2021届高考备考物理二轮专题特训：电学综合计算题（解析版）

电学综合计算题【解析】
1.
(2020·新疆高三三模)如图所示，在绝缘水平面上方，有两个边长d＝0.2
m的正方形区域Ⅰ、Ⅱ，其中区域Ⅰ中存在水平向右的大小为E1＝30
N/C的匀强电场，区域Ⅱ中存在竖直向上的大小为E2＝150
N/C的匀强电场．现有一可视为质点的质量为m＝0.3
kg的滑块，以v0＝1
m/s的初速度从区域Ⅰ边界上的A点进入电场，经过一段时间后，滑块从区域Ⅱ边界上的D点离开电场(D点未画出)，滑块的电荷量q＝＋0.1
C，滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.75，重力加速度取g＝10
m/s2.问：(计算结果可用根式表示)
(1)滑块进入区域Ⅱ时的速度是多少？
(2)D点与A点的水平距离、竖直距离分别为多少？
(3)若仅改变区域Ⅱ中电场强度的大小，要使滑块从区域Ⅱ中的右边界离开电场，则区域Ⅱ中电场强度大小E的取值范围应为多少？
2.
(2020·四川宜宾市叙州区二中高三下学期三诊)如图所示，在竖直分界线MN的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，竖直屏与MN之间有方向向上的匀强电场．在O处有两个带正电的小球A和B，两小球间不发生电荷转移．若在两小球间放置一个被压缩且锁定的小型弹簧(图中未画出，且不计弹簧长度)，解锁弹簧后，两小球均获得沿水平方向的速度．已知小球B的质量是小球A的n1倍，电荷量是小球A的n2倍．若测得小球A在磁场中运动的半径为r，小球B击中屏的位置的竖直偏转位移也等于r.两小球重力均不计．
(1)将两球位置互换，解锁弹簧后，小球B在磁场中运动，求两球在磁场中运动半径之比、时间之比；
(2)若A小球向左运动，求A、B两小球打在屏上的位置之间的距离．
3.(2020·安徽合肥市一模)如图所示，在直角坐标xOy平面内，第一、二象限有平行于y轴的匀强电场，第三、四象限有垂直坐标平面的匀强电磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从坐标原点O以大小为v0，方向与x轴正方向成37°的速度沿坐标平面射入第一象限，粒子第一次回到x轴时，经过x轴上的P点(图中未标出)，已知电场强度大小为E，粒子重力不计，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8.
(1)求P点的坐标；
(2)若粒子经磁场偏转后，第二次回到x轴的位置与坐标原点O的距离为OP的一半，求磁场的磁感应强度大小和方向．
4．(2020·湖南长郡中学高三模拟)如图所示，在竖直直角坐标系xOy内，x轴下方区域Ⅰ存在场强大小为E、方向沿y轴正方向的匀强电场，x轴上方区域Ⅱ存在方向沿x轴正方向的匀强电场．已知图中点D的坐标为(－L，－L)，虚线GD垂直于x轴．两固定平行绝缘挡板AB、OC间距为3L，OC在x轴上，AB、OC板平面垂直于纸面，点B在y轴上．一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从D点由静止开始向上运动，通过x轴后不与AB碰撞，恰好到达B点，已知AB＝14L，OC＝13L.
(1)求区域Ⅱ的场强大小E′以及粒子从D点运动到B点所用的时间t0；
(2)改变该粒子的初位置，粒子从GD上某点M由静止开始向上运动，通过x轴后第一次与AB相碰前瞬间动能恰好最大．
①求此最大动能Ekm以及M点与x轴间的距离y1；
②若粒子与AB、OC碰撞时均无动能损失(碰后水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变，方向相反)，求粒子通过y轴时的位置与O点的距离y2.
5.
