6.2.4
向量的数量积
第1课时
向量的数量积的
物理背景和数量积
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
课程目标
学科素养
A.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；
B.会求平面向量的数量积、投影向量；
C.熟记平面向量数量积的性质；
D.能运用数量积的性质解决问题；
E.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。
1.数学抽象：数量积的定义；
2.逻辑推理：数量积的性质；
3.数学运算：求平面向量的数量积；
4.直观想象：投影向量。
1.教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；
2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.向量的数乘的定义：
【答案】一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
；
当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。
2.向量的数乘运算律：
【答案】设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）
（2）
（3）
二、探索新知
思考1：
一个物体在力F
的作用下产生的位移s，那么力F
所做的功应当怎样计算？
【答案】
思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？
【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。
1.向量的夹角的定义：
已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则
叫做向量的夹角。
显然，当时，同向；当时，反向。
如果的夹角是，我们就说垂直，记作。
思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
2.数量积的定义：
已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。
规定：零向量与任一向量的数量积为。
说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；
运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[
0°，180°]。
思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
【答案】当0°≤θ
＜
90°时，为正；
当90°＜θ
≤180°时，为负；
当θ
=90°时，为零。
结论：数量积符号由的符号所决定。
例1.已知的夹角，求。
解：
例2.设，求的夹角。
解：
投影向量的定义：
如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影
(project).,叫做向量在向量上的投影向量。
如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则
就是向量在向
量上的投影向量。
探究：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，
那么与之间有怎样的关系？
【答案】。
综上可得，对于任意的，都有。
探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，
则：（1），
（3）当向量共线同向时，；
当向量共线反向时，。特别地，
或。
（4）
牛刀小试：
已知在当时，试判断的形状。
【答案】当为钝角三角形；当为直角三角形。
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，由物理知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。
通过思考，让学生进一步理解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。
通过例题巩固数量积的定义，提高学生解决问题的能力。
通过探究，进一步理解投影向量，提高学生的观察、概括能力。
通过探究，让学生由投影向量来推导数量积的性质，掌握知识间的联系，提高学生的理解、概括能力。
通过练习进一步理解数量积的性质，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝( )
A．20
B．－20
C．20
D．－20
【解析】 ·＝||||cos
120°＝5×8×＝－20.
【答案】 B
2．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是( )
A．e1·e2＝1
B．e1·e2＝－1
C．|e1·e2|＝1
D．|e1·e2|<1
【解析】 e1·e2＝|e1||e2|cos
＝±1.
【答案】 C
3．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
【解析】 在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．
【答案】 C
4.已知为单位向量，且的夹角为，求向量在
上的投影向量。
【解析】向量在上的投影向量为
。
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
向量的数量积的定义；
2.投影向量；
3.数量积的性质;
五、作业
习题6.2
10,18题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过本节课的教学,我有以下几点体会：
(1)让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉刨设问题情景,建立数学模型,让学生经历数学知识的形成与应用,可以更好的理解数学概念、结论的形成过程,体会蕴含在其中的思想方法,增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方法。
(2)鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者,教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提,教学过程中要发扬民主,要鼓励学生质疑,提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等,要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题的方案,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。6.2.4
向量的数量积
第2课时
向量的向量积
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
课程目标
学科素养
A.掌握数量积的运算律；?
B.利用数量积的运算律进行化简、求值；
1.数学抽象：数量积的运算律；
2.逻辑推理：证明数量积的运算律；
3.数学运算：运用数量积的运算律求值；
1.教学重点：数量积的运算律；
2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.向量的数乘的运算律
【答案】设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）
（2）
（3）
2.平面向量的数量积定义：
平面向量的数量积的结果是数量。
探索新知
1.平面向量数量积的运算律
探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
平面向量数量积的运算律
证明：（1）因为，
所以，。
（2）当一样。
因为，
同理，当成立。
所以，。
（3）
思考：设是向量，一定成立吗？为什么？
【答案】表示与一个与共线的向量，
而表示一个与共线的向量，但与不一定共线。
所以。
结论：向量数量积不满足结合律。
例1.对任意，恒有，，对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）。
【解析】
例2.
例3.已知且不共线，当k为何值时，向量互相垂直？
解：互相垂直的充要条件是，
即，因为。
所以，解得。
也就是说，当时，向量互相垂直。
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过探究，让学生证明，讲解向量数量积的运算律，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，总结
通过思考，让学生明白向量数量积不满足结合律，提高学生解决问题的能力。
通过例题进一步巩固向量数量积的运算律，提高学生运用所学知识解决问题的能力。
三、达标检测
1．给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos
θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是：________．
【解析】 由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；
当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错；
【答案】 ①②⑥
2.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为____．
【解】 设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，
又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b
＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos
θ＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，
即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，故有cos
θ＝－.
【答案】 －
3.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
【解析】 由已知得a·b＝3×2×cos
60°＝3.
由c⊥d，知c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
理解数量积的定义；
2.向量数量积的运算律；
五、作业
习题6.2
11（1），18题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
在整个探求过程中,充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有:(1)教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。(2)教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师讲授,这是个值得思考的问题。(3)教师要点拨到位，在学生出现问题后,教师要及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素质。(4)课堂语言还需要进一步提炼。在教学中,提出的问题,分析引导的话应具体,明确,不能让学生不知道如何回答,当然有些问题我也考虑过该如何问,只是没有找到更合适的提间方法,这方面的能力有待加强。