2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章 《相似 》章节培优训练（四）（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章 《相似 》章节培优训练（四）（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-21 11:05:32 | ||
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文档简介
九年级下册第27章
《相似
》
章节培优训练（四）
1．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BPQ的面积为cm2；
（2）在点P，Q的运动中，是否存在时间t，使△BPQ为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
2．已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．
（1）求证：＝；
（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF?DC＝EF?BC．
3．如图，矩形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE交CD于G，交BC延长线于F，∠DAE＝∠DCE，∠AEB＝∠CEB．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若AE＝2EG，求EG与GF之间的数量关系．
4．（1）拓展：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．过点D作DF∥AC交BC于点F，连接DE交BC于点M．求证：BD＝FD，FM＝CM．
（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件∠A＝90°，然后过点D作DN⊥BC，垂足为点N．若AC＝1，则MN的长为
．
5．如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．
6．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
7．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分∠DAB．且OA＝3，AC＝．
（1）求证：AD⊥DE；
（2）若点P为线段CE上一动点，当△PBE与△ACE相似时，求EP的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．
①BD的长为
；
②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．
9．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
10．如图，平面直角坐标系中三点A（3，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），连结BP，过点P作PC⊥PB交过点A的直线x＝3于点C（3，y）
（1）试把y用含x的代数式来表示；
（2）当x＝﹣1时，求BC与PA的交点Q的坐标．
参考答案
1．解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AE⊥BC，
∴BE＝EC＝4cm，
∴AE＝＝＝3cm，
∵∠PFB＝∠AEB＝90°，∠B＝∠B，
∴△AEB∽△PFB，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝cm，BF＝cm，
∵△BPQ的面积为cm2，
∴×BQ×PF＝，
∴×t×＝，
∴t1＝1，t2＝4，
∴当t为1或4时，△BPQ的面积为cm2；
（2）当BP＝BQ时，则5﹣t＝t，
∴t＝，
当BQ＝PQ时，∵PQ2＝PF2+QF2，
∴t2＝[]2+[﹣t]2，
∴t1＝5（不合题意），t2＝，
当BP＝PQ时，则点P在BF的垂直平分线上，
∴＝，
∴t＝，
综上所述：t的值为或或时，△BPQ为等腰三角形．
2．（1）证明：∵AE⊥BD，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵∠ABD＝∠C，
∴△ABE∽△DCF，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴△ABD∽△DCB，
∴，
∴；
（2）证明：∵∠ADB＝∠DBF，∠ADB＝∠BDF，∠BFD＝90°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴∠DBF＝ADE＝45°，
∴△AED和△BFD都是等腰直角三角形，
∴，
又∵∠ADE＝∠BDF，
∴△ADB∽△EDF，
∴∠ABD＝∠EFD，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠EFD＝∠C，
∵∠EDF＝∠DBC，
∴△EDF∽△DBC，
∴，
∴DF?DC＝EF?BC．
3．证明：（1）∵∠AEB＝∠CEB，∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
在△ADE和△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（AAS），
∴AD＝CD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）GF＝3EG；
∵△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠F，
又∵∠GEC＝∠CEF，
∴△ECG∽△EFC，
∴，
∵AE＝2EG，
∴CE＝2EG，
∴，
∴EF＝4EG，
∴GF＝3EG．
4．（1）证明：方法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠BCA，∠FDM＝∠CEM，
∴∠B＝∠BFD，
∴BD＝FD，
方法二：
∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BCA，
∵AB＝AC，
∴BD＝FD；
∵BD＝CE，
∴DF＝CE，
在△FDM和△CEM中，
，
∴△FDM≌△CEM（AAS），
∴FM＝CM；
（2）解：∵BD＝DF，DN⊥BC，
∴BN＝FN，
∵FM＝CM，
∴BC＝BF+CF＝2FN+2FM＝2MN，
∵AB＝AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴MN＝BC＝．
故答案为：．
5．解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：教学楼的高度OE为12m．
6．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝5，
则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，
∵∠PAQ＝∠BAC，
当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；
答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
7．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥DE；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AB＝2OA＝6，AC＝，
∴cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，BC＝3，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠ECB＝30°，∠BEC＝30°，
∴EC＝AC＝，BE＝BC＝BO＝AO＝3，
①当BP∥AC时，△BPE∽△ACE，
∴，
即，
∴PE＝；
②当点P与点C重合时，△PBE∽△ACE，
∴PE＝CE＝；
综上：当△PBE与△ACE相似时，EP＝或．
8．解：（1）结论：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAH＝45°，
∵∠H＝90°，AD＝3，
∴AH＝DH＝3，
在Rt△BDH中，BD＝＝＝3，
故答案为：3；
（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．
在Rt△ABP中，AP＝AB?sin37.5°，
在Rt△AQD中，AQ＝AD?sin37.5°，
在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，
求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．
9．解：延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴＝＝＝，
∵MT∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
10．解：（1）∵PC⊥PB，BO⊥PO
∴∠CPA+∠OPB＝90°，∠PBO+∠OPB＝90°
∴∠CPA＝∠PBO
∵A（2，0），C（2，y）在直线x＝3上
∴∠BOP＝∠PAC＝90°
∴△BOP∽△PAC
∴＝，
∴＝，
∵x＜0，y＜0，
∴＝
∴y＝﹣x2+x．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴C点的坐标为（3，﹣2）；