(2020·河南信阳市高三上学期第一次教学质量检测)两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置，间距为d＝1
m，在左端弧形轨道部分高h＝1.25
m处放置一金属杆a，弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦，在平直轨道右端放置另一金属杆b，杆a、b的电阻分别为Ra＝2
Ω、Rb＝5
Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2
T。现杆b以初速度大小v0＝5
m/s开始向左滑动，同时由静止释放杆a，杆a由静止滑到水平轨道的过程中，通过杆b的平均电流为0.3
A；从a下滑到水平轨道时开始计时，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示(以a运动方向为正方向)，其中ma＝2
kg，mb＝1
kg，g＝10
m/s2，求：
甲　　　　　　　　　　乙
(1)杆a在弧形轨道上运动的时间；
(2)杆a在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量；
(3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热。
7．如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求
(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．
8．一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行．一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出，不计重力．
(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
(2)求该粒子从M点入射时速度的大小；
(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间．
9．如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比．
10.(2020·江苏南京市、盐城市二模)如图所示，顶角θ＝45°的光滑金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r.导体棒与导轨接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．t＝0时，导体棒位于顶角O处．求：
(1)t时刻流过导体棒的电流I的大小和方向．
(2)导体棒做匀速直线运动时水平外力F的表达式．
(3)导体棒在0～t时间内产生的焦耳热Q.
11.(2020·天津市河西区3月线上测试)如图是某屏蔽高能粒子辐射的装置，铅盒左侧面中心O有一放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ向外辐射α粒子，铅盒右侧有一左右边界平行的匀强磁场区域．过O的截面MNPQ位于垂直磁场的平面内，OH垂直于MQ.已知∠MOH＝∠QOH＝53°.α粒子质量m＝6.64×10－27
kg，电荷量q＝3.20×10－19
C，速率v＝1.28×107
m/s；磁场的磁感应强度B＝0.664
T，方向垂直于纸面向里；粒子重力不计，忽略粒子间的相互作用及相对论效应，sin
53°＝0.80，cos
53°＝0.60.
(1)求垂直于磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t.
(2)若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，即达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度d.
12．(2020·福建漳州市测试)如图，直角坐标系xOy平面内第一、三、四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场．质量均为m、电荷量均为q的两带负电粒子a、b先后以速度v0从y轴上P点沿x轴正、负方向入射，经过一段时间后，两粒子恰好在x轴负半轴上的Q点相遇，此时两粒子均第一次通过x轴负半轴，已知OP的距离为d，磁感应强度B＝，不计粒子间的作用力和粒子的重力．求：
(1)设a的轨迹圆心为O1，O1Q与y轴的夹角θ；
(2)电场强度E的大小．
13.(2020·广西南宁市高三下学期第二次适应性测试)如图，x<0区域存在沿x轴正方向、场强大小为E的匀强电场；x≥0区域存在沿x轴负方向、场强大小为2E的匀强电场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在电场中P(－L,2L)点沿y轴负方向以某一初速度v0射出，粒子恰好从坐标原点O进入x>0区域．粒子重力不计．求：
(1)粒子的初速度大小v0；
(2)粒子第二次通过y轴的位置坐标．
14.(2020·江苏震泽中学高一期中)如图所示，在竖直平面内放置着绝缘轨道ABC，AB部分是半径R＝0.40
m的光滑半圆轨道，BC部分是粗糙的水平轨道，BC轨道所在的竖直平面内分布着E＝1.0×103
V/m的水平向右的有界匀强电场，AB为电场的左侧边界．现将一质量为m＝0.04
kg、电荷量为q＝－1×10－4
C的滑块(视为质点)从BC上的某点由静止释放，滑块通过A点时对轨道的压力恰好为零，已知滑块与BC间的动摩擦因数为μ＝0.05，g取10
m/s2.求：
(1)滑块通过A点时速度vA的大小；
(2)滑块在BC轨道上的释放点到B点的距离x；
(3)滑块离开A点后在空中运动速度v的最小值．
15.
