中雅培粹学校
2020
年上学期入学考试卷
初三年级
数学科目
考生注意：本试卷共三道大题，26
小题，满分
120
分，时量
120
分钟
一、选择题（每小题
3
分，共
12
小题，共
36
分）
1．﹣2
的相反数是（
）
A．﹣2
B．﹣
1
C．2
D．
1
2
2
2．据国家旅游局统计，2020
年寒假全国各大景点共接待游客约为
82600000
人次，数据
82600000
用科学记数法表示为（
）
A．0.826×106
B．8.26×107
C．82.6×106
D．8.26×108
3．下列各式中，计算正确的是（
）
A．8a﹣3b＝5ab
B．（a2）3＝a5
C．a8÷a4＝a2
D．a2?a＝a3
4．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（
）
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
5．如图，已知
BE
平分∠ABC，且
BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C
的度数是（
）
A．20°
B．25°
C．30°
D．50°
6．下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，边长为2
3
的等边△ABC
的内切圆的半径为（
）
A．1
B．
C．2
D．
2
8.下列说法正确的是（
）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币
10
次，一定有
5
次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为
40%”，表示明天有
40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a
是实数，|a|≥0”是不可能事件
第
5
题图
第
7
题图
第
9
题图
第
10
题图
9．如图，在?ABCD
中，AB＝3，以点
A
为圆心，AB
长为半径画弧交
AD
于点
F，再分别以点
B、F
为圆心，
大于
1
BF
的相同长为半径画弧，两弧交于点
P；连接
AP
并延长交
BC
于点
E，连接
EF，则四边形
ABEF
的周
2
长为（
）
A．12
B．14
C．16
D．18
10．如图，一架无人机航拍过程中在
C
处测得地面上
A，B
两个目标点的俯角分别为
30°和
60°．若
A，B
两个目标点之间的距离是
120
米，则此时无人机与目标点
A
之间的距离（即
AC
的长）为（
）
A．120
米
B．120
米
C．60
米
D．
60
米
11.某出租车起步价所包含的路程为
0～2km，超过
2km
的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了
7km，
付了
16
元；盼盼乘坐这种出租车走了
13km，付了
28
元．设这种出租车的起步价为
x
元，超过
2km
后每千米收费
y
元，则下列方程正确的是（
）
x
7
y
16
x
(7
2)
y
16
x
7
y
16
x
(7
2)
y
16
A．
x
13
y
28
B．
k
x
13
y
28
C．
x
(13
2)
y
28
D．
x
(13
2)
y
28
12．如图，P
为反比例函数
y＝
（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点
P
分别作
x
轴，y
轴的垂线交一次
x
函数
y＝﹣x﹣4
的图象于点
A、B．若∠AOB＝135°，则
k
的值是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
二、填空题（每小题
3
分，共
6
小题，共
18
分）
13.
已知函数关系式：
y
，则自变量
x
的取值范围是
.
x
1
14.
因式分解：2a2﹣8＝
．
15．方程
2
x
4
2
x
0的解为
．
4
x
16．在一个不透明的盒子中装有
n
个小球，它们只有颜色上的区别，其中有
2
个红球．每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于
0.2，
那么可以推算出
n
大约是
．
17.如图，身高为
1.8
米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在
B
处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得
AB＝2
米，BC＝18
米，则旗杆
CD
的高度是
米．
18.如图，正方形
ABCD
的边长为
8，E
为
BC
上一点，且
BE＝2，F
为
AB
边上的一个动点，连接
EF，以
EF
为边向右侧作等边△EFG，连接
CG，则
CG
的最小值为
．
第
12
题图
第
17
题图
第
18
题图
三、计算解答题（共
8
小题，共
66
分）
21．（本小题
8
分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了
该区域每天的空气质量情况，统计了
2013
年
1
月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）统计图共统计了
天的空气质量情况．
（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数．
（3）从小源所在班级的
40
名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？
22．（本小题
8
分）22．如图，△ABC
中，以
AB
为直径的⊙O
交
AC
于点
D，
∠DBC＝∠BAC．
（1）求证：BC
是⊙O
的切线；
（2）若⊙O
的半径为
2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
23．（本小题
9
分）某商店购进一批成本为每件
30
元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于
50
元销售．经调查发现，该商品每天的销售量
y（件）与销售单价
x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量
y（件）与销售单价
x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润
w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于
800
元，求出每天的销售量至少应为多少件？
24.（本小题
9
分）已知二次函数y
x
2
4x
3a
2
（a
为实数），
（1）若抛物线与
x
轴交于
A、B
两点，
①已知
A（-1,0），求
B
的坐标；
②若
AB=
，求
a
的值；
（2）若二次函数的图象在
x≤5
的部分与一次函数
y=2x-1
的图象有两个交点，求
a
的取值范围.
