2020--2021学年人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》常考题专练（二）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020--2021学年人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》常考题专练（二）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 155.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-21 15:20:34 | ||
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文档简介
2020--2021学年八年级下册第18章《平行四边形》
常考题专练（二）
1．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
4．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．
5．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求AE，BF之间的距离．
6．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF＝∠BAE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长度．
7．如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
①以点A为圆心，AB长为半径画弧；
②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD、CD；
（1）求证：∠BAE＝∠DAE；
（2）当AB＝BC时，猜想四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论；
（3）当AC＝8cm，BD＝6cm，现将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
8．如图，在?ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）连接BD、AF，当BE平分∠ABD时，求证：四边形ABDF是菱形．
9．已知：如图，在?ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO＝CO．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是
（直接写出这个条件）．
10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．
参考答案
1．解：（1）如图所示，EF为所求直线；
（2）四边形BEDF为菱形，理由为：
证明：∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF为菱形．
2．（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝AC，FG＝BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
3．解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6．
4．解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED＝BG，
∴BE＝ED＝DG＝GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，
∴EM＝BE＝，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝，MN＝DE＝2，
在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC＝，
∴MC＝3，
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝．MC＝3，
∴EC＝＝＝10．
∵HG+HC＝EH+HC＝EC，
∴HG+HC的最小值为10．
5．（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形ABCD的面积为×AC×BD＝×6×8＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
∴5×AM＝24，
∴AM＝，
即AE，BF之间的距离是．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠DCF＝90°，
∵∠BAE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴BC＝EF，
∵BC＝AD，
∴EF＝AD，
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：由（1）知：EF＝AD＝5，
在△EFD中，∵DF＝3，DE＝4，EF＝5，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴∠EDF＝90°，
∴?ED?DF＝EF?CD，
∴CD＝．
7．（1）证明：在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAE＝∠DAE；
（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AB＝AD，BC＝DC，AB＝BC，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积＝AC?BD＝8×6＝24（cm2），
∴拼成的正方形的边长＝＝2（cm）．
8．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∵点F在CD的延长线上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE＝∠DFE．
∵E是AD中点，
∴AE＝DE．
在△ABE和△DFE中，，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△DFE，
∴AB＝DF．
∵AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF．
∵AB∥DF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB．
∴DB＝DF．
∴四边形ABDF是菱形．
9．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）由（1）的证明可得EF⊥AC多余．
故答案为：EF⊥AC．
10．（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，
∴∠ADF＝∠GFC＝90°，
∴AE∥GF，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG，
∴AG＝FG，
∵∠FBG+∠BED＝90°，
∵∠BED＝∠AEG，
∴∠FBG+∠AEG＝90°，
∵∠ABG+∠AGE＝90°，
∵∠ABG＝∠FBG，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝FG，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE＝AG∴四边形AEFG是菱形．
（2）解：∵四边形AEFG是菱形，
∴AE＝AG，
∵BE＝EG，∠BAG＝90°，
∴AE＝BE＝EG，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠AGE＝60°，
在RT△ABG中，∵∠ABG＝30°，
∴AB＝AG，
∵∠C＝30°，∴BC＝2AB，
∴BE＝GE，EF∥AC，EM∥BC，
∴BF＝FC，CM＝GM，
在RT△AEM中，∵∠AME＝∠C＝30°，∠GEM+∠GME＝60°，
∴∠GEM＝∠GME＝30°，
∴EG＝AG＝GM＝CM，
∵EM∥FC，EF∥CM，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴AB＝BF＝CF＝EM＝CM，
∴是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．
常考题专练（二）
1．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
4．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．
5．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求AE，BF之间的距离．
6．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF＝∠BAE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长度．
7．如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
①以点A为圆心，AB长为半径画弧；
②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD、CD；
（1）求证：∠BAE＝∠DAE；
（2）当AB＝BC时，猜想四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论；
（3）当AC＝8cm，BD＝6cm，现将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
8．如图，在?ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）连接BD、AF，当BE平分∠ABD时，求证：四边形ABDF是菱形．
9．已知：如图，在?ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO＝CO．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是
（直接写出这个条件）．
10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．
参考答案
1．解：（1）如图所示，EF为所求直线；
（2）四边形BEDF为菱形，理由为：
证明：∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF为菱形．
2．（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝AC，FG＝BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
3．解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6．
4．解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED＝BG，
∴BE＝ED＝DG＝GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，
∴EM＝BE＝，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝，MN＝DE＝2，
在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC＝，
∴MC＝3，
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝．MC＝3，
∴EC＝＝＝10．
∵HG+HC＝EH+HC＝EC，
∴HG+HC的最小值为10．
5．（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形ABCD的面积为×AC×BD＝×6×8＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
∴5×AM＝24，
∴AM＝，
即AE，BF之间的距离是．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠DCF＝90°，
∵∠BAE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴BC＝EF，
∵BC＝AD，
∴EF＝AD，
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：由（1）知：EF＝AD＝5，
在△EFD中，∵DF＝3，DE＝4，EF＝5，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴∠EDF＝90°，
∴?ED?DF＝EF?CD，
∴CD＝．
7．（1）证明：在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAE＝∠DAE；
（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AB＝AD，BC＝DC，AB＝BC，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积＝AC?BD＝8×6＝24（cm2），
∴拼成的正方形的边长＝＝2（cm）．
8．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∵点F在CD的延长线上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE＝∠DFE．
∵E是AD中点，
∴AE＝DE．
在△ABE和△DFE中，，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△DFE，
∴AB＝DF．
∵AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF．
∵AB∥DF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB．
∴DB＝DF．
∴四边形ABDF是菱形．
9．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）由（1）的证明可得EF⊥AC多余．
故答案为：EF⊥AC．
10．（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，
∴∠ADF＝∠GFC＝90°，
∴AE∥GF，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG，
∴AG＝FG，
∵∠FBG+∠BED＝90°，
∵∠BED＝∠AEG，
∴∠FBG+∠AEG＝90°，
∵∠ABG+∠AGE＝90°，
∵∠ABG＝∠FBG，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝FG，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE＝AG∴四边形AEFG是菱形．
（2）解：∵四边形AEFG是菱形，
∴AE＝AG，
∵BE＝EG，∠BAG＝90°，
∴AE＝BE＝EG，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠AGE＝60°，
在RT△ABG中，∵∠ABG＝30°，
∴AB＝AG，
∵∠C＝30°，∴BC＝2AB，
∴BE＝GE，EF∥AC，EM∥BC，
∴BF＝FC，CM＝GM，
在RT△AEM中，∵∠AME＝∠C＝30°，∠GEM+∠GME＝60°，
∴∠GEM＝∠GME＝30°，
∴EG＝AG＝GM＝CM，
∵EM∥FC，EF∥CM，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴AB＝BF＝CF＝EM＝CM，
∴是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．