(2020·贵州安顺市网上调研)如图所示，平行极板A、B间有一电场，设A、B间的距离为d1，在电场右侧有一宽度为d的匀强磁场．质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在A极板附近由静止释放，仅在电场力作用下，加速后以速度v离开电场，并垂直于磁场边界方向进入磁场，粒子离开磁场时与磁场边界线成30°角，不计重力．试求：
(1)极板A、B，哪个极板的电势高？A、B间的电压是多大？
(2)磁感应强度B的大小；
(3)粒子由静止释放到离开磁场所用的时间．
16.(2020·山东济南期末)如图所示，斜面光滑，倾角θ＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1＝1
m，bc边的长l2＝0.6
m，线框的质量m＝1
kg，电阻R＝0.1
Ω，线框用细线通过定滑轮与重物相连(不计摩擦)，重物质量M＝2
kg，斜面上ef线与gh线(ef∥gh)间有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B＝0.5
T。如果线框从静止开始运动，当ab边进入磁场B时恰好做匀速直线运动，ef线和gh线间的距离为9.1
m，g取10
m/s2，求：
(1)ab边由ef运动到gh线这段时间内产生的焦耳热；
(2)ab边由ef运动到gh线所用的时间。
17.(2020·衡中同卷)如图甲所示，在水平地面上固定两根平行光滑金属导轨，两导轨的间距为L，左端接一阻值为R的电阻，金属杆PQ静止在导轨上，电阻也为R，质量为m。虚线ef的右边区域存在足够长的匀强磁场，方向垂直于导轨平面向下，磁感应强度大小为B。给杆PQ施加一水平向右的恒定拉力，经过一段时间杆PQ到达ef位置，之后做匀速直线运动，导轨电阻不计。
甲　　　　　　　　乙
(1)PQ从初始位置到ef所用的时间为多少？
(2)如果杆PQ到达位置ef后撤去拉力，此时刻之后，杆PQ的速度v与位移x关系如图乙所示，求0～x0与x0～3x0两个过程中金属杆PQ产生的热量之比为多少？
电学综合计算题【解析】
1.
(2020·新疆高三三模)如图所示，在绝缘水平面上方，有两个边长d＝0.2
m的正方形区域Ⅰ、Ⅱ，其中区域Ⅰ中存在水平向右的大小为E1＝30
N/C的匀强电场，区域Ⅱ中存在竖直向上的大小为E2＝150
N/C的匀强电场．现有一可视为质点的质量为m＝0.3
kg的滑块，以v0＝1
m/s的初速度从区域Ⅰ边界上的A点进入电场，经过一段时间后，滑块从区域Ⅱ边界上的D点离开电场(D点未画出)，滑块的电荷量q＝＋0.1
C，滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.75，重力加速度取g＝10
m/s2.问：(计算结果可用根式表示)
(1)滑块进入区域Ⅱ时的速度是多少？
(2)D点与A点的水平距离、竖直距离分别为多少？
(3)若仅改变区域Ⅱ中电场强度的大小，要使滑块从区域Ⅱ中的右边界离开电场，则区域Ⅱ中电场强度大小E的取值范围应为多少？
【答案】　(1)
m/s　(2)
m　0.2
m　(3)10
N/CN/C
【解析】　(1)滑块在区域Ⅰ中运动时，设滑块的加速度大小为a1，根据牛顿第二定律可得：
qE1－μmg＝ma1
设滑块运动到两电场区域的交界点B时的速度大小为vB，则：
vB2－v02＝2a1d
联立解得vB＝
m/s
(2)设滑块在区域Ⅱ中做类平抛运动时，竖直向上的加速度大小为a2，根据牛顿第二定律得：
qE2－mg＝ma2
解得a2＝40
m/s2
假设滑块从区域Ⅱ的上边界离开电场区域，运动的时间为t0，根据类平抛运动的规律得，滑块在水平方向上做匀速运动，
则x1＝vBt0
在竖直方向上做匀加速运动，
则d＝a2t02
联立解得x1＝因此假设成立；
A、D两点之间的竖直距离yAD＝d＝0.2
m
A、D两点之间的水平距离xAD＝d＋＝
m
(3)设滑块在区域Ⅱ中运动，刚好从右边界的最上端离开时，竖直向上的加速度大小为a3，电场强度大小为E3，根据类平抛运动的规律，
水平方向上有d＝vBt
竖直方向上有d＝a3t2
根据牛顿第二定律得qE3－mg＝ma3
联立并代入数据解得E3＝90
N/C
若滑块到达C点时速度刚好为0，设此时电场强度大小为E4，水平方向的加速度大小为a4，由运动学规律得
vB2＝2a4d
根据牛顿第二定律得μ(mg－qE4)＝ma4
联立并代入数据解得E4＝10
N/C
2.