25.（本小题
10
分）在△ABC
中，∠ABC＝90°，
AB
＝n，M
是
BC
上一点，连接
AM．
BC
（1）如图
1，若
n＝1，N
是
AB
延长线上一点，CN
与
AM
垂直，求证：BM＝BN．
（2）过点
B
作
BP⊥AM，P
为垂足，连接
CP
并延长交
AB
于点
Q．
②如图
3，若
M
是
BC
的中点，直接写出
tan∠BPQ
的值．（用含
n
的式子表示）
26．（本小题
10
分）如图，已知二次函数
y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与
x
轴交于
A、B
两点，（A
在
B
左侧，且
OA＜OB），与
y
轴交于点
C．
（1）求
C
点坐标，并判断
b
的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线
AC
相交于点
D，已知
DC：CA＝1：2，直线
BD
与
y
轴交于点
E，
连接
BC．
①若△BCE
的面积为
8，求二次函数的解析式；
②若△BCD
为锐角三角形，求出
OA
的取值范围．
3
3
3
3
1
2中雅培粹学校九年级数学入学考试答案及评分标准
选择题（每题3分，共36分）
1-6CBDCBB
7-12ACABDD
填空题（每题3分，共18分）
14.
15.无解
16.
10
17.
18
18.
5
计算解答题
（6分）原式=……4′
=0.5……2′
（6分），……4′
代入得原式=……2′
21.（8分=2′+4′+2′）解：（1）70÷70%＝100（天），故答案是：100；……2′
（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%＝72°……2′；
如图所示：……2′
（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．……2′
22．（8分=4′+5′）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
证明题按得分点给分，过程中没有相应的得分点，则扣除相应的分数。（下同）
【解答】（1）证明：
法一∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，……1′
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC+∠ABD＝90°，
∴AB⊥BC，……2′
∵AB为直径，
∴BC是⊙O切线；……1′
法二：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，……1′
∵∠DBC=∠BAC，∠C=∠C
∴△BCD∽△ACB
∴∠ABC=∠ADB=90°
即AB⊥BC，……2′
∵AB为直径，
∴BC是⊙O切线；……1′
（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOD＝2∠A＝60°，……1′
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB＝BD＝OD＝2，
∴BM＝DM＝1，
由勾股定理得：OM＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△DOB＝﹣×2×＝π﹣．……3′
23.（9分=3′+3′+3′）解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；……3′
由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）=-2x2+220x-4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，……1′
∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，……1′
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；……1′
（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＞800，
解得：40＜x＜70，……1′
∵30≤x≤50
解得：40＜x≤50，……1′
在y＝﹣2x+160中，
∵-2<0
∴y随x的增大而减小
当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60
∴每天的销售量最少应为60件．……1′
（9分=3′+3′+3′）
解：（1）法一：
由题得，对称轴为x＝2．……1′
∴B（5,0）……2′
法二：A（-1,0）带入解析式求得a=……1′
∴y=x2-4x-5
∴B（5,0）……2′
（2）设A、B的横坐标分别是x1、x2
则
由韦达定理得x1+x2=4,x1·x2=3a+2……1′
∴
解得，……2′
此时△>0,符合题意。
（3）∵二次函数的图象在x≤5的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，……1′
把x＝5代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝9，
把（5，9）代入y＝x2﹣4x+3a+2得9＝25﹣20+3a+2，解得a＝，……1′
故该二次函数的图象在x≤5的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．……1′
25．（10分=3′+3′+4′）（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．
∵AM⊥CN，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，
∵∠AMB＝∠CMH，
∴∠BAM＝∠BCN，……1′
∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，
∴△ABM≌△CBN（ASA），……1′
∴BM＝BN．……1′
（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．
∵BP⊥AM，
∴∠BPM＝∠ABM＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，
∴∠BAM＝∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠BCH＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM＝CH，
∵CH∥BQ，
∴＝＝．……3′（方法不唯一，有理有据即可）
②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．
则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，
∵?AM?BP＝?AB?BM，
∴PB＝，
∵?BH?CN＝?CH?BC，
∴CN＝，
∵CN⊥BH，PM⊥BH，
∴MP∥CN，∵CM＝BM，
∴PN＝BP＝，
∵∠BPQ＝∠CPN，
∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．……4′（答案对即可）
方法二：易证：＝＝＝，
∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．
26．（10分=3′+3′+4′）解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），……2′
∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即
∵a＞0，∴b＜0；……1′
（2）①过点D作DM⊥Oy，
则，
∴，……1′
设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m
∵OC＝4，∴CM＝2，
∴D（m，﹣6），B（4m，0），
则，
∴OE＝8，
S△BEF＝×4×4m＝8，
∴m＝1，……1′
∴A（﹣2，0），B（4，0），
设y＝a（x+2）（x﹣4），
即y＝ax2﹣2ax﹣8a，
令x＝0，则y＝﹣8a，
∴C（0，﹣8a），
∴﹣8a＝﹣4，a＝，
∴；……1′
②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，
CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，
当∠CDB为锐角时，
CD2+DB2＞CB2，
m2+4+9m2+36＞16m2+16，
解得﹣2＜m＜2；
当∠BCD为锐角时，
CD2+CB2＞DB2，
m2+4+16m2+16＞9m2+36，
解得，
综上：，；
求出m=（或OA=）……1′
求出m=2（或OA=4）……1′
故：．……2′
