2020-2021学年人教版九年级数学下册第二十七章《相似》 达标训练卷（Word版 含答案）

2020-2021学年人教版九年级数学下册第二十七章《相似》能力培优达标训练卷
一、单选题
1．如果，那么下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在和中，，要使和相似，只要（ ）
A． B．C． D．
4．如图，在中，点D在边AB上，交AC于点E．连接BE，交AC于点F．若，，则与的面积之比为（　　　）
A． B． C． D．
5．如图，身高为1.6m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7.0m C．8.0m D．9.0m
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若OA=2，则点G的坐标为（ ）
A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点，则面积的最小值为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
8．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式：①＝；②＝；③＝；④＝．其中成立的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
9．如图，在中，，，，P是AB边上一动点，于点D，点E在P的右侧，且，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，设，图中阴影部分面积，在整个运动过程中，函数值y随x的变化而变化的情况是（ ）
A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
10．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若点P是线段AB的黄金分割点，，则较长线段AP的长是_________cm．（保留根号）
12．如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为_________．

13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，已知斜边DF保持水平并且边DE与点B在同一直线上，若DE＝40cm，EF＝20cm．DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB＝________米．
14．如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为_____．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝的图象上（点A在第一象限），且线段AB经过点O，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，线段AC交x轴于点D，若，则点C的坐标是_____．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接DE．给出以下四个结论：①；②若平分，则；③若点D是BC的中点，则；④若，则．其中正确的结论序号是______．
三、解答题
17．如图，在网格中(小正方形的边长为1)，△ABC的三个原点都在格点上．
（1）把△ABC沿着x轴向右平移5个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）请以O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；
（3）请写出△A2B2C2三个顶点的坐标．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）猜想的形状，并证明你的猜想；
（2）若，，求BD的长．
19．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且，．
（1）求证：．
（2）若，，的面积为20，求的面积．
20．新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为18 m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与直线交于点，点D的坐标为．
（1）求直线的解析式．
（2）直线与x轴交于点B，若点E是直线上的一动点（不与点B重合），当与相似时，请求出点E的坐标．
22．如图，已知抛物线经过，，三点．过点作垂直于轴的直线．在抛物线上有一动点，过点作直线平行于轴交直线于点．连结．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点，使得以三点构成的三角形与相似．如果存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由
（3）当点位于抛物线的对称轴的右侧．若将沿对折，点的对应点为点．求当点落在坐标轴上时直线的解析式．
参考答案
1．A
解： 由得：3a＝2b，故选项A正确，
由得：3a＝2b，故选项B不正确，
由得：3a＝2b，故选项C不正确，
由得：，故选项D不正确，
2．C
解：∵l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，
∴，
又∵，
∴，
3．D
在和中，
，
若要使和相似，
则斜边与应该是对应边，成比例，
故A、B错误；
由线段成比例性质，可变形为，
斜边与是对应边，不成比例，
故C错误；
当时
，故D正确，
4．B
解：设EF=x，
∵，
∴△ADE∽△ABC，△DFE∽△BEC
∴，
∴，解得：，（舍去）
∴AE=
∵
∴
∴
5．C
设旗杆高度为h，由题意得：＝，解得：h＝8．
6．C
解：∵ADBG，
∴△OAD∽△OBG，
∴，
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，且OA=2，
∴，
∴OB=6，
∴AB=6-2=4，
∴BG=3AB=，
∴点G的坐标为(6，12)，
7．A
解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于，
的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点，
直线的解析式为，
令，得
令，得
当点与点重合时，
此时面积的最小值
8．C
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；
∴△AEF∽△DCF，
∴，而AB=CD，
∴
∴②③正确；
又∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∴④正确，①不正确；
9．C
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
设PD=x，AB边上的高为h，
，
∵PD∥BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴当0＜x＜时，S1+S2的值随x的增大而减小，
当≤x≤时，S1+S2的值随x的增大而增大．
10．C
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH?PC，故④正确；
11．
解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB，
而AB＝10cm，
∴AP＝10×＝5?5；
故答案为：(5?5)．
12．
解：设正方形网格的边长为1，
由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△EDF∽△BAC，
∴与的周长比为：，
13．5.5
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
14．20
【分析】
设正方形EFGH的边长EF=EH=x，证明四边形EHDN是矩形，则DN=x，根据正方形的性质得出，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】
解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF=∠EHG=90°，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN=90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN=EH=x，
∵△AEF∽△ABC，
∴
∵BC=120，AD=60，
∴AN=60-x，
∴
解得：x=40，
∴AN=60-x=60-40=20．
故答案为20．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．正方形的性质，掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键．
15．()
【分析】
连接OC，BC，过A、C分别作AH⊥y轴，CG⊥y轴，利用已知条件证明△AHO∽△OGC，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：连接OC，BC，过A、C分别作AH⊥y轴，CG⊥y轴，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
又∵O为AB的中点，
∴AO⊥CO，
在Rt△AOC中，，
设A(a，)，
∵AO⊥CO，
∴∠HOA+∠COG=90°，
∵AH⊥OH，CG⊥OG，
∴∠HOA+∠HAO=90°，∠AHO=∠OGC=90°，
∴∠HOA=∠OCG，
∴△AHO∽△OGC，
∴，
∴，，
过A作AQ⊥CG交x轴于点I，易知HO=AI，OG=IQ，
∵ID∥QC，
∴，
∴，
解得：或(舍)，
∵C位于第四象限，
∴C点坐标为()，
故答案为：()．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识．
16．①②③
【分析】
由△BEF∽△AEC，可确定结论①正确；由△BEF≌△BED可得BF=BC=AC，进而△BEF∽△AEC确定点E为AB的三等分点，可确定结论②正确；当A、C、D、E四点在同一个圆上时，由于∠ACB=90°，得到AD是直径，根据垂径定理得到DE=CD，故③正确；因为E为AB的三等分点，所以S△BCE=S△ABC，又S△CDE=S△BCE，所以S△ABC=12S△CDE，由此确定结论④错误．
【详解】
解：依题意可得BF∥AC，
∴△BEF∽△AEC，
∴
又AC=BC，
∴．
故结论①正确；．
∵平分，
∴∠CAG=∠EAG．
∵CG⊥AD，
∴∠AGC=∠AGE=90°．
在△AGE和△AGC中