(2020·四川宜宾市叙州区二中高三下学期三诊)如图所示，在竖直分界线MN的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，竖直屏与MN之间有方向向上的匀强电场．在O处有两个带正电的小球A和B，两小球间不发生电荷转移．若在两小球间放置一个被压缩且锁定的小型弹簧(图中未画出，且不计弹簧长度)，解锁弹簧后，两小球均获得沿水平方向的速度．已知小球B的质量是小球A的n1倍，电荷量是小球A的n2倍．若测得小球A在磁场中运动的半径为r，小球B击中屏的位置的竖直偏转位移也等于r.两小球重力均不计．
(1)将两球位置互换，解锁弹簧后，小球B在磁场中运动，求两球在磁场中运动半径之比、时间之比；
(2)若A小球向左运动，求A、B两小球打在屏上的位置之间的距离．
【答案】　(1)n2　　(2)3r－
【解析】　(1)设小球A的质量为m，则小球B的质量为n1m，
两小球由静止反向弹开的过程中，系统动量守恒有
mvA＝n1mvB
小球A、B在磁场中做匀速圆周运动，分别有
qvAB＝，n2qvBB＝
联立解得＝n2
两小球在磁场中运动周期分别为
TA＝，TB＝
解得两球在磁场中运动时间之比为
＝＝
(2)两球运动轨迹如图所示，小球A经圆周运动后，在电场中做类平抛运动．
水平方向有L＝vAtA
竖直方向有yA＝aAt
由牛顿第二定律得qE＝maA
联立解得
yA＝()2
小球B在电场中做类平抛运动，同理有
yB＝()2
由题意知
yB＝r
应用几何关系得Δy＝yB＋2r－yA
联立解得
Δy＝3r－.
3.(2020·安徽合肥市一模)如图所示，在直角坐标xOy平面内，第一、二象限有平行于y轴的匀强电场，第三、四象限有垂直坐标平面的匀强电磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从坐标原点O以大小为v0，方向与x轴正方向成37°的速度沿坐标平面射入第一象限，粒子第一次回到x轴时，经过x轴上的P点(图中未标出)，已知电场强度大小为E，粒子重力不计，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8.
(1)求P点的坐标；
(2)若粒子经磁场偏转后，第二次回到x轴的位置与坐标原点O的距离为OP的一半，求磁场的磁感应强度大小和方向．
【答案】　(1)(，0)　(2)，方向垂直坐标平面向外，或，方向垂直坐标平面向外
【解析】　(1)设粒子第一次回到x轴过程所需要的时间为t，入射时沿y轴的初速度：
vy＝v0sin
37°
加速度a＝
运动到P点的时间t＝2
沿x轴的初速度：vx＝v0cos
37°，位移x＝vxt
联立上式，可解得x＝
即P点的坐标为(，0)
(2)粒子第二次回到x轴的位置与坐标原点O的距离为OP的一半，分析可知有两种情况：
①粒子回到x轴时在O点右侧．如图甲所示，由几何关系可知轨迹半径
R1＝＝x＝，
由洛伦兹力提供向心力：qv0B＝，
解得：B＝，方向垂直坐标平面向外；
②粒子回到x轴时在O点左侧，如图乙所示，由几何关系，可知轨迹半径
R2＝＝x＝
由洛伦兹力提供向心力：qv0B＝
解得：B＝，
方向垂直坐标平面向外．
4．(2020·湖南长郡中学高三模拟)如图所示，在竖直直角坐标系xOy内，x轴下方区域Ⅰ存在场强大小为E、方向沿y轴正方向的匀强电场，x轴上方区域Ⅱ存在方向沿x轴正方向的匀强电场．已知图中点D的坐标为(－L，－L)，虚线GD垂直于x轴．两固定平行绝缘挡板AB、OC间距为3L，OC在x轴上，AB、OC板平面垂直于纸面，点B在y轴上．一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从D点由静止开始向上运动，通过x轴后不与AB碰撞，恰好到达B点，已知AB＝14L，OC＝13L.
