2020-2021年北师大版七年级数学下册 4.5 利用三角形全等测距离课件（36张）

第四章　三角形
利用三角形全等测距离
学习目标
1.能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联系.
2.能在解决问题的过程中进行有条理地思考和表达.
知识要点
知识点一:三角形全等的条件的灵活选用
想一想
如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小
明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔
帮他出了这样一个主意：先在地上取
一个可以直接到达A点和B点的点C，
连接AC并延长到D，使CD＝CA；
连接BC并延长到E，使CE＝CB，
连接DE并测量出它的长度，DE的长
度就是AB间的距离.
你能说明其中的道理吗?
小明是这样想的：
在△ABC和△DEC中，
因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC
所以△ABC≌△DEC，
所以AB＝DE.
你能说出每步的道理吗?
1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之
间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造
全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的
两点来进行测量．
2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构
造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；
构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；
构造三边对应相等的两个全等三角形.
1.(1)(2020齐齐哈尔)如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB＝∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是
　 　.(只填一个即可)?
对点训练
AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等)　
(2)(2020兰州)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D,E分别是AC和AB的中点.试说明:BD＝CE.
知识点二:利用三角形全等测距离
?
(1)利用三角形全等可以解决不能到达或不能直接测量的两点之间的距离问题.解题关键是构造两个全等三角形,利用全等三角形的对应边相等间接计算两地之间的距离.
?
(2)构造全等三角形时要满足三角形全等的条件:“SSS”“SAS”
“ASA”以及“AAS”.
3.把两根钢条AB′，BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，如图，若测得A、B间的距离为5厘米，则槽宽为________厘米．
如图，连接AB，根据O为AB′和BA′
的中点，可得OA＝OB′，OB＝OA′，
且∠A′OB′＝∠AOB，所以根据
“SAS”即可判定△OA′B′≌△OBA，
所以，测出AB的长度即可求得A′B′
的长度．
导引：
5
此题中，A′B′的长度无法直接测量，所以构建全
等三角形，通过测量AB的长度来得到A′B′的长度．解
答此题的关键就是构建全等三角形，并确定所要测量
的边的对应边．
小 结
4.如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由．
因为没有过河的工具，
所以无法直接测量两塔
间的距离，所以，可通
过构建全等三角形，转
化到岸上来测量．
导引：
能．如图，沿河岸作射线BF，且使
BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过
D点作DE⊥BF，使点E，C，A在同
一条直线上，则DE的长就是两座宝
塔A、B间的距离．
理由如下：因为在△ACB和△ECD中，

所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE.
解：
利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条
件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建
全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在
测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏
地“测量到位”．在此题中，首先明确用“ASA”来说明两
个三角形全等，于是在测量方案中设计BF⊥AB，BC＝CD，
DE⊥BF等条件，其目的是要得到利用“ASA”判定三角形
全等所需要的条件．
小 结
5.工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请你说明理由．
导引：
易知OM＝ON，OP为公共边，另
外，当角尺两边相同的刻度分别
与M，N重合时，则说明NP＝MP，
所以，可得△MOP≌△NOP，然后根据全等三角形
的性质即可求解．
解：
因为OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP，
所以△MOP≌△NOP(SSS)，
所以∠MOP＝∠NOP，
所以OP平分∠MON，
即OP是∠AOB的平分线．
利用三角形全等，不仅可以测量距离，还可以解
决角度、面积、周长等相关问题．解答此题时要善于
运用转化思想与建模思想，将实际问题转化为数学问
题．解答此题的关键是从问题情境中得到两个三角形
全等的条件，如：从“使角尺两边相同的刻度分别与
M，N重合”这一描述性语言中得到NP＝MP.
小 结
6. 如图所示是约为两层楼高的人字形钢梁，工人师傅
要检查钢梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个长度不到1米的刻度尺．请你帮他设计一个测量方案，并说明理由．
导引：
分别构建以∠B和∠C为对应角
的两个三角形，然后分别测量两
个三角形的边长，若三组边分别
相等，则两个三角形全等，再通
过全等三角形的性质来判断∠B
和∠C是否相等．
解：
如图，
①分别在BA和CA上量取BE＝CG；
②在BC上量取BD＝CF；
③然后测量出DE与FG的长度，若
DE＝FG，则说明∠B和∠C是相等的．
理由：因为在△BDE和△CFG中，
所以△BDE≌△CFG(SSS)，
所以∠B＝∠C.
设计测量方案的问题往往具有开放性，需要根据
已有条件，围绕测量的问题展开想象，而通过构建全
等三角形来进行测量是常用的方法之一．本题的解答，
正是通过长度的测量构建了△BDE与△CFG这两个全
等三角形，然后利用全等三角形的性质来说明，从而
完成用“刻度尺测量角度”的任务．这一测量过程，
也是建模思想与转化思想的应用．
小 结
A.边边边　 B.角边角　
C.边角边　 D.角角边
7.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'可以绕点O自由转动,就做成了一个测量工件,则A'B'的长等于内槽宽AB,则判定△OAB≌△OA'B'的理由是( )
C
精典范例
8.(2020广东改编)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD＝CE,∠ABE＝∠ACD,BE与CD相交于点F.试说明:BF＝CF.
变式练习
9.(创新题)课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图,试说明:△ADC≌△CEB.
10.如图,有一湖的湖岸在A,B之间呈一段圆弧状,A,B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A,B间的距离吗?
解:要测量A,B间的距离,可用如下方法:
如图,过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C,D,使CD＝BC,
11.如图,要测量河岸相对的两点A,B之间的距离,先从B处出发与AB成90°方向,向前走50 m到C处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走50 m到D处,在D处转90°沿DE方向再走17 m到达E处,此时A,C,E三点在同一直线上,求A,B两点间的距离.
因为沿DE方向再走17m到达E处,即DE＝17m.所以AB＝17m.
答:A,B两点间的距离为17m.
12.如图,A,B两建筑物位于河的两岸,为了测量它们之间的距离,可以沿河岸作一条直线MN,且使MN⊥AB于点B,在BN上截取BC＝CD,过点D作DE⊥MN,使点A,C,E在同一直线上,则DE的长就是A,B两建筑物之间的距离,请说明理由.
★13.为了测量一幢高楼的高AB,在旗杆CD与高楼之间选定一点P,测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC＝38°,测得楼顶A的视线PA与地面夹角∠APB＝52°,量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等,都等于8 m,量得旗杆与楼之间的距离DB＝33 m,计算楼高AB.
1.当两点间的距离难以测量或无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质把难以测量或无法直接测量的距离转化为容易测量的距离．
2.构造全等三角形的依据有：SAS，ASA，AAS， SSS.
3.利用三角形全等解决实际问题的步骤：
(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；
(2)根据实际问题抽象出几何图形；
(3)结合图形和题意分析已知条件；
(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，
并表述清楚．
课堂小结