2020-2021学年人教版数学九年级下册第27章 《相似 》章节 训练（二）（Word版 含答案）

九年级下册第27章
《相似
》
章节培优训练（二）
1．如图1，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若点M，N分别是BD，CE的中点，如图2，连接AM，AN，MN
①求证：△AMN∽△ABC；
②若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．
2．如图，王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC，AB＝AC＝5米，BC＝6米，现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜，△AMN区域种植芹菜，△CME和△BNF区域种植青菜（开垦土地面积损耗均忽略不计），其中点M，N分别在AC，AB上，点E，F在BC上，已知韭菜每平方米收益100元，芹菜每平方米收益60元，青菜每平方米收益40元，设CM＝5x米，王爷爷的蔬菜总收益为W元．
（1）当矩形MNFE恰好为正方形时，求韭菜种植区域矩形MNFE的面积．
（2）若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍，求这时x的值．
（3）求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值．
3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移4个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点B2的坐标．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E为BC上一点，连接AE，作EF⊥AE交AB于F．
（1）求证：△AGC∽△EFB．
（2）除（1）中相似三角形，图中还有其它相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．
5．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．
6．如图，AC是?ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF?EG；
（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的长．
7．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果AE＝EG，求证：AC2＝BC?BG．
8．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．
（1）求证：DE＝DC；
（2）如果BE2＝BF?BC，求证：∠BEF＝∠CEF．
9．在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F．
（1）设BP＝x，将S△PEF用x表示；
（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9cm，BC＝2cm，点M，N分别从A，B同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求△MBN的面积的最大值．
参考答案
1．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AB＝AC、AD＝AE，
∴△CAE≌△BAD，
∴BD＝CE；
（2）①由△CAE≌△BAD知∠ACE＝∠ABD，
∵点M、N分别是BD、CE的中点，CE＝BD，
∴CN＝BM，
∴△CAN≌△BAM，
∴AN＝AM、∠CAN＝∠BAM，
∴∠CAN+∠BAN＝∠BAM+∠BAN，即∠CAB＝∠NAM，
∵AC＝AB、AN＝AM，
∴＝，
∴△AMN∽△ABC；
②取AC的中点F，连接FN，过点N作NG⊥AC于点G，
∵N是CE的中点，
∴NF∥AE，NF＝AE＝2，
∴∠GFN＝∠EAC＝60°，
∴∠FNG＝30°，
∴FG＝FN＝1，
∴AG＝1+3＝4，NG＝＝，
在Rt△ANG中，由勾股定理可得AN＝＝．
2．解：（1）作AH⊥BC于H，交MN于D．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴CH＝HB＝3，
在Rt△ACH中，AH＝＝4，
∵ME∥AH，
∴＝＝，
∴CE＝3x，EM＝EF＝4x，
易证△MEC≌△NFB，
∴CE＝BF＝3x，
∴3x+4x+3x＝6，
∴x＝，
∴EM＝，
∴矩形MNFE的面积为平方米．
（2）由题意：100×4x?（6﹣6x）＝2?[60××（6﹣6x）?（4﹣4x）+40×4x×3x]，
解得x＝或．
（3）由题意W＝100×4x?（6﹣6x）+60××（6﹣6x）?（4﹣4x）+40×4x×3x＝﹣1200x2+960x+720＝﹣1200（x﹣）2+912，
，∵﹣1200＜0，
∴x＝时，W有最大值，最大值为912元．
3．解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C为所求三角形，点B2的坐标为（4，0）．
4．（1）证明
∵CD⊥AB，EF⊥AE
∴∠FDG＝∠FEG＝90°
∴∠DGE+∠DFE＝360°﹣90°﹣90°＝180°
又∠BFE+∠DFE＝180°，
∴∠BFE＝∠DGE，
又∠DGE＝∠AGC
∴∠AGC＝∠BFE，
又∠ACB＝∠FEG＝90°
∴∠AEC+∠BEF＝180°﹣90°＝90°，∠AEC+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝∠BEF，
∴△AGC∽△EFB；
（2）有．
∵∠GAD＝∠FAE，∠ADG＝∠AEF＝90°，
∴△AGD∽△AFE；
∴∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
同理得△BCD∽△BAC，
∴△ACD∽△CBD，
即△ACD∽△ABC∽△CBD，
5．（1）证明：∵，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，＝，
∴＝（）2＝，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比是4：5．
6．解：（1）∵AB∥CG，
∴∠ABF＝∠G，
又∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠G，
又∵∠CEF＝∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴，即CE2＝EF?EG；
（2）∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵DG＝DC，
∴AB＝CD＝DG，
∴AB：CG＝1：2，
∵AB∥CG，
∴，
即，
∴EG＝12，BG＝18，
∵AB∥DG，
∴，
∴BF＝BG＝9，
∴EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．
7．解：
（1）证明：
∵BE⊥AC，
∴∠AFB＝90°．
∴∠ABE+∠BAF＝90°．
∵∠ABE＝∠CAD．
∴∠CAD+∠BAF＝90°．
即∠BAD＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接AG．
∵AE＝EG，
∴∠EAG＝∠EGA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠ABG＝∠BGC．
∴∠CAD＝∠BGC．
∴∠AGC＝∠GAC．
∴CA＝CG．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB．
∴∠ACB＝∠BGC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCG＝90°．
∴∠BCG＝∠ABC，
∴△BCG∽△ABC．
∴．
∴AC2＝BC?BG．
8．（1）证明：过D作DG⊥BC于G，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴∠ADG＝90°，DG＝AB，
∵∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△AED与△GCD中，
，
∴△AED≌△GCD，
∴DE＝CD；
（2）由（1）知：DE＝CD，
∵DF平分∠EDC，
∴DF⊥CE，
∴EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵BE2＝BF?BC，
∴＝，∵∠B＝∠B，
∴△EFB∽△CEB，
∴∠BEF＝∠FCE，
∴∠BEF＝∠CEF．
9．解：（1）∵BC＝2，BC边上的高AD＝1，
∴S△ABC＝×2×1＝1，
∵BP＝x，
∴PC＝2﹣x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴＝（）2，
∴S△CEP＝1﹣x+，
同理，得到S△BPF＝，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S△PEF＝S?AEPF＝（S△ABC﹣S△CEP﹣S△BPF）
＝﹣x2+x（0＜x＜2）．
S△PEF＝﹣x2+x（0＜x＜2）．
（2）由（1）知S△PEF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
∵0＜x＜2，
∴当x＝1时，面积有最大值．
10．解：（1）设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2，
则AM＝2x，BM＝9﹣2x，BN＝x，
根据题意得：y＝BM?BN＝（9﹣2x）x，
∴y＝﹣x2+x，（0＜x≤2）；
（2）由（1）得，y＝﹣x2+x，
对称轴为；x＝＞2，
∵当x，y随x的增大而增大，
又∵0＜x≤2，
∴当x＝2时，y最大＝5，
∴△MBN的面积的最大值是5．