(1)求区域Ⅱ的场强大小E′以及粒子从D点运动到B点所用的时间t0；
(2)改变该粒子的初位置，粒子从GD上某点M由静止开始向上运动，通过x轴后第一次与AB相碰前瞬间动能恰好最大．
①求此最大动能Ekm以及M点与x轴间的距离y1；
②若粒子与AB、OC碰撞时均无动能损失(碰后水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变，方向相反)，求粒子通过y轴时的位置与O点的距离y2.
【答案】　(1)6E　5　(2)①18qEL　9L　②3L
【解析】　(1)由题知该粒子带正电，设从D点运动到x轴所用的时间为t1，加速度为a1，运动到x轴时的速度为v，则L＝a1t12，v＝a1t1
根据牛顿第二定律有qE＝ma1
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，所用的时间设为t2，在区域Ⅱ中运动时的加速度为a2，
则L＝a2t22
3L＝vt2
根据牛顿第二定律有qE′＝ma2
粒子从D点运动到B点所用的时间t0＝t1＋t2
联立以上式子可得E′＝6E，t0＝5
(2)①设粒子通过x轴时的速度大小为v0，碰到AB前做类平抛运动的时间为t，则v0＝
粒子第一次碰到AB前瞬间，沿x轴方向的分速度大小vx＝a2t
碰前瞬间动能Ek＝m，即Ek＝
由于·at2＝9L2a22为定值，当＝a22t2即t＝时动能Ek有最大值
由(1)得a2＝，
联立得最大动能Ekm＝18qEL
对应的v0＝
粒子在区域Ⅰ中做初速度为零的匀加速直线运动，则v02＝2a1y1
解得y1＝9L
②粒子在区域Ⅱ中的运动可等效为粒子以大小为v0的初速度在场强大小为6E的匀强电场中做类平抛运动直接到达y轴的K点，如图所示，则时间仍然为t2
OK＝v0t2
得OK＝9L
由于＝＝3，粒子与AB碰撞一次后，再与CD碰撞一次，最后到达B处，则y2＝3L.
5.
(2020·河南信阳市高三上学期第一次教学质量检测)两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置，间距为d＝1
m，在左端弧形轨道部分高h＝1.25
m处放置一金属杆a，弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦，在平直轨道右端放置另一金属杆b，杆a、b的电阻分别为Ra＝2
Ω、Rb＝5
Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2
T。现杆b以初速度大小v0＝5
m/s开始向左滑动，同时由静止释放杆a，杆a由静止滑到水平轨道的过程中，通过杆b的平均电流为0.3
A；从a下滑到水平轨道时开始计时，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示(以a运动方向为正方向)，其中ma＝2
kg，mb＝1
kg，g＝10
m/s2，求：
甲　　　　　　　　　　乙
(1)杆a在弧形轨道上运动的时间；
(2)杆a在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量；
(3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热。
【解析】　(1)设杆a由静止释放到滑至弧形轨道与平直轨道连接处时杆b的速度大小为vb0，以杆b运动的方向为正方向，对杆b运用动量定理，有
－Bd·Δt＝mbvb0－mbv0
其中vb0＝2
m/s
代入数据解得Δt＝5
s。
(2)对杆a由静止下滑到平直导轨上的过程中，由机械能守恒定律有magh＝mav
解得va＝＝5
m/s
设最后a、b两杆共同的速度为v′，以杆a运动的方向为正方向，由动量守恒定律得
mava－mbvb0＝(ma＋mb)v′
代入数据解得v′＝
m/s
杆a动量的变化量等于它所受安培力的冲量，设杆a的速度从va到v′的运动时间为Δt′，则由动量定理可得
－BdI·Δt′＝mav′－mava
而q＝I·Δt′
代入数据得q＝
C。
(3)由能量守恒定律可知杆a、b中产生的焦耳热为
Q＝magh＋mbv－(mb＋ma)v′2＝
J
b棒中产生的焦耳热为Q′＝Q＝
J。
7．如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求
(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．
【解析】：(1)H在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示。设H在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1，它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1。由运动学公式有
s1＝v1t1①
h＝a1t②
由题给条件，H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ1＝60°。H进入磁场时速度y分量的大小为
a1t1＝v1tanθ1③
联立以上各式得
s1＝h④
(2)H在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE＝ma1⑤
设H进入磁场时速度的大小为v′1，由速度合成法则有
v′1＝⑥
设磁感应强度大小为B，H在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qv′1B＝⑦
由几何关系得
s1＝2R1sinθ1⑧
联立以上各式得
B＝⑨
(3)设H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得
(2m)v＝mv⑩
由牛顿第二定律有
qE＝2ma2?
