2020-2021学年 苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数 单元检测试题（word有答案）

1031240010337800第七章 锐角三角函数 单元检测试题
班级：_____________姓名：_____________
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） ?
1. 在Rt△ABC中，∠C=90?，AB=5，BC=3，则sinA的值为(? ? ? ? )
A.34 B.43 C.35 D.45?
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90?,延长斜边BC到点D，使CD=12BC，连接AD，若sinB=45，则tan∠CAD的值(? ? ? ? )

A.33 B. 32 C.13 D. 14 ?
3. 如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC=( )
A.23 B.55 C.12 D.22
4. 在Rt△ABC中，∠C=90?，下列式子中最大的一个是（ ）
A.tanA+cotA B.sinA+cosA C.tanA+cosA D.cotA+sinA
5. 已知∠A为锐角，且cosA=1213，则sinA等于（ ）
A.1312 B.513 C.512 D.125?
6. 若斜坡的坡比为1:33，则斜坡的坡角等于（ ）
A.30? B.45? C.50? D.60?
?7. 在Rt△ABC中，∠C=90?，cosA=35，则sinB的值为(? ? ? ? )
A.54 B.45 C.53 D.35?
8. 如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60?方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（ ）
A.123海里 B.63海里 C.6海里 D.43海里?
9. 已知BD是△ABC的中线，AC＝6，且∠ADB＝45?，∠C＝30?，则AB＝（ ）
A.6 B.23 C.32 D.6?
10. 如图，已知△ABC中，∠B=90?，AB=3，BC=3，OA=OC=6，则∠OAB的度数为（ ）
A.10? B.15? C.20? D.25?
二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ， ） ?
11. 已知三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40?，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有________个． ?
12. 在△ABC中， ∠C=90?，若sinB=513，则cosA=________.
13. 如果∠A为锐角，且cosA=14，那么∠A的范围是________.
?
14. 如图，斜靠在墙上的梯子AB的A底端到墙脚距离AC=3米，cosA=34，则梯子长AB为________米． ?
15. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度比为________．
16. 地面控制点测得一飞机的仰角为45?，若此时地面控制点与该飞机的距离为2000米，则此时飞机离地面的高度是________米（结果保留根号）． ?
17. 已知Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10，则tanB?sinA=________． ?
18. 一个人从山下沿30?的山坡走了500米，则此人上升了________米．
19. 在△ABC中，已知sinA=12，cosB=22，则∠C=________．
20. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30?、45?，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是________．

21. 如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60?的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30?的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于________海里．

三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计57分 ， ） ?
22. 化简下列各式：
（1）cos228?-2cos28?+1+|sin60?-cos28?|．

