6.6平方差公式 课件（共24张PPT）

第六章 整式的乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式

内容
字母表示
平方差公式
知识
详解
知识点一 平方差公式

内容
字母表示
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差
（a＋b）（a-b）＝a2-b2
知识
详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
（ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计算.
（3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式.
（4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2；
如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2
例1 计算:
（1）（x＋5）（x-5）；
（2） ；
（3）（-2y-3x）（2y-3x）；
（4）（3x2y-2z3）（3x2y＋2z3）.
例1 计算:
（1）（x＋5）（x-5）；
（2） ；
（3）（-2y-3x）（2y-3x）；
（4）（3x2y-2z3）（3x2y＋2z3）.
解析 （1）原式＝x2-52＝x2-25.
（2）原式＝ .
（3）原式＝（-3x）2-（2y）2＝9x2-4y2.
（4）原式＝（3x2y）2-（2z3）2＝9x4y2-4z6.
知识点二 利用平方差公式进行数的简便计算
平方差公式除了能将符合结构特征的多项式乘法简化外，还能简化求两数之积的运算，如:1001×999＝（1000＋1）（1000-1）＝10002-12＝999999.
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002；
（2）20202-2017×2023.
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002；
（2）20202-2017×2023.
分析 应用平方差公式可使运算简便.
（1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）；
（2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）×（2020＋3）.
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002；
（2）20202-2017×2023.
分析 应用平方差公式可使运算简便.
（1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）；
（2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）×（2020＋3）.
解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）＝20002-4＝4000000-4＝3999996.
（2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）×（2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002；
（2）20202-2017×2023.
分析 应用平方差公式可使运算简便.
（1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）；
（2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）×（2020＋3）.
解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）＝20002-4＝4000000-4＝3999996.
（2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）×（2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
点拨 如果绝对值比较大的两个不等因数相乘，且这两个因数与某个整数之差的绝对值相等，那么利用平方差公式计算简单.
经典例题
题型一 平方差公式的连续应用
例1 计算:
（1） ；
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）.
题型一 平方差公式的连续应用
例1 计算:
（1） ；
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）.
分析 本题主要考查平方差公式的重复使用，首先观察待计算的式子是否具备平方差公式的结构，具备的，用（a＋b）（a-b）＝a2-b2简便计算.
解析 （1） .
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） .
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
点拨 运用平方差公式的前提是式子中具有两数和与两数差的积的形式，有的要经过适当变形才具有上述形式，因此在计算前应仔细观察.
拓展
利用平方差公式时，需注意公式的几种变化形式:
（1）符号变化:
（-a-b）（a-b）＝-（a＋b）（a-b）＝-（a2-b2）；
（2）位置变化:
（a＋b）（-b＋a）＝（a＋b）（a-b）＝a2-b2；
（3）系数变化:
（2a＋3b）（2a-3b）＝4a2-9b2；
（4）指数变化:
（a2＋b2）（a2-b2）＝a4-b4.
题型二 平方差公式的逆用
例2 已知m2-9n2＝24，m＋3n＝3，则m-3n＝____.
题型二 平方差公式的逆用
例2 已知m2-9n2＝24，m＋3n＝3，则m-3n＝____.
解析 因为m2-9n2＝24，
m2-9n2＝（m＋3n）（m-3n），
m＋3n＝3，所以24＝3（m-3n），
所以m-3n＝8.
答案 8
题型二 平方差公式的逆用
例2 已知m2-9n2＝24，m＋3n＝3，则m-3n＝____.
解析 因为m2-9n2＝24，
m2-9n2＝（m＋3n）（m-3n），
m＋3n＝3，所以24＝3（m-3n），
所以m-3n＝8.
答案 8
点拨 逆用平方差公式是解题的关键.
题型三 平方差公式的几何背景
例3 如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形（如图②），利用这两个图形的面积，可以验证的公式是（ ）
A.（a＋2b）＝a2＋2ab B.a2-b2＝（a＋b）（a-b）
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D.（a-b）2＝a2-2ab＋b2
解析 易知题图①中阴影部分的面积是a2-b2，
题图②中梯形的面积是
（2a＋2b）（a-b）＝（a＋b）（a-b），
所以a2-b2＝（a＋b）（a-b）.
答案 B
题型四 平方差公式的灵活运用
例4 化简:（2x-y-1）（2x＋y-1）.
题型四 平方差公式的灵活运用
例4 化简:（2x-y-1）（2x＋y-1）.
分析 把2x-1看成平方差公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2中的a，y看成平方差公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2中的b.
题型四 平方差公式的灵活运用
例4 化简:（2x-y-1）（2x＋y-1）.
分析 把2x-1看成平方差公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2中的a，y看成平方差公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2中的b.
解析 （2x-y-1）（2x＋y-1）
＝［（2x-1）-y］［（2x-1）＋y］
＝（2x-1）2-y2
＝4x2-4x＋1-y2