设H第一次射入磁场时的速度大小为v′2，速度的方向与x轴正方向夹角为θ2，入射点到原点的距离为s2，在电场中运动的时间为t2。由运动学公式有
s2＝v2t2
h＝a2t?
v′2＝?
sinθ2＝?
联立以上各式得
s2＝s1，θ2＝θ1，v′2＝v′1?
设H在磁场中做圆周运动的半径为R2，由⑦？式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
R2＝＝R1?
所以出射点在原点左侧。设H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s′2，由几何关系有
s′2＝2R2sinθ2?
联立④⑧式得，H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
s′2－s2＝(－1)h?
8．一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行．一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出，不计重力．
(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
(2)求该粒子从M点入射时速度的大小；
(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间．
【解析】：(1)粒子运动的轨迹如图(a)所示．(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)(3分)
(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动．设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ(见图(b))，速度沿电场方向的分量为v1.根据牛顿第二定律有
qE＝ma①(1分)
式中q和m分别为粒子的电荷量和质量．由运动学公式有
v1＝at②(1分)
l′＝v0t③(1分)
v1＝vcos
θ④(1分)
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
qvB＝⑤(1分)
由几何关系得
l＝2Rcos
θ⑥(1分)
联立①②③④⑤⑥式得
v0＝⑦(2分)
(3)由运动学公式和题给数据得
v1＝v0cot
⑧(1分)
联立①②③⑦⑧式得
＝⑨(2分)
设粒子由M点运动到N点所用的时间为t′，则
t′＝2t＋T⑩(2分)
式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，
T＝?(2分)
由③⑦⑨⑩?式得
t′＝?(2分)
9．如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比．
【解析】：(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
q1U＝m1v①(1分)
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1②(1分)
由几何关系知2R1＝l③(2分)
由①②③式得B＝④(2分)
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有
q2U＝m2v⑤(1分)
q2v2B＝m2⑥(1分)
由题给条件有2R2＝⑦(2分)
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
∶＝1∶4⑧(2分)
10.(2020·江苏南京市、盐城市二模)如图所示，顶角θ＝45°的光滑金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r.导体棒与导轨接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．t＝0时，导体棒位于顶角O处．求：
(1)t时刻流过导体棒的电流I的大小和方向．
(2)导体棒做匀速直线运动时水平外力F的表达式．
(3)导体棒在0～t时间内产生的焦耳热Q.
【答案】　(1)　b→a
(2)　(3)
【解析】　(1)0到t时间内，导体棒的位移：x＝v0t
由几何关系知，t时刻，导体棒与导轨接触点a和b间的长度：l＝x
电动势E＝Blv0，
回路总电阻R＝(2x＋x)r，
则电流I＝＝，
根据右手定则可知，电流方向为b→a
(2)导体棒做匀速直线运动时，水平外力等于安培力，则F＝BIl＝
(3)t时刻导体棒的电功率
P＝I2R′，由于I恒定，R′＝v0rt正比于t，因此＝
则＝I2＝I2R′
故Q＝t＝.
11.(2020·天津市河西区3月线上测试)如图是某屏蔽高能粒子辐射的装置，铅盒左侧面中心O有一放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ向外辐射α粒子，铅盒右侧有一左右边界平行的匀强磁场区域．过O的截面MNPQ位于垂直磁场的平面内，OH垂直于MQ.已知∠MOH＝∠QOH＝53°.α粒子质量m＝6.64×10－27
kg，电荷量q＝3.20×10－19
C，速率v＝1.28×107
m/s；磁场的磁感应强度B＝0.664
T，方向垂直于纸面向里；粒子重力不计，忽略粒子间的相互作用及相对论效应，sin
53°＝0.80，cos
53°＝0.60.
(1)求垂直于磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t.
(2)若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，即达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度d.
