浙江省诸暨市2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

诸暨市2020-2021学年第一学期期末考试试题
高三数学
注意：1．本试题卷分选择題和非选择题两部分．全卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高
球的表面积公式 其中R表示球的半径
球体积公式 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足（i虚数单位），则（ ）
A. i B. C. D.
3. 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A. 24 B. 30 C. D.
5. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知数列的前n项和为，且，，若数列和都是等差数列，则下列说法不正确的是（ ）
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
7. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设，若随机变量分布列如下：

0 2
P a

则下列方差值中最大的是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
①存在，函数没有零点；
②存在，函数恰有三个零点；
③任意，存在，函数恰有一个零点；
④任意，存在，函数恰有二个零点；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在三棱锥中，，，D是棱上一点（不含端点）且，记为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）
11. 知双曲线的离心率，则双曲线的焦点坐标是_____________；渐近线方程是_________．
12. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_________．
13. 已知函数，且，则_________；若与的周期相同，则_________．
14. 若多项式，则_________；__________．
15. 某单位把15只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人（每人至少1只），且三人领到的口罩只数互不相同，则不同的分发方案有___________种；甲恰好领到3只口罩的概率为__________．
16. 已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．
17. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆外一点，直线交椭圆于A、B两点，过P作椭圆C的切线，切点为E，若，则____________．
三、解答题（本大题有5个小题，共74分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）
18. 在C中，角A，B，C所对的边分别为a，b、c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，的面积为，分别求、的值．
19. 如图，在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，平面，点M、N分别为、的中点，点P为线段上一点，且平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20. 已知正项数列、，记数列的前n项和为，若，，
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
21. 如图，已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线交抛物线于、两点，且，弦中垂线交x轴于点T，过A作斜率为的直线交抛物线于另一点C．
（1）若，求点B的坐标；
（2）记、的面积分别为、，若，求点A的坐标．
22. 已知函数．
（1）讨论函数单调性；
（2）若函数在有零点，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
诸暨市2020-2021学年第一学期期末考试试题
高三数学（答案）
注意：1．本试题卷分选择題和非选择题两部分．全卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高
球的表面积公式 其中R表示球的半径
球体积公式 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 已知复数z满足（i虚数单位），则（ ）
A. i B. C. D.
【答案】B
3. 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A. 24 B. 30 C. D.
【答案】D
5. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
6. 已知数列的前n项和为，且，，若数列和都是等差数列，则下列说法不正确的是（ ）
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
【答案】D
7. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 设，若随机变量分布列如下：

0 2
P a

则下列方差值中最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
①存在，函数没有零点；
②存在，函数恰有三个零点；
③任意，存在，函数恰有一个零点；
④任意，存在，函数恰有二个零点；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
10. 如图，在三棱锥中，，，D是棱上一点（不含端点）且，记为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）
11. 知双曲线的离心率，则双曲线的焦点坐标是_____________；渐近线方程是_________．
【答案】 (1). (2).
12. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_________．
【答案】
13. 已知函数，且，则_________；若与的周期相同，则_________．
【答案】 (1). (2).
14. 若多项式，则_________；__________．
【答案】 (1). -1 (2). -13
15. 某单位把15只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人（每人至少1只），且三人领到的口罩只数互不相同，则不同的分发方案有___________种；甲恰好领到3只口罩的概率为__________．
【答案】 (1). 72 (2).
16. 已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．
【答案】
17. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆外一点，直线交椭圆于A、B两点，过P作椭圆C的切线，切点为E，若，则____________．
【答案】
三、解答题（本大题有5个小题，共74分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）
18. 在C中，角A，B，C所对的边分别为a，b、c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，的面积为，分别求、的值．
【答案】（1）；（2），.
19. 如图，在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，平面，点M、N分别为、的中点，点P为线段上一点，且平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
20. 已知正项数列、，记数列的前n项和为，若，，
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）
21. 如图，已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线交抛物线于、两点，且，弦中垂线交x轴于点T，过A作斜率为的直线交抛物线于另一点C．
（1）若，求点B的坐标；
（2）记、的面积分别为、，若，求点A的坐标．
【答案】（1）；（2）.
22. 已知函数．
（1）讨论函数单调性；
（2）若函数在有零点，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】（1）上单调递减，在上单调递增；（2）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析.