∴△AGE≌△AGC（ASA）
∴∠AEG=∠ACG．
∵∠BFC+∠BCF=90°，∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠BFC=∠ACG．
∴∠BFC=∠AEG．
∵∠BEF=∠AEG，
∴∠BFC=∠BEF．
∴．
故结论②正确；
∵CG⊥AD，
∴∠ADC+=90°，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴．
在△BCF与△CAD中，
，
∴△BCF≌△CAD（ASA），
∴BF=CD．
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD．
又∵BD=AD，
∴AG=AD；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC；
∴BF=BD=BC；
∵△BEF∽△AEC，
∴，
∴AE=2BE，
∴BE=AB=．
故结论③正确；
当A、C、D、E四点在同一个圆上时，
∵∠ACB=90°，
∴AD是A、C、D、E四点所在圆的直径，
∵CG⊥AD，
∴ =，
∴DE=CD，
∵，BF=CD，
∴ ，
∴，
∴，
∴BE=AB，
∴S△BCE=S△ABC；
∴S△CDE=S△BCE，
∴S△CDE=S△ABC，即S△ABC=12S△CDE．
故结论④错误．
17．
（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）A2（6，0）； B2（6，4）； C2（2，6）．
．
18．
解：（1）是等腰三角形，理由如下：
∵的平分线与AC相交于点D，
∴
∵AE是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴在直角三角形AEB中，，
∵，，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
在直角三角形ACB中，，即：，
解得：（舍去）或，
∴．
19．
解：（1），
，
即，
又，
（2）由（1）得：，
，
又，
，
又，，
，
，
20．11m
解：设，则，
∵CE∥AB，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得：，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
∴．
21．（1）；（2）或
解：（1）设直线的解析式为，
将，，代入得：，
解得：．
故直线的解析式为：；
（2）在中，令y=0，解得：x=-2，
∴直线与轴的交点为，
，
点的坐标为，
，
与轴交于点C
，
，
与相似，
①，
，
，，
，
，，
，
②，
，
，
．
即：点E的坐标为或．
22．
解：（1）将，，分别代入抛物线得，
，解得，
函数解析式为．
（2）在下方时，令①，
，即，
由于，
则有，
解得（舍去）或，此时，，点坐标为，．
②，，
即，
由于，
则有，
解得，（舍去）或，点坐标为．
③在y轴左侧时，令，
，即，
，
，
解得，（舍去）或，点坐标为．
④P在l上方时，，
，即
，
解得，（舍去）或，点坐标为，．
（3）①如图（1），若对称点在轴，则，
设解析式为，则或，
当时，把代入得，
当时，把代入得，
此时在对称轴右侧，符合题意，
，或；
②如图（2），若对称点在轴，
设点，，则，
．
则有，
，，，
，
解得：，
，
中，由勾股定理得，
，解得，，均在抛物线对称轴的右侧，
故点的坐标为或．
设一次函数解析式为，
把，，分别代入解析式得
，解得，
函数解析式为．
把，，分别代入解析式得
，解得，
函数解析式为．
综上所述，函数解析式为，，．