【答案】　(1)9.81×10－8
s　(2)0.72
m
【解析】　(1)粒子在磁场内做匀速圆周运动，由qvB＝m，T＝得：T＝＝×10－6
s
由对称性可知，垂直于磁场边界向左射出磁场的粒子一定垂直于磁场射入，粒子在磁场中运动轨迹为半圆，则粒子在磁场中运动的时间为：t＝
代入数据解得：t＝×10－6
s≈9.81×10－8
s
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m
代入数据解得：R＝0.4
m
若沿OQ方向进入磁场的粒子运动轨迹与磁场右边界相切，则所有粒子均不能从磁场的右边界射出，如图所示，由几何关系可得：d＝R＋Rsin
53°
代入数据可得：d＝0.72
m.
12．(2020·福建漳州市测试)如图，直角坐标系xOy平面内第一、三、四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场．质量均为m、电荷量均为q的两带负电粒子a、b先后以速度v0从y轴上P点沿x轴正、负方向入射，经过一段时间后，两粒子恰好在x轴负半轴上的Q点相遇，此时两粒子均第一次通过x轴负半轴，已知OP的距离为d，磁感应强度B＝，不计粒子间的作用力和粒子的重力．求：
(1)设a的轨迹圆心为O1，O1Q与y轴的夹角θ；
(2)电场强度E的大小．
【答案】　(1)60°　(2)
【解析】　(1)粒子a进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
qv0B＝m
解得R＝2d
粒子a做匀速圆周运动的轨迹如图所示，
根据图中几何关系可得
OO1＝R－OP＝d
又有cos
θ＝＝
解得θ＝60°
(2)粒子b做类平抛运动，设粒子b到达Q点所用的时间为t1
在水平方向有x＝2dsin
60°＝v0t1
在竖直方向有d＝at12
由牛顿第二定律知F＝qE＝ma
联立可得E＝.
13.(2020·广西南宁市高三下学期第二次适应性测试)如图，x<0区域存在沿x轴正方向、场强大小为E的匀强电场；x≥0区域存在沿x轴负方向、场强大小为2E的匀强电场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在电场中P(－L,2L)点沿y轴负方向以某一初速度v0射出，粒子恰好从坐标原点O进入x>0区域．粒子重力不计．求：
(1)粒子的初速度大小v0；
(2)粒子第二次通过y轴的位置坐标．
【答案】　(1)　(2)(0，－2L)
【解析】　(1)粒子在x<0区域做类平抛运动，轨迹如图所示，
设粒子的运动时间为t1，从P到O，由运动学规律有
2L＝v0t1，L＝a1t12
由牛顿第二定律有qE＝ma1
由运动学规律有vx2＝2a1L
联立解得v0＝vx＝
(2)在x>0区域，粒子做加速度恒定的匀变速曲线运动，设第二次通过y轴的位置为N，从O到N运动的时间为t2.
由牛顿第二定律有q·2E＝ma2
从O到N，由运动学规律有
ON＝v0t2,0＝vxt2－a2t22
联立解得ON＝2L
所以粒子第二次通过y轴的位置坐标为(0，－2L)．
14.(2020·江苏震泽中学高一期中)如图所示，在竖直平面内放置着绝缘轨道ABC，AB部分是半径R＝0.40
m的光滑半圆轨道，BC部分是粗糙的水平轨道，BC轨道所在的竖直平面内分布着E＝1.0×103
V/m的水平向右的有界匀强电场，AB为电场的左侧边界．现将一质量为m＝0.04
kg、电荷量为q＝－1×10－4
C的滑块(视为质点)从BC上的某点由静止释放，滑块通过A点时对轨道的压力恰好为零，已知滑块与BC间的动摩擦因数为μ＝0.05，g取10
m/s2.求：
(1)滑块通过A点时速度vA的大小；
(2)滑块在BC轨道上的释放点到B点的距离x；
(3)滑块离开A点后在空中运动速度v的最小值．
【答案】　(1)2
m/s　(2)5
m　(3)1.94
m/s
【解析】　(1)因为滑块通过A点时对轨道的压力恰好为零
所以有mg＝
解得vA＝2
m/s
(2)根据动能定理可得：|q|Ex－μmgx－mg·2R＝mv，
解得x＝5
m.
