2020--2021学年人教版数学九年级下册第二十七章 《相似》 常考题强化练习（四） (Word版 无答案)
文档属性
| 名称 | 2020--2021学年人教版数学九年级下册第二十七章 《相似》 常考题强化练习（四） (Word版 无答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-21 22:09:16 | ||
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文档简介
2020--2021学年九年级下册数学第二十七章
《相似》
常考题强化练习（四）
1．《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
2．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
3．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）求证：△ACF∽△GCA；
（2）求∠1+∠2的度数．
4．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．
5．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
6．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．
7．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG2＝FG?BG；
（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．
8．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°AC＝10cm，BC＝15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，点P，Q分另从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t＝4时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PQC的面积等于16cm2？
（3）点O为AB的中点，连接OC，能否使得PQ⊥OC？若能，求出t值；若不能，说明理由．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝3厘米，AB＝a厘米（a＞3），动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC方向运动，速度都是1厘米/秒，过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a＝4厘米，t＝1秒，则PM＝
厘米；
（2）若a＝5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某个时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围．
参考答案
1．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意可得：AN＝2m，CN＝2﹣1.65＝0.35（m），MN＝40m，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴＝，
∴＝，
解得：EM＝7.35，
∵AB＝MF＝1.65m，
故城楼的高度为：7.35+1.65﹣1.7＝7.3（米），
答：城楼的高度为7.3m．
2．解：（1）不存在．（1分）
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则，（3分）
由①得：y＝﹣x③，
把③代入②得：x2﹣x+1＝0，
b2﹣4ac＝﹣4＜0，（5分）
所以不存在；
（2）不存在．（6分）
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）
3．（1）证明：可设正方形的边长为a，则AC＝a，
∴＝＝，
又∵∠ACF＝∠GCA，
∴△ACF∽△GCA；
（2）解：由（1）得：△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF，
∴∠1+∠2＝∠CAF+∠2＝∠ACB＝45°．
4．解：当△ACD∽△MNA时，
则，即，
∴36﹣12t＝3t．
∴t＝2.4．
当△ACD∽△NMA时，则，即．
∴6t＝18﹣6t．
∴t＝1.5．
答：存在，t为2.4；1.5．
5．解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
6．解：作DE⊥AB于点E，
根据题意得：＝，
＝，
解得：AE＝8米．
则AB＝AE+BE＝8+2＝10米．
即旗杆的高度为10米．
7．解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴＝．
又∵△AGF∽△EGD，
∴＝．
∴＝．
∴DG2＝FG?BG．
（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，
∴DH＝DC＝AB＝．
∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2+DH2
∴AH＝．
又∵△ADG∽△EBG，
∴＝＝．
∴AG＝GE＝×AE＝×13＝．
∴GH＝AH﹣AG＝﹣＝．
8．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∴AB×AE＝AC×AD，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
9．解：（1）当t＝4时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP＝4cm，PC＝AC﹣AP＝6cm、CQ＝2×4＝8cm，
∴PQ＝＝10cm；
（2）∵AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，
∴S△PQC＝PC×CQ＝t（10﹣t）＝16，
∴t1＝2，t2＝8，
当t＝8时，CQ＝2t＝16＞15，∴舍去，
∴当t＝2时，△PQC的面积等于16cm2；
（3）能够使得PQ⊥OC，如图所示：
∵点O为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC（直角三角形斜边上中线定理），
∴∠A＝∠OCA，
而∠OCA+∠QPC＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠QPC，又∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴△ABC∽△QPC，
∴，
∴，
∴t＝2.5s．
∴当t＝2.5s时，PQ⊥OC．
10．解：（1）由题意知，当t＝1秒时，BN＝BM＝1，
∵a＝4厘米，∴AM＝3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴，
即，
解得，PM＝；
（2）如图示，作出△PNB和△PAD，则BM和AM分别是它们的高，
若△PNB∽△PAD，则，即，解得，t＝2．
即t＝2时，△PNB∽△PAD，相似比为．
（3）设BN＝x，则0≤x≤3，则BM＝x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴，∴，
∴，
所以由题意得，＝，
解得x＝，所以0≤≤3，解得0≤a≤6．
又∵a＞3，
∴a的范围是3＜a≤6．
补充：设BN＝BM＝x，则PM＝，
使梯形PMBN和梯形PQDN面积相等，由（3）得3＜a≤6；