（2）sin45?1+sin60?-cos45?1-sin60?+2(sin30?-cos30?)2．
?
23. 在Rt△ABC中，∠C=90?，BC=5，sinA=513，求AC的长．
?
24. 如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30?，测得乙楼底部B点的俯角β为60?，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值）
?
25. 如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60?且C在B的南偏东30?上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
?
26. 如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60?方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45?方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．
参考答案与试题解析
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
C
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90?，AB=5，BC=3，如图：
则sinA=BCAB=35.
故选C.
2.
【答案】
D
【解答】
解：如图，延长AC，过点D作DE⊥CE，垂足为E，
∵ sinB=45，即ACBC=45，
∴ 设AC=4x，则BC=5x，
∵ ∠ACB=∠ECD，∠ABC=∠EDC，
∴ △CDE∽△CBA，
∴ CEAC=DEAB=CDBC=12，
∴ DE=32x，CE=2x，
∴ AE=6x，
∴ tan∠CAD=EDAE=14．
故选D．
3.
【答案】
B
【解答】
解：如图，连接BD，
由正方形的性质可知，∠CDB=90?，BD=2，BC=10，
则sinC=BDBC=55，
故选：B．
4.
【答案】
A
【解答】
解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90?，
∴ 0?<∠A<90?，
∵ tanA=sinAcosA，
0∴ tanA>sinA，
∵ cotA=cosAsinA，
∴ cotA>cosA，
故：tanA+cotA>sinA+cosA，tanA+cotA>tanA+cosA，tanA+cotA>cotA+sinA，
则式子中最大的一个是tanA+cotA．
故选：A．
5.
【答案】
B
【解答】
解：由cosA=1213知，
如果设b=12x，则c=13x，结合a2+b2=c2得a=5x；
∴ sinA=ac=5x13x=513．
故sinA=513，
故选B．
6.
【答案】
D
【解答】
∵ 斜坡的坡比为1:33，设坡角为α，
∴ tanα=133=3，
∴ α＝60?．
7.
【答案】
D
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90?，cosA=35，
则sinB=cosA=35.
故选D．
8.
【答案】
D
【解答】
解：由已知得：∠BAC=90?-60?=30?，
在直角三角形ABC中，
BC=AB?tan30?
=12×33
=43（海里）．
故选：D．
9.
【答案】
C
【解答】
过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图
设BE＝x，
∵ ∠BDA＝45?，∠C＝30?，
∴ DE＝x，BC＝2x，
∵ tan∠C=BECE，
∴ x3+x=tan30?，
∴ 3x＝(3+x)3，解得x=3+332，
在Rt△ABE中，AE＝DE-AD=3+332-3=33-32，
由勾股定理得：AB2＝BE2+AE2，AB=(3+332)2+(33-32)2=32．
10.
【答案】
B
【解答】
解：∵ AC2=AB2+BC2=32+(3)2=12，
AO2+CO2=(6)2+(6)2=12，
∴ AC2=AO2+OC2，
∴ ∠O=90?，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=45?，
在Rt△ACB中，
∵ tan∠BAC=33，
∴ ∠BAC=30?，
∴ ∠OAB=45?-30?=15?，
故选B．
二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ）
11.
【答案】
4
【解答】
解：如图满足这样条件的三角形有4个，分别是：
a=3，b=4，∠C=40?；a=3，∠B=40?b=4；a=3，b=4，∠A=40?有2解．
先画一条直线，确定一点A作40?的角，取4cm，得到C，以C为圆心，3cm为半径，交直线于2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．
故答案为：4．
12.
【答案】
513
【解答】
解：在△ABC中，∠C=90?，
所以∠A+∠B=90?，
则cosA=sinB=513.
故答案为：513.
13.
【答案】
60?<∠A<90?
【解答】
解：∵ cos60?=12，
14<12，
而锐角的余弦随角度的增大而减小，
故锐角A的范围是60?<∠A<90?．
故答案为：60?<∠A<90?.
14.
【答案】
4
【解答】
解：∵ AC=3米，cosA=34，∠C=90?，
