2020~
22年度第一学期学业质量监测
数学参考答案与评分建议
排题(大题块小分共4分
CBDB
ABCA
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
BC
BCD
CD
ACD
项空腰(本大题共4小,每小题5分,共3分
4.13
15.2
6.答案不唯一,须满足a1<0
0,且存在正整数k,使得a=0
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
本小题满分10分
在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
a
cos
C+
C
cos
a=4.
(1)求b
2)若a=2,3
inB=4sinC,求△ABC的面积
a2+b2
b2+
解:(1)由cosA+
acos=2及余弦定理,得ax
=4
2分
2ab
2bc
…3分
化简得,b=4
2)由3siB=4sic及正弦定理得,3b=
5分
又b=4,故c=3
16+9-47
由余弦定理知
分
26c
2x4×38
因为A∈(0,m),所以sin=
…9分
8
3
所以△ABC的面积为之×4×3
10分
4
8.(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=5,S=36
高三数学参考答案与评分建议第1页
(1)求数列{an}的通项公式
(2)足bmn为1g2k在区间(0,an](m∈N)中正整数k的个数求数列{bn}的前m项和
解:(1)设数列{an}的公差为d
a+2d=5
依题意
6a1+
6×5
2
d=36
2分
解得a=1,d=2,所以数列{an}的通项为an=2n-1
5分
(2)由题意知,Qg太>0
ogtk≤2m-1,所以17分
因为bm为1gk在区间(0
m∈N)中正整数k的个数
所以bm=2m1-
9分
所以b1+b2+…+bm=(2-1)+(23-1)+…+(22-1-1)
=(2+2+…+2m1)-m
3(22m1-2-3m)
所以数列(bm}的前m项的和为3(2m-2-3m)
……12分
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥A一BCDE中,BC∥DE,BC=2DE=2,BC⊥CD,F为AB的中点,BC⊥EF.
(1)求证:AC⊥BC;
(2)若AD=CD,AC=2,求直线AE与
平面BDE所成角的正弦值的最大值.
解:(1)取AC中点O,连接OF,OD,
C
B
因为F,O分别为AB,AC中点,所以OF∠BC
又因为DE丝BBC,所以OF∠DE
故四边形DEFO为平行四边形,所以EF∥DO
2分
因为BC⊥EF,所以BC⊥DO
因为BC⊥CD,BC⊥DO,CD∩DO=D,CD,DOC平面OCD,
高三数学参考答案与评分建议第2页南通市海安市2020~2021学年度第一学期末学业质量监测
高三数学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.
本试卷共6页，共150分.考试时间120分钟.考试结束后，只要将答题纸交回.
2.
答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔把答题纸上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写.
3.
请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.
4.
所有试题的答案全部在答题纸（卡）上作答.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
若复数满足，其中为虚数单位，则对应的点满足方程（
）
A.
B.
C.
D.
3.
圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为，，表影长之差为，那么表高为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
已知，，，则，，的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
5.
若的内角，，依次成等差数列，则函数的图象的一条对称轴方程为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
某校学生到学校农场参加劳动实践，在剥黄豆、翻土、喷农药、捉鱼、喂马5个劳动项目中自主选择3个参加.已知某班41名学生中选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合的人数最多，那么选该项目组合的人数至少是（
）
A.
4
B.
5
C.
9
D.
10
7.
新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（
）（参考数据：，）
A.
0.369
B.
0.415
C.
0.585
D.
0.631
8.
设函数（，为常数，且，），则，的值不可能是（
）
A.
-3，0
B.
2，8
C.
1，-5
D.
，
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
已知数列的通项公式为，，下列仍是数列中的项的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.
在棱长为2的正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则（
）
A.
平面
B.
过点，，的截面的面积为
C.
与的公垂线段的长为
D.
与平面所成角的大小小于二面角的大小
11.
嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（
）
A.
圆形轨道的周长为
B.
月球半径为
C.
近月点与远月点的距离为
D.
椭圆轨道的离心率为
12.
设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，则（
）
A.
当时，
B.
当时，
C.
当（且）时，
D.
当时，的数学期望为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
已知单位向量，的夹角为，与垂直，则实数________.
14.
已知某空心圆锥的母线长为，高为，记该圆锥内半径最大的球为球，则球与圆锥侧面的交线的长为________.
15.
在平面直角坐标系中，设抛物线与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为，，抛物线的焦点恰与双曲线的右顶点重合，轴，则________；若，则________.
16.
设数列的前项和为，写出一个同时满足条件①②的等差数列的通项公式________.
①存在最小值且最小值不等于；
②不存在正整数，使得且.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
在中，已知角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18.
已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为在区间中正整数的个数，求数列的前项和.
19.
如图，在四棱锥中，，，，为的中点，.
（1）求证：；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20.
2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标，高三女生6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦通过无需再投，为研究该方案的合理性，到某校任选4名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，该方案需要调整；否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离服从，女生投掷实心球的距离服从（，的单位：米）.
（1）请你通过计算，说明该方案是否需要调整；
（2）为提高学生考试达标率，该校决定加强训练.以女生为例，假设所有女生经训练后，投掷距离的增加值相同.问：女生投掷实心球的距离至少增加多少米，可使达标率不低于.
附：①参考数据：取；②若，则.
21.
已知函数，.
（1）若恒成立，求的最大值；
（2）若函数存在两个极值点，.
①求的取值范围；
②设曲线在处的切线方程为.当时，试比较与的大小，并说明理由.
22.
已知椭圆：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是椭圆上的两点，且直线，的斜率之积为，点为线段的中点，连接并延长交椭圆于点，求证：为定值.