(3)滑块离开A点后在水平方向上做匀变速直线运动，故有：
vx＝vA＋axt＝vA＋t＝2－2.5t(国际单位)
在竖直方向上做自由落体运动，所以有vy＝gt＝10t，
v＝＝
故vmin＝
m/s≈1.94
m/s.
15.
(2020·贵州安顺市网上调研)如图所示，平行极板A、B间有一电场，设A、B间的距离为d1，在电场右侧有一宽度为d的匀强磁场．质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在A极板附近由静止释放，仅在电场力作用下，加速后以速度v离开电场，并垂直于磁场边界方向进入磁场，粒子离开磁场时与磁场边界线成30°角，不计重力．试求：
(1)极板A、B，哪个极板的电势高？A、B间的电压是多大？
(2)磁感应强度B的大小；
(3)粒子由静止释放到离开磁场所用的时间．
【答案】　(1)A极板　　(2)　(3)＋
【解析】　(1)由于带正电的粒子在电场中加速，可知A极板的电势比B极板的电势高
qU＝mv2
则两极板A、B间的电压：U＝
(2)粒子进入磁场后向下偏转，由左手定则可知磁感应强度B的方向是垂直纸面向外
带电粒子在磁场中运动时，有：qvB＝m
由几何关系有：＝cos
30°
解得磁感应强度B的大小为：B＝
(3)粒子在电场中做匀加速运动，设运动的时间为t1
d1＝t1，t1＝
设粒子在磁场中运动的时间为t2，由几何关系可得圆弧所对的圆心角为θ＝，
t2＝T＝
＝，
则t＝t1＋t2＝＋
.
16.(2020·山东济南期末)如图所示，斜面光滑，倾角θ＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1＝1
m，bc边的长l2＝0.6
m，线框的质量m＝1
kg，电阻R＝0.1
Ω，线框用细线通过定滑轮与重物相连(不计摩擦)，重物质量M＝2
kg，斜面上ef线与gh线(ef∥gh)间有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B＝0.5
T。如果线框从静止开始运动，当ab边进入磁场B时恰好做匀速直线运动，ef线和gh线间的距离为9.1
m，g取10
m/s2，求：
(1)ab边由ef运动到gh线这段时间内产生的焦耳热；
(2)ab边由ef运动到gh线所用的时间。
【答案】　(1)9
J　(2)1.1
s
【解析】　(1)线框匀速进入磁场过程，对M有T＝Mg
对m有T＝mgsinθ＋FA
焦耳热Q＝FAl2
解得Q＝9
J。
(2)ab边进入磁场时，有FA＝
解得：v＝6
m/s
线框进磁场B过程中l2＝vt1
线框完全进入磁场B后对M有Mg－T1＝Ma
对m有T1－mgsinθ＝ma
由匀加速直线运动，得x－l2＝vt2＋at
总时间t＝t1＋t2
解得t＝1.1
s。
17.(2020·衡中同卷)如图甲所示，在水平地面上固定两根平行光滑金属导轨，两导轨的间距为L，左端接一阻值为R的电阻，金属杆PQ静止在导轨上，电阻也为R，质量为m。虚线ef的右边区域存在足够长的匀强磁场，方向垂直于导轨平面向下，磁感应强度大小为B。给杆PQ施加一水平向右的恒定拉力，经过一段时间杆PQ到达ef位置，之后做匀速直线运动，导轨电阻不计。
甲　　　　　　　　乙
(1)PQ从初始位置到ef所用的时间为多少？
(2)如果杆PQ到达位置ef后撤去拉力，此时刻之后，杆PQ的速度v与位移x关系如图乙所示，求0～x0与x0～3x0两个过程中金属杆PQ产生的热量之比为多少？
【答案】　(1)　(2)
【解析】　(1)设拉力大小为F，杆的加速度为a，进入磁场时的速度为v0，则F＝ma
杆做匀加速运动，则v0＝at
杆在磁场中做匀速运动，则F＝F安＝BIL
I＝
E＝BLv0
联立解得：t＝。
(2)撤去拉力后，由图乙可知，杆在x＝x0处的速度大小为v＝v0
由能量关系，在0～x0过程中，金属杆PQ产生的热量Q1＝
在x0～3x0过程中，金属杆PQ产生的热量
Q2＝
解得＝。
2
/
2