∴ cosA=ACAB=34=3AB，
解得：AB=4，
即梯子长AB为4米．
故答案为：4．
15.
【答案】
1:2
【解答】
解：∵ 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为25米，
根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为45米．
所以这个坡面的坡度比为25:45=1:2．
16.
【答案】
10002
【解答】
解：如图所示：
由题意得，∠CAB=45?，AC=2000m，
则BC=ACsin∠CAB=2000×22=10002m；
即飞机离地面的高度是10002米．
故答案为：10002．
17.
【答案】
10149149
【解答】
解：∵ 在Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10
∴ 斜边c=a2+b2=72+102=49+100=149
∴ tanB=ba=107，sinA=ac=7149=7149149
∴ tanB?sinA=107×7149149=10149149
18.
【答案】
250
【解答】
解：由30?所对的直角边是斜边的一半，得此人上升的高度=500÷2=250m．
故答案为250．
19.
【答案】
105?
【解答】
解：∵ sinA=12，cosB=22，
∴ ∠A=30?，∠B=45?，
∴ ∠C=180?-30?-45?=105?．
故答案为：105?．
20.
【答案】
100(3+1)米
【解答】
∵ 从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30?、45?，
∴ ∠BCD＝90?-45?＝45?，∠ACD＝90?-30?＝60?，
∵ CD⊥AB，CD＝100m，
∴ △BCD是等腰直角三角形，
∴ BD＝CD＝100m，
在Rt△ACD中，
∵ CD＝100m，∠ACD＝60?，
∴ AD＝CD?tan60?＝100×3=1003m，
∴ AB＝AD+BD＝1003+100＝100(3+1)m．
21.
【答案】
103
【解答】
根据题意可知∠CAD＝30?，∠CBD＝60?，
∵ ∠CBD＝∠CAD+∠ACB，
∴ ∠CAD＝30?＝∠ACB，
∴ AB＝BC＝20海里，
在Rt△CBD中，∠BDC＝90?，∠DBC＝60?，sin∠DBC=CDBC，
∴ sin60?=CDBC，
∴ CD＝20×sin60?＝20×32=103海里，
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
22.
【答案】
解：(1)cos228?-2cos28?+1+|sin60?-cos28?|
=(cs28?-1)2+cos28?-sin60?
=1-cos28?+cos28?-sin60?
=1+32；
（2）sin45?1+sin60?-cos45?1-sin60?+2(sin30?-cos30?)2
=221+32-221-32+2(12-32)2
=22+3-22-3+2(32-12)
=2(2-3)-2(2+3)-62+22
=-562+22．
【解答】
解：(1)cos228?-2cos28?+1+|sin60?-cos28?|
=(cs28?-1)2+cos28?-sin60?
=1-cos28?+cos28?-sin60?
=1+32；
（2）sin45?1+sin60?-cos45?1-sin60?+2(sin30?-cos30?)2
=221+32-221-32+2(12-32)2
=22+3-22-3+2(32-12)
=2(2-3)-2(2+3)-62+22
=-562+22．
23.
【答案】
解：∵ sinA=BCAB=513，BC=5，
∴ AB=13，
根据勾股定理，AC=AB2-BC2=12．
【解答】
解：∵ sinA=BCAB=513，BC=5，
∴ AB=13，
根据勾股定理，AC=AB2-BC2=12．
24.
【答案】
甲楼高为903米，乙楼高为1203米．
【解答】
解：作CE⊥AB于点E．
∵ CE?//?DB，CD?//?AB，且∠CDB=90?，
∴ 四边形BECD是矩形．
∴ CD=BE，CE=BD．
在Rt△BCE中，β=60?，CE=BD=90米．
∵ tanβ=BECE，
∴ BE=CE?tanβ=90×tan60?=903（米）．
∴ CD=BE=903（米）．
在Rt△ACE中，α=30?，CE=90米．
∵ tanα=AECE，
∴ AE=CE?tanα=90×tan30?=90×33=303（米）．
∴ AB=AE+BE=303+903=1203（米）．
25.
【答案】
A船到达事发地点C的距离是1003里，B船到达事发地点C的距离是100里．
【解答】
解：作BG⊥AC于G，
∵ 点C在A的南偏东60?，
∴ ∠A=90?-60?=30?，
∵ C在B的南偏东30?，
∴ ∠ABC=120?，
∴ ∠C=30?，
∴ BC=AB=100里，
∴ BG=BC?sin30?=50里，
CG=BC?cos30?=503里，
∴ AC=2CG=1003里．
26.
【答案】
当渔船位于P南偏东45?方向时，渔船与P的距离是306海里．
【解答】
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
根据题意可得出：∠APC=30?，∠BPC=45?，AP=60，
在Rt△APC中，∵ cos∠APC=PCPA，
∴ PC=PA?cos∠APC=303，
在Rt△PCB中，∵ cos∠BPC=PCPB，
∴ PB=PCcos∠BPC=303cos45?=306．