2020--2021学年八年级数学人教版下册第18章《平行四边形》常考题专练（三）（word版，含答案）

2020--2021学年八年级下册第18章《平行四边形》
常考题专练（三）
1．如图，在?ABCD中，
（1）若点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF，求证：BE＝DF．
（2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB＝6cm，BC＝10cm，试求线段DE的长．
2．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
（1）求证：CE＝CF．
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
4．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）试探究△DEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△DEF周长的最小值．
5．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）试说明：AB＝CF；
（2）连接DE，若AD＝2AB，试说明：DE⊥AF．
6．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC、BD满足　
　时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足　
　时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足　
　时，四边形EFGH为正方形．
7．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC：BD＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．
9．如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB＝2．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
10．在平行四边形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，若AG＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与CF相等的线段．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是?ABCD边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF．
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6cm，
∴DE＝AD﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm．
2．（1）证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形BECF是菱形；理由如下：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴CE＝CF；
（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE＝OF，又OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
4．（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，
∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE＝∠C＝60°，
∵AE+CF＝2，
∴CF＝2﹣AE，
又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF；
（3）解：如图所示：
当BE⊥AD时，△DEF的周长最小，
∵△BDE≌△BCF，
∴DE＝FC，
∴DE+DF＝AD＝2，
故当△DEF的周长最小，则EF最小即可，
∵△BEF是等边三角形，△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴BE＝ABsin60°＝，
∴△DEF周长的最小值为：2+．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB＝FC；
（2）∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，
∴AD＝DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∴DE⊥AF．
6．（1）证明：如图，连接BD，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，
∴EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：连接AC，
同理可得EF∥AC且EF＝AC，
所以，AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；
AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC＝BD；AC⊥BD；AC＝BD且AC⊥BD．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）判断∠PED＝45°．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED＝45°．
8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，OB＝BD，
∵AC：BD＝2：3，
∴OA：OB＝2：3，
设OA＝2x，OB＝3x，
∵AC⊥AB，AB＝2，
∴（2x）2+（2）2＝（3x）2，
解得：x＝2，
∴OA＝4，
∴AC＝8；
（2）∵S△ABD＝S△ABC＝AB?AC＝×2×8＝8，
∴S△AOD＝S△ABD＝×8＝4．
9．（1）证明：∵tanB＝2，
∴AE＝2BE；
∵E是BC中点，
∴BC＝2BE，
即AE＝BC；
又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；
（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠DPC；
∵∠AEP＝∠EFP＝90°，
∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，
即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；
又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，
∴△AFE≌△AGD，
∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；
∴FG＝AF，且DF＝DG+GF＝EF+FG，
故DF﹣EF＝AF；
（3）解：如图3，
①当EP在线段BC上时，有DF+EF＝AF
②当EP≤2BC时，DF﹣EF＝AF，解法同（2）．
③当EP＞2BC时，EF﹣DF＝AF．
10．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AF＝AD，EC＝BC，
∴AF＝EC．AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）与CF相等的线段有：AF，DF，AE，BE．EC．
理由：如图2中，连接AC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AB＝AG，
∴AG＝CD，AG∥CD，
∴四边形ACDG是平行四边形，
∵∠G＝90°，
∴四边形ACDG是矩形，
∴∠ACD＝90°，∵AF＝DF，
∴AF＝CF＝DF，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
∴CF＝AF＝DF＝AE＝EC＝BE．