2020-2021年北师大版七年级数学下册 4.4 用尺规作三角形课件（35张）

第四章　三角形
　用尺规作三角形
学习目标
1.(课标)会利用基本作图作三角形:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形.
2.了解作图方法的合理性.
1.尺规作图的定义：
在几何作图中，把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺
规作图．
注意：尺规作图指的是只用没有刻度的直尺和圆规两种工具．
2.基本作图：
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；
③作一个角的平分线；④作线段的垂直平分线；
⑤过一点作已知直线的垂线．
1
基本尺规作图包括：
①作一条线段等于____________；
②作一个角等于____________；
③作一个角的_____________；
④作一条线段的______________；
⑤过一点作已知直线的________．
已知线段
已知角
平分线
垂直平分线
垂线
尺规作图的画图工具是(　　)
A．刻度尺、圆规
B．三角板和量角器
C．直尺和量角器
D．没有刻度的直尺和圆规
2
D
知识要点
知识点一:根据“SAS”作三角形
?(1)已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形是利用三角形全等的条件“SAS”来作图.
?(2)作图方法有两种:
①先作角,再截取两边;
②先作一边(作一边等于已知线段),然后作角,最后再截取另一边.
对点训练
1.如图,已知线段a,c和∠α,求作:△ABC,使BC＝a,AB＝c,∠ABC＝∠α,填空:
(1)如图①,作∠MBN＝　 　;?
(2)如图②,在射线BM上截取BC＝　 　,在射线BN上截取BA＝　 　;?
(3)如图③,连接AC,△ABC就是　 　.?
所求作的三角形　
c　
a　
∠α　
本题考查学生利用基本作图方法作三角形的能力，
以及准确运用简练的几何语言表达作图方法与步骤的
能力，解题的关键是运用转化思想，将图形语言转化
为几何语言．解答时，也可用尺规按图形中所给的信
息进行操作，进而理解其作法的用意．
小 结
知识点二:根据“ASA”作三角形
?
(1)已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形是利用三角形全等的条件“ASA”来作图.
?
(2)作图方法有两种:
①先作一个角,再作边,最后再作另一个角;
②先作一边,再作两个角.
2.已知三角形的两个角分别是∠α和∠β,这两角所夹的边等于a,如图所示,求作△ABC,使∠A＝∠α,∠B＝∠β,AB＝a.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,△ABC即为所求作.
3.如图，已知：∠α，∠β＝90°，线段a.
求作：Rt△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝∠β，BC＝2a.
(不写作法，保留作图痕迹)
根据题意先画出草图，可
知原题可转化为已知两角
及其夹边，求作三角形的
问题．先画线段BC＝2a，再以B为顶点，BC为一边，
作∠B＝∠α，以C为顶点，BC为一边，在CB的同
侧，作∠C＝∠β，交∠B的另一边于A点．
导引：
如图所示，△ABC即为所求．
解：
此题所作三角形的一边长度为已知线段a的2倍，
这一点审题时要稍加注意．此外，此题还可以先作
∠B＝∠α，然后以B为一端点，截取BC＝2a，最后以
C为顶点，CB为一边，在CB的同侧作∠C＝∠β，交
∠B的另一边于A点，这样所成的△ABC也为所求．
小 结
知识点三:根据“SSS”作三角形
?
(1)已知三角形的三条边,求作这个三角形是利用三角形全等的条件“SSS”来作图.
?
(2)作图方法:先作出一条边(即先确定三角形的两个顶点),再用两条弧的交点确定第二个顶点.
4.已知:线段a,b,c如图所示.求作:△ABC,使AB＝c,AC＝b,BC＝a.补全下表作图.(不写作法,保留作图痕迹)
作法
图形
(1)作一条线段BC＝a;
?
(2)分别以点B,C为圆心,以c,b的长为半径画弧,两弧交于点A;
?
(3)连接AB,AC,△ABC就是所求作的三角形
?
5.如图，已知线段a，b，m，求作△ABC，使BC＝2a，AC＝b，且BC边上的中线AD＝m.
解：
作法：
(1)作△ADC，使AC＝b，AD＝m，
DC＝a；
(2)作BD＝a；
(3)连接AB，则△ABC即为
所求作的三角形，如图
所示.
本题中，已知，求作已经给出，但该作图题较复
杂，我们可以先进行分析：假设△ABC已经作出，且
满足BC＝2a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m，不难发
现△ADC的三边已知，可以先作出△ADC，因为D是
BC的中点，所以在△ADC确定后就可以确定B点的位
置，从而可以作出△ABC，因此我们得出几何作图的
一般步骤：
小 结
(1)已知，即将条件具体化；
(2)求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；
(3)分析，即寻找作图方法(通常画出草图)；
(4)作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图
形，并依次叙述作图过程；
(5)说明，即验证所作图形的正确性．其中(3)在草稿
纸上进行，(5)通常省略不写．
6.如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，则最多可以作出_______个这样的三角形．
4
导引：
如图，以D为圆心，AB长为半径画
弧；以E为圆心，AC长为半径画弧，
两弧相交于两点(DE上、下各一个)，
分别与点D，E连接后，可得到两个
三角形；以D为圆心，AC长为半径
画弧；以E为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于两
点(DE上、下各一个)，分别与点D，E连接后，可得
到两个三角形．因此最多能作出4个符合要求的三角
形．
这是一道探索型题目．解决这类问题的关键是运
用分类讨论思想分析得出所有可能的情况．
小 结
精典范例
7.已知:线段a和∠α如图所示.求作:△ABC,使AB＝AC＝a,∠A＝∠α.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,△ABC即为所求作.
变式练习
8.你能用尺规作一个直角三角形,使其两条直角边分别等于已知线段a,b吗?(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,Rt△ABC即为所求作.
9.已知:∠α,∠β和线段a,如图所示.求作:△ABC,使BC＝2a,∠B＝∠α,∠C＝2∠β.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,△ABC即为所求作.
10.(创新题)小明不小心在一个三角形上洒了一片墨水,请用尺规帮小明重新画一个三角形使它与原来的三角形完全相同.(保留作图痕迹,不写作法)
解:按尺规作图的要求,正确作出△ABC如图所示.
11.如图,已知线段a,用尺规作出△ABC,使AB＝a,BC＝AC＝2a.

(2)分别以　 　、　 　为圆心,以　 　为半径画弧,两弧交于点C;?
(3)连接　 　、　 　,则△ABC就是所求作的三角形;?
(4)请按(1)(2)(3)的作图步骤,作出△ABC.
解:(4)如图:
BC　
AC　
2a　
B　
A　
作法:(1)作一条线段AB＝　 　;?
a　
★12.利用尺规,用三种不同的方法作一个三角形与已知三角形ABC全等,并简要说明理由.(同种理由视为是同一种方法)
解:如图,△DEF为所作.
　(SSS)
(SAS)
(ASA)
13.(新题速递)(2020邢台一模)下面是黑板上出示的的尺规作图题,符号代表的内容是( )
如图,已知∠AOB,求作:∠DEF,使∠DEF＝∠AOB.
作法:(1)以 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点P,Q;
(2)作射线EG,并以点E为圆心, 长为半径画弧交EG于点D;
(3)以点D为圆心, 长为半径画弧,交(2)步中所画弧于点F;
(4)作 ,∠DEF即为所求作的角.
答案： D
1.尺规作图的定义：
在几何作图中，把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺作图．
2.常见的几种尺规作图：
基本作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角；
③作一个角的平分线；
④作线段的垂直平分线；
⑤过一点作已知直线的垂线．
总结