+∠EFG＝180°，
∴∠BDG＝∠EFD，
∴BD∥EF，
∴∠BDE+∠DEF＝180°，
又∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE+∠B＝180°，
∴DE∥BC；
（2）解：∵∠A＝∠EFG＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，∠B+∠C＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠B＝∠DEF，
∴与∠C互余的角有∠B，∠ADE，∠DEF．
10．【解析】（1）∠1＝∠ABD，理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC∥DE，
∴∠3+∠CBD＝180°，
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝∠CBD，
∴CF∥DB，
∴∠1＝∠ABD．
（2）∵∠1＝70°，CF∥DB，
∴∠ABD＝70°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=12∠ABD＝35°，
∴∠2＝∠DBC＝35°，
又∵BC⊥AG，
∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．
11．【解析】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠CDO，
又∵AE、DF分别是∠BAO、∠CDO的平分线，
∴∠EAO=12∠BAO=12∠CDO＝∠FDO，
∴AE∥DF．
12．【解析】（1）AC∥EF．理由：
∵∠1＝∠BCE，
∴AD∥CE．
∴∠2＝∠4．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°．
∴EF∥AC．
（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2．
∵∠1＝72°，
∴∠2＝36°．
∵EF∥AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠E＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2
＝54°．
13．【解析】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，
∴EB∥HC．
∴∠EBH＝∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF＝180°，
∴∠EBH+∠BEF＝180°．
∴EF∥BH．
（2）∵∠HCO＝∠EBC，
∴∠HCO＝∠EBC＝64°，
∵BH平分∠EBO，
∴∠EBH＝∠CHB=12∠EBC＝32°．
∵EF⊥AO于F，EF∥BH，
∴∠BHA＝90°．
∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．
∵∠CHO＝180°﹣∠FHC
＝180°﹣122°
＝58°．
14．【解析】证明：（1）∵∠1＝∠C，
∴GD∥AC（同位角相等，两直线平行）；
（2）由（1）知，GD∥AC，
则∠2＝∠DAC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠DAC+∠3＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠ADC＝∠EFC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ADC＝90°．
15．【解析】∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即∠5＝∠6，
∴l∥m，
所以，进入潜望镜的光线l和离开潜望镜的光线m是平行的．
16．【解析】（1）DE∥BC．
理由：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C+∠DEC＝180°，
∵∠C＝63°，
∴∠DEC＝117°．
17．【解析】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x°）＝90°-12x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90-12x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
18．【解析】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠B＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点E作EP∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP，
∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，
∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，
∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，
即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF＝∠FAB=12∠EAB，
∵FH是∠CFG的平分线，
∴∠CFH＝∠HFG=12∠CFG，
∵CD∥AB，
∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，
设∠FAB＝α，∠CFH＝β，
∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，
∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB∥CD，
∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，
∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，
∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，
∴∠ECF＝∠CFG，
由（2）问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，
∴∠AEC＝2∠AFH，
∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，
∴∠AFH＝20°，
由（2）问知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM＝90°，
∴∠GHM＝90°﹣β，
过点M作MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，
∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，
由（2）问知：∠EAF＝∠FAB，
∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，
∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，
∴∠EAF+∠GMH＝70°．
19．【解析】（1）证明：∵∠AFC+∠AFD＝180°，∠AFC+α＝180°，
∴∠AFD＝α＝∠CDE，
∴AB∥DE；
（2）解：①如图即为补齐的图形，
∵∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P，
∴∠FDG＝2∠FDP＝2∠GDP，∠DGB＝2∠DGQ＝2∠BGQ，
由（1）知AB∥DE，
∴∠DFB＝180°﹣α＝180°﹣50°＝130°，
∵∠DGB＝∠FDG+∠DFG，
∴2∠DGQ＝2∠GDP+130°，
∴∠DGQ＝∠GDP+65°，
∵∠DGQ＝∠GDP+∠DPG，
∴∠DPG＝65°；
②由①知∠DPG=12∠DFB=12（180°﹣α）＝90°-12α．
故答案为：90°-12α．
20．【解析】（1）如图1，连接AC，
在△AMC中，∠AMC+∠MAC+∠MCA＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAM+∠M+∠MCD＝180°+180°＝360°，
∵∠BAM＝105°+α，∠M＝108°﹣α，
∴∠MCD＝360°﹣[105°+α+（108°﹣α）]＝147°，
故答案为：147°；
（2）如图2，延长BA与CP交于点Q，CQ与AM交于点H，
∵AN平分∠PAB，
∴∠BAN＝∠PAN，
∴∠QAP＝180°﹣2∠BAN，
∵∠P＝30°，
∴∠CQA＝∠P+∠QAP＝30°+180°﹣2∠BAN＝210﹣2∠BAN，
∠MHC＝∠NHP＝∠NAP﹣∠P＝∠BAN﹣30°，
∵AB∥CD，
∴∠ECQ＝∠CQA＝210°﹣2∠BAN，
∵CM平分∠PCE，
∴∠MCH=12∠ECP=12×（210°﹣2∠BAN）＝105°﹣∠BAN，
∵∠AMC＝180°﹣∠MHC﹣∠MCH，
∴∠AMC＝180°﹣（∠BAN﹣30°）﹣（105°﹣∠BAN）＝105°；
（3）如图3，连接AC，
则∠PAC+∠PCA＝180°﹣∠P，∠MAC+∠MCA＝180°﹣∠M，
∵∠AMC＝180°-12∠D，
∴∠MAC+∠MCA=12∠P，
∴∠MAC+∠MCA+∠PAC+∠PA＝180°-12∠P，
即∠PAM+∠PCM＝180°-12∠P，
∵AN平分∠PAB，MC平分∠PCD，
∴∠BAM＝∠PAM，∠DCM＝∠PCM，
∴∠BAM+∠DCM＝180°-12∠P，
∴∠BCA+∠DCA＝180°-12∠P+12∠P=180°，
∴AB∥CD．