第三章 圆 第一讲 圆的基本性质及位置关系
文档属性
| 名称 | 第三章 圆 第一讲 圆的基本性质及位置关系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 57.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-12-21 23:48:55 | ||
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文档简介
第三章 圆
第一讲 圆的基本性质及位置关系
一知识梳理
知识点1.垂径定理及垂径定理的逆定理
垂直于弦的直径 ，并且 ．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
知识点2. 圆周角定理
在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的 .
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆或直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是
知识点3弦、弧、圆周角的关系
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.
知识点4点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
②过一点的圆有 个，过两点的圆有 个， 的三点确定一个圆。
过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 这个圆叫做三角形的 ，圆心叫做这个三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 .
二典型例题剖析
题型一 利用垂径定理
例1如图①，已知⊙O的直径AB=16cm，P是OB的中点， ∠APC=30°，求CD的长
【变式训练1】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16 cm，以点
C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于点D，求AD的长
题型二 利用圆周角定理求角
例2如图③，C是⊙O的直径AB上一点，以点过点C作弦DE，使CD=CO，若弧AD度数为35°圆心，AC为半径的圆交斜边AB于点D，求弧BE的的度数
【变式训练2】如图④，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，并且弧AB=BC=CD,若∠BEC=130°，求∠ACD的度数
题型三 利用圆周角定理线段
例3如图⑤，△ABC的三个顶点都在⊙O上，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的半径
【变式训练3】如图⑥，在直径为2⊙O中有两条弦AB、CD，AB=1，CD=,求弧AB、和CD所对的圆周角的度数
题型四 三角形外接圆
例4如图⑦，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆的半径
【变式训练4】如果⊙O的半径为1cm，，△ABC为⊙O的内接三角形，且BC=cm，求∠A的度数
跟踪训练
一、填空
1.如图1，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=?_____ cm.?
2.如图2，⊙O的直径AC=2，∠BAD=75°，∠ACD=45°，则四边形ABCD的周长为_____(结果取准确值).
3.如图3，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是_____.
图1 图2 图3
4.如图4，在⊙O中，两弦AD∥BC，AC、BD相交于点E，连接AB、CD，图中的全等三角形共有_____对.相似比不等于1的相似三角形共有_____对.
5.如图5，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
图4 图5
二、选择
6.如图6，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为
A.6条 B.5条 C.4条 D.2条
7.如图7，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标分别交于A、B、C、D四点，已知：A(6，0)，B(0，－3)，C(－2，0)，则点D的坐标为
A.(0，2) B.(0，3) C.(0，4) D.(0，5)
图6 图7 图8
8.如图8，已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则
S△CDE∶S△ABE等于
A.sin2α B.cos2α C.tan2α D.与α无关
9.如图9，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是
图9
10.如图10，已知：AB=，BC=2，CD=1，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
图10
11.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)
12如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD=∠COB.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论.
参考答案
一、1. 3 2. 1+2 3. 3≤OP≤5 4. 3 1 5.6 cm
二、6.B 7.C 8.B 9.A 10.D
三、11.方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.
方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.
12.(1)证明：连结OD, ∵AB是直径，AB⊥CD, ∴=.
∴∠COB=∠DOB=∠COD.
又∵∠CPD=∠COD, ∴∠CPD=∠COB.
(2)略
A
P
O
D
C
B
A
D
C
B
②
A
E
D
C
B
③
A
B
E
C
D
O
④
C
A
B
⑤
A
C
B
D
⑥
A
C
B
⑦⑦
第一讲 圆的基本性质及位置关系
一知识梳理
知识点1.垂径定理及垂径定理的逆定理
垂直于弦的直径 ，并且 ．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
知识点2. 圆周角定理
在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的 .
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆或直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是
知识点3弦、弧、圆周角的关系
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.
知识点4点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
②过一点的圆有 个，过两点的圆有 个， 的三点确定一个圆。
过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 这个圆叫做三角形的 ，圆心叫做这个三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 .
二典型例题剖析
题型一 利用垂径定理
例1如图①，已知⊙O的直径AB=16cm，P是OB的中点， ∠APC=30°，求CD的长
【变式训练1】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16 cm，以点
C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于点D，求AD的长
题型二 利用圆周角定理求角
例2如图③，C是⊙O的直径AB上一点，以点过点C作弦DE，使CD=CO，若弧AD度数为35°圆心，AC为半径的圆交斜边AB于点D，求弧BE的的度数
【变式训练2】如图④，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，并且弧AB=BC=CD,若∠BEC=130°，求∠ACD的度数
题型三 利用圆周角定理线段
例3如图⑤，△ABC的三个顶点都在⊙O上，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的半径
【变式训练3】如图⑥，在直径为2⊙O中有两条弦AB、CD，AB=1，CD=,求弧AB、和CD所对的圆周角的度数
题型四 三角形外接圆
例4如图⑦，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆的半径
【变式训练4】如果⊙O的半径为1cm，，△ABC为⊙O的内接三角形，且BC=cm，求∠A的度数
跟踪训练
一、填空
1.如图1，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=?_____ cm.?
2.如图2，⊙O的直径AC=2，∠BAD=75°，∠ACD=45°，则四边形ABCD的周长为_____(结果取准确值).
3.如图3，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是_____.
图1 图2 图3
4.如图4，在⊙O中，两弦AD∥BC，AC、BD相交于点E，连接AB、CD，图中的全等三角形共有_____对.相似比不等于1的相似三角形共有_____对.
5.如图5，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
图4 图5
二、选择
6.如图6，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为
A.6条 B.5条 C.4条 D.2条
7.如图7，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标分别交于A、B、C、D四点，已知：A(6，0)，B(0，－3)，C(－2，0)，则点D的坐标为
A.(0，2) B.(0，3) C.(0，4) D.(0，5)
图6 图7 图8
8.如图8，已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则
S△CDE∶S△ABE等于
A.sin2α B.cos2α C.tan2α D.与α无关
9.如图9，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是
图9
10.如图10，已知：AB=，BC=2，CD=1，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
图10
11.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)
12如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD=∠COB.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论.
参考答案
一、1. 3 2. 1+2 3. 3≤OP≤5 4. 3 1 5.6 cm
二、6.B 7.C 8.B 9.A 10.D
三、11.方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.
方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.
12.(1)证明：连结OD, ∵AB是直径，AB⊥CD, ∴=.
∴∠COB=∠DOB=∠COD.
又∵∠CPD=∠COD, ∴∠CPD=∠COB.
(2)略
A
P
O
D
C
B
A
D
C
B
②
A
E
D
C
B
③
A
B
E
C
D
O
④
C
A
B
⑤
A
C
B
D
⑥
A
C
B
⑦⑦