(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
第1课时 完全平方公式
学习目标
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号意识和推理能力.
2.(课标)能推导乘法公式:(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,并能利用公式进行简单计算.
3.了解完全平方公式的几何背景(课标),发展几何直观.
知识点一:完全平方公式
(1)完全平方公式:(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的
,叫做完全平方公式.?
知识要点
积的2倍
(2)完全平方公式的推导(代数方法):
①(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2;
②(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
1.(1)计算:
①(a＋2b)2;
②(a－2b)2.
(2)如果x2＋mx＋1是一个完全平方式,那么m的值是
.?
2或－2
对点训练
a2＋4ab＋4b2
a2－4ab＋4b2
知识点二:利用图形验证完全平方公式
根据图1所示图形的面积可以写出的一个等式是
;?
根据图2所示图形的面积可以写出的一个等式是
.?
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
A.a2－b2＝(a－b)2
B.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
2.如图,利用图形面积关系可以解释的公式是(
)
C
知识点三:完全平方公式的常用变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab;
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab;
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab;
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2);
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab;
(2)运用完全平方公式计算:
①(2a＋5b)2;
②(100－2)2;
②原式＝1002－400＋4＝9
604.
3.(1)下列计算正确的是(
)
A.(x＋y)2＝x2＋y2
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
C.(x＋1)(x－1)＝x2－1
D.(x－1)2＝x2－1
解:①原式＝4a2＋20ab＋25b2.
C
③(－2m－1)2.
③原式＝(－2m)2－2·(－2m)·1＋12＝4m2＋4m＋1.
A.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D.(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3
4.【例1】如图,利用图形面积关系可以解释的公式是(
)
精典范例
A
A.a2－b2＝(a－b)2
B.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
7.根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.你根据图乙能得到的数学公式是(
)
变式练习
C
(2)原式＝y2－2·y·5＋52＝y2－10y＋25.
5.【例2】运用完全平方公式计算:
(1)(x＋6)2;
(2)(y－5)2;
解:(1)原式＝x2＋2·x·6＋62＝x2＋12x＋36.
(3)原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·5＋52＝4x2－20x＋25.
8.运用完全平方公式计算:
(1)(3＋5p)2;
(2)(a－3b)2;
9＋30p＋25p2
a2－6ab＋9b2
9.若x＋y＝3,求(x－y)2＋4xy－1的值.
解:原式＝x2－2xy＋y2＋4xy－1
＝x2＋2xy＋y2－1
＝(x＋y)2－1,
当x＋y＝3时,原式＝32－1＝8.
10.(新题速递)小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时,得到正确结果4x2+20xy+
,不小心把最后一项染黑了,你认为这一项是(
)
A.5y2
B.10y2
C.100y2
D.25y2
D
11.(新题速递)(2020枣庄)图1是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空余的部分的面积是(
)?
A.ab
B.(a+b)2
C.(a－b)2
D.a2－b2
C
12.(新题速递)(2020成都)已知a＝7－3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为
.?
12.(新题速递)(2020杭州)设M＝x+y,N＝x－y,P＝xy.
若M＝1,N＝2,则P＝
.?
49 (共14张PPT)
第一章 整式的乘除
第2课时 完全平方公式
学习目标
1.进一步发展符号意识和推理能力.
2.(课标)能利用乘法公式进行简单的计算.
知识要点
知识点一:利用完全平方公式进行简便计算
?
(1)解答此类题目的关键是恰当变形,将其变化成两数和或差的平方.
?
(2)例如,在计算9.82时,可先把9.8写成10－0.2的形式,即9.82＝(10－0.2)2,进而利用完全平方公式计算即可.
对点训练
1.(教材P27习题T3变式)用完全平方公式计算:
(1)1022;
(2)992.
解:(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10
404.
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12
＝10
000－200＋1＝9
801.
知识点二:完全平方差公式的应用
?
(1)熟悉完全平方差公式的结构与各种变形之间的联系,灵活运用公式进行代数式的恒等变形.
?
(2)常用变形如下:
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab;
②(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
(2)若a＋b＝3,a2＋b2＝7,则ab＝(
)
A.2
B.1
C.－2
D.－1
2.(1)已知a－b＝4,ab＝－3,则a2＋b2的值为
;
B
10
知识点三:完全平方公式和平方差公式的综合运用
计算:(x＋y)2－(x＋y)(x－y).
解:原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋y2＝2y2＋2xy.
3.计算:4(x＋1)2－(2x＋5)(2x－5).
解:原式＝4x2＋8x＋4－4x2＋25＝8x＋29.
4.【例1】利用完全平方公式计算:2012.
精典范例
解:原式＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋1＝40
401.
7.利用完全平方公式计算:4992.
变式练习
解:原式＝(500－1)2＝5002－2×500×1＋1＝249
001.
(2)(x＋y＋1)(x＋y－1);
5.【例2】计算:
(1)(x＋1)2－x2;
(2)原式＝(x＋y)2－1＝x2＋2xy＋y2－1.
解:(1)原式＝x2＋2x＋1－x2＝2x＋1.
(3)(x＋5)2－(x－2)(x－3).
(3)原式＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6＝15x＋19.
(2)(a＋b－2)(a－b＋2);
8.计算:
(1)a2b2－(ab－1)2;
(2)原式＝[a＋(b－2)][a－(b－2)]＝a2－b2＋4b－4.
解:(1)原式＝a2b2－(a2b2－2ab＋1)
＝a2b2－a2b2＋2ab－1＝2ab－1.
(3)(a＋2b)2－(a－2b)(a＋2b).
(3)原式＝a2＋4ab＋4b2－(a2－4b2)
＝a2＋4ab＋4b2－a2＋4b2＝8b2＋4ab.
★9.一个底面是正方形的长方体,高为6
cm,底面正方形边长为5
cm,如果它的高不变,底面正方形边长增加了a
cm,那么它的体积增加了多少?
解:6(a＋5)2－6×52
＝150＋60a＋6a2－150
＝6a2＋60a.
答:它的体积增加了(6a2＋60a)cm3.