若它们的面积都等于梯形PQCN的面积，
∴S梯形PMBN＝S矩形BCQM
即[+x]?t＝?3?t，
解得t＝a，a＞3，
∴t＝a，
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范围是3＜a≤6．
《相似》
常考题强化练习（四）
1．《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
2．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
3．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）求证：△ACF∽△GCA；
（2）求∠1+∠2的度数．
4．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．
5．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
6．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．
7．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG2＝FG?BG；
（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．
8．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°AC＝10cm，BC＝15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，点P，Q分另从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t＝4时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PQC的面积等于16cm2？
（3）点O为AB的中点，连接OC，能否使得PQ⊥OC？若能，求出t值；若不能，说明理由．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝3厘米，AB＝a厘米（a＞3），动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC方向运动，速度都是1厘米/秒，过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a＝4厘米，t＝1秒，则PM＝
厘米；
（2）若a＝5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某个时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围．
参考答案
1．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意可得：AN＝2m，CN＝2﹣1.65＝0.35（m），MN＝40m，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴＝，
∴＝，
解得：EM＝7.35，
∵AB＝MF＝1.65m，
故城楼的高度为：7.35+1.65﹣1.7＝7.3（米），
答：城楼的高度为7.3m．
2．解：（1）不存在．（1分）
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则，（3分）
由①得：y＝﹣x③，
把③代入②得：x2﹣x+1＝0，
b2﹣4ac＝﹣4＜0，（5分）
所以不存在；
（2）不存在．（6分）
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）
3．（1）证明：可设正方形的边长为a，则AC＝a，
∴＝＝，
又∵∠ACF＝∠GCA，
∴△ACF∽△GCA；
（2）解：由（1）得：△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF，
∴∠1+∠2＝∠CAF+∠2＝∠ACB＝45°．
4．解：当△ACD∽△MNA时，
则，即，
∴36﹣12t＝3t．
∴t＝2.4．
当△ACD∽△NMA时，则，即．
∴6t＝18﹣6t．
∴t＝1.5．
答：存在，t为2.4；1.5．
5．解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
6．解：作DE⊥AB于点E，
根据题意得：＝，
＝，
解得：AE＝8米．
则AB＝AE+BE＝8+2＝10米．
即旗杆的高度为10米．
7．解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴＝．
又∵△AGF∽△EGD，
∴＝．
∴＝．
∴DG2＝FG?BG．
（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，
∴DH＝DC＝AB＝．
∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2+DH2
∴AH＝．
又∵△ADG∽△EBG，
∴＝＝．
∴AG＝GE＝×AE＝×13＝．
∴GH＝AH﹣AG＝﹣＝．
8．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∴AB×AE＝AC×AD，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
9．解：（1）当t＝4时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP＝4cm，PC＝AC﹣AP＝6cm、CQ＝2×4＝8cm，
∴PQ＝＝10cm；
（2）∵AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，
∴S△PQC＝PC×CQ＝t（10﹣t）＝16，
∴t1＝2，t2＝8，
当t＝8时，CQ＝2t＝16＞15，∴舍去，
∴当t＝2时，△PQC的面积等于16cm2；
（3）能够使得PQ⊥OC，如图所示：
∵点O为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC（直角三角形斜边上中线定理），
∴∠A＝∠OCA，
而∠OCA+∠QPC＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠QPC，又∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴△ABC∽△QPC，
∴，
∴，
∴t＝2.5s．
∴当t＝2.5s时，PQ⊥OC．
10．解：（1）由题意知，当t＝1秒时，BN＝BM＝1，
∵a＝4厘米，∴AM＝3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴，
即，
解得，PM＝；
（2）如图示，作出△PNB和△PAD，则BM和AM分别是它们的高，
若△PNB∽△PAD，则，即，解得，t＝2．
即t＝2时，△PNB∽△PAD，相似比为．
（3）设BN＝x，则0≤x≤3，则BM＝x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴，∴，
∴，
所以由题意得，＝，
解得x＝，所以0≤≤3，解得0≤a≤6．
又∵a＞3，
∴a的范围是3＜a≤6．
补充：设BN＝BM＝x，则PM＝，
使梯形PMBN和梯形PQDN面积相等，由（3）得3＜a≤6；
若它们的面积都等于梯形PQCN的面积，
∴S梯形PMBN＝S矩形BCQM
即[+x]?t＝?3?t，
解得t＝a，a＞3，
∴t＝a，
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范围是3＜a≤6．