2020-2021学年九年级数学人教版下册 第27章：相似 精选提升练习（一）（Word版 含解析）

2020-2021学年人教版九年级数学下册
第27章：相似
精选提升练习（一）
1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是线段AC的中点．
（1）如图①，当∠A＝30°，且点M，N分别在线段AB，BC上时，∠MPN＝90°，写出线段PM与PN的比值，并给予证明；
（2）如图②，当∠A＝30°，且点M，N分别在线段AB，BC的延长线上时，∠MPN＝90°，线段PM与PN的比值等于　
　．
2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．
3．如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
4．如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BG＝4，求BE的长；
（3）若AB＝6，CE＝1.2，请直接写出AD的长．
7．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB；
（2）若AB＝4，求CG的长．
8．探究：如图①，△ACE中，AC＝AE，点B在边CE上，点D在边AE上，∠ABD＝∠E．求证：△ACB∽△BED．
应用：如图②，△ACE为等边三角形，点B在边CE上，点D在边AE上，∠ABD＝60°，BC＝BE，则△ABD与△BDE的面积比为　
　．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
10．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长
参考答案
1．解：（1）．
证明：如图1，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC
于点F，
∵∠ABC＝90°，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∴四边形PEBF是矩形，
∴∠EPF＝90°，
∵P是AC的中点，
∴E，F分别是线段AB，BC的中点，
∴PE＝BC，PF＝AB，
∵∠A＝30°，
∴
∵∠MPN＝90°，∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
∴△PEM∽△PNF，
∴，
（2）如图2，过点P作PD⊥AB于点D，PQ⊥BC于点Q，
则四边形PDBQ是矩形，
∴∠PDM＝∠PQN＝90°，
∵AP＝PC，
∴AD＝BD＝PQ，DP＝BQ＝QC，
∵∠DPQ＝∠MPN＝90°，
∴∠DPM＝∠QPN，
∴△MDP∽△NQP，
∴，
∵＝，
∴．
故答案为：．
2．（1）证明：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴DF∥BE；
（2）解：∵AF＝2，EF＝4，
∴AE＝AF+EF＝6，＝＝，
∴＝，
∴AD＝AB＝2，BD＝2AD＝4，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△AEB，
∴＝＝．
3．解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACE∽△ABD；
（2）在Rt△ABD中，BD＝8，AD＝6，
根据勾股定理，得
AB＝＝10，
∵△ACE∽△ABD，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，
∵DE＝5，
∴BC＝＝．
4．解：（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，
∵AT为∠BAC的平分线，
∴TD＝TE，
∵S△ABT＝AB?TD，S△ACT＝AC?TE，AB＝3，AC＝4，
∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，
则S△ABT＝BT?h，S△ACT＝TC?h，
∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，
由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，
∴．
5．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠AEB．
∵∠PFA＝∠ABE＝90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA＝EB＝2，即x＝2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB．
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE＝，
∴EF＝AE＝．
∵，即，
∴PE＝5，即x＝5．
∴满足条件的x的值为2或5．
6．证明：（1）如图，连接OG，GB，
∵G是弧AF的中点，
∴∠GBF＝∠GBA，
∵OB＝OG，
∴∠OBG＝∠OGB，
∴∠GBF＝∠OGB，
∴OG∥BC，
∴∠OGD＝∠GEB，
∵DE⊥CB，
∴∠GEB＝90°，
∴∠OGD＝90°，
即OG⊥DE且G为半径外端，
∴DE为⊙O切线；
（2）∵AB为⊙O直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠AGB＝∠GEB，且∠GBA＝∠GBE，
∴△GBA∽△EBG，
∴，
∴；
（3）AD＝2，根据SAS可知△AGB≌△CGB，
则BC＝AB＝6，
∴BE＝4.8，
∵OG∥BE，
∴，即，
解得：AD＝2．
7．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
（2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴＝，即：＝，
∴BG＝10，
∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6．
8．证明：（1）∵AC＝AE，
∴∠C＝∠E，
∵∠ABD＝∠E，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠C+∠CBA+∠CAB＝180°，∠CBA+∠ABD+∠DBE＝180°，
∴∠BAC＝∠DBE，
∴△ACB∽△BED；
（2）∵△ACE是等边三角形，
∴∠E＝∠C＝60°，
∴∠CAB+∠ABC＝120°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ABC+∠DBE＝120°，
∴∠DBE＝∠CAB，
又∵∠E＝∠C＝60°，
∴△ABC∽△DBE，
∵BC＝BE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABD与△BDE的面积比为：13：3；
故答案为：13：3．
9．解：（1）经过t秒后，PC＝4﹣2t，CQ＝t，
当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，
即（4﹣2t）?t＝××3×4，
解得；t＝或t＝；
∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则＝，即＝，解之得t＝1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则＝，＝，解之得t＝；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒；
（3）∵∠C＝90°，
∴（4﹣2t）2+t2＝1，
∵此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．
10．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠EBA＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3，
∵△ABE∽△DEF，
∴＝，即＝，
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴＝，即＝，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．