6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教学设计（表格式）Word版

11772900124968006.3.2 平面向量的的正交分解及坐标表示
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.
于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。
课程目标
学科素养
A.会把向量正交分解；?
B.会用坐标表示向量；
1.数学抽象：向量的正交分解；
2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量；
3.数学运算：求向量的坐标；
1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；
2.教学难点：平面向量的坐标表示。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
平面向量基本定理：
如果false是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量false，有且只有一对实数false，使false。
我们把false叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
探索新知
1.平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。
思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？

【解析】在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示．

作向量false，设false，所以false。
【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。
两向量相等时，坐标一样。


例1．如图，用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标
268224095885【解析】:由图可知,a=+=xi+yj,
∴a=(2,3).
同理,b=-2i+3j=(-2,3);
c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).[来源:学*科*
通过复习上节所学平面向量基本定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，建立点的坐标和向量坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。
通过例题练习向量的坐标表示，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　)
(4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
【解析】　(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．
(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．
(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．
(4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．
2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；________.

【解析】因为＝(－1，－1)，
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，
同理＝(－1，1)．
3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和与的坐标．

【解析】由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，
得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，所以B.
x2＝cos120°＝－，y2＝sin120°＝，所以D.
所以＝，＝.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1. 向量的正交分解；2.向量的坐标表示；
五、作业
预习下一节。
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成，讲练结合。学生在独立或小组讨论中解决问题，很好调动学生的积极性与主动性。