设直线BC的解析式为y＝kx+2，将C点坐标代入后可得：
3k+2＝﹣2，k＝﹣，
因此直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
当y＝0时，0＝﹣x+2，x＝．
因此Q点的坐标为（，0）．
《相似
》
章节培优训练（四）
1．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BPQ的面积为cm2；
（2）在点P，Q的运动中，是否存在时间t，使△BPQ为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
2．已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．
（1）求证：＝；
（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF?DC＝EF?BC．
3．如图，矩形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE交CD于G，交BC延长线于F，∠DAE＝∠DCE，∠AEB＝∠CEB．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若AE＝2EG，求EG与GF之间的数量关系．
4．（1）拓展：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．过点D作DF∥AC交BC于点F，连接DE交BC于点M．求证：BD＝FD，FM＝CM．
（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件∠A＝90°，然后过点D作DN⊥BC，垂足为点N．若AC＝1，则MN的长为
．
5．如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．
6．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
7．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分∠DAB．且OA＝3，AC＝．
（1）求证：AD⊥DE；
（2）若点P为线段CE上一动点，当△PBE与△ACE相似时，求EP的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．
①BD的长为
；
②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．
9．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
10．如图，平面直角坐标系中三点A（3，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），连结BP，过点P作PC⊥PB交过点A的直线x＝3于点C（3，y）
（1）试把y用含x的代数式来表示；
（2）当x＝﹣1时，求BC与PA的交点Q的坐标．
参考答案
1．解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AE⊥BC，
∴BE＝EC＝4cm，
∴AE＝＝＝3cm，
∵∠PFB＝∠AEB＝90°，∠B＝∠B，
∴△AEB∽△PFB，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝cm，BF＝cm，
∵△BPQ的面积为cm2，
∴×BQ×PF＝，
∴×t×＝，
∴t1＝1，t2＝4，
∴当t为1或4时，△BPQ的面积为cm2；
（2）当BP＝BQ时，则5﹣t＝t，
∴t＝，
当BQ＝PQ时，∵PQ2＝PF2+QF2，
∴t2＝[]2+[﹣t]2，
∴t1＝5（不合题意），t2＝，
当BP＝PQ时，则点P在BF的垂直平分线上，
∴＝，
∴t＝，
综上所述：t的值为或或时，△BPQ为等腰三角形．
2．（1）证明：∵AE⊥BD，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵∠ABD＝∠C，
∴△ABE∽△DCF，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴△ABD∽△DCB，
∴，
∴；
（2）证明：∵∠ADB＝∠DBF，∠ADB＝∠BDF，∠BFD＝90°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴∠DBF＝ADE＝45°，
∴△AED和△BFD都是等腰直角三角形，
∴，
又∵∠ADE＝∠BDF，
∴△ADB∽△EDF，
∴∠ABD＝∠EFD，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠EFD＝∠C，
∵∠EDF＝∠DBC，
∴△EDF∽△DBC，
∴，
∴DF?DC＝EF?BC．
3．证明：（1）∵∠AEB＝∠CEB，∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
在△ADE和△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（AAS），
∴AD＝CD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）GF＝3EG；
∵△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠F，
又∵∠GEC＝∠CEF，
∴△ECG∽△EFC，
∴，
∵AE＝2EG，
∴CE＝2EG，
∴，
∴EF＝4EG，
∴GF＝3EG．
4．（1）证明：方法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠BCA，∠FDM＝∠CEM，
∴∠B＝∠BFD，
∴BD＝FD，
方法二：
∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BCA，
∵AB＝AC，
∴BD＝FD；
∵BD＝CE，
∴DF＝CE，
在△FDM和△CEM中，
，
∴△FDM≌△CEM（AAS），
∴FM＝CM；
（2）解：∵BD＝DF，DN⊥BC，
∴BN＝FN，
∵FM＝CM，
∴BC＝BF+CF＝2FN+2FM＝2MN，
∵AB＝AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴MN＝BC＝．
故答案为：．
5．解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：教学楼的高度OE为12m．
6．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝5，
则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，
∵∠PAQ＝∠BAC，
当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；
答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
7．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥DE；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AB＝2OA＝6，AC＝，
∴cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，BC＝3，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠ECB＝30°，∠BEC＝30°，
∴EC＝AC＝，BE＝BC＝BO＝AO＝3，
①当BP∥AC时，△BPE∽△ACE，
∴，
即，
∴PE＝；
②当点P与点C重合时，△PBE∽△ACE，
∴PE＝CE＝；
综上：当△PBE与△ACE相似时，EP＝或．
8．解：（1）结论：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAH＝45°，
∵∠H＝90°，AD＝3，
∴AH＝DH＝3，
在Rt△BDH中，BD＝＝＝3，
故答案为：3；
（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．
在Rt△ABP中，AP＝AB?sin37.5°，
在Rt△AQD中，AQ＝AD?sin37.5°，
在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，
求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．
9．解：延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴＝＝＝，
∵MT∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
10．解：（1）∵PC⊥PB，BO⊥PO
∴∠CPA+∠OPB＝90°，∠PBO+∠OPB＝90°
∴∠CPA＝∠PBO
∵A（2，0），C（2，y）在直线x＝3上
∴∠BOP＝∠PAC＝90°
∴△BOP∽△PAC
∴＝，
∴＝，
∵x＜0，y＜0，
∴＝
∴y＝﹣x2+x．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴C点的坐标为（3，﹣2）；
设直线BC的解析式为y＝kx+2，将C点坐标代入后可得：
3k+2＝﹣2，k＝﹣，
因此直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
当y＝0时，0＝﹣x+2，x＝．
因此Q点的坐标为（，0）．