第2课时 补 集
学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．
知识点 全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考 全集一定是实数集R吗？
答案 不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2．补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
预习小测 自我检验
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝______________.
答案 {3,4,5}
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?UA＝{3,4,5}．
2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则?UA＝______.
答案 {x|x≥2}
解析 ∵全集为R，A＝{x|x<2}，∴?UA＝{x|x≥2}．
3．设全集为U，M＝{1,2}，?UM＝{3}，则U＝________.
答案 {1,2,3}
解析 U＝M∪(?UM)＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．
4．已知全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>0}，则?U(A∩B)＝________.
答案 {x|x≤0或x>2}
解析 A∩B＝{x|0
∩B)＝{x|x≤0或x>2}．
一、全集与补集
例1 (1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________.
答案 (1){2,3,5,7} (2){x|x<－3，或x＝5}
解析
(1)方法一 A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，
∴B＝{2,3,5,7}．
方法二 借助Venn图，如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，
如图所示．由补集定义可得?UA＝{x|x<－3，或x＝5}．
反思感悟 求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
跟踪训练1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于( )
A．{x|0B．{x|0≤x<2}
C．{x|0D．{x|0≤x≤2}
答案 C
解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x|0(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(?UA)∩(?UB)＝________.
答案 {x|x是直角三角形}
解析 根据三角形的分类可知，?UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，?UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，
所以(?UA)∩(?UB)
二、交、并、补的综合运算
例2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解 如图所示．
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2A∩B＝{x|－2故(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2?U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
反思感悟 解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
跟踪训练2 已知全集U＝{x|x<10，x∈N
}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求?U(A∪B)，?U(A∩B)，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
解 方法一 ∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴?U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
∴?U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵?UA＝{1,3,6,7,9}，?UB＝{2,4,6,7,9}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{6,7,9}，
(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
方法二 作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
三、与补集有关的参数的范围问题
例3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解 方法一 (直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
方法二 (集合间的关系)：由(?UA)∩B＝?可知B?A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
延伸探究
1．将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解 由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以?UA＝{x|x<－m}，
又(?UA)∩B＝B，
所以－m≥4，解得m≤－4.
2．将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解 由已知A＝{x|x≥－m}，
?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(?UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
反思感悟 由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|x0}．若A∩(?RB)＝?，求实数a的取值范围．
解 ∵B＝{x|x<－1，或x>0}，
∴?RB＝{x|－1≤x≤0}，
∴要使A∩(?RB)＝?，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.
即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM等于( )
A．U
B．{1,3,5}
C．{3,5,6}
D．{2,4,6}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，
∴?UM＝{3,5,6}．
2．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?UB)等于( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0C．{x|x<0}
D．{x|x>1}
答案 B
解析 ?UB＝{x|x≤1}，
所以A∩(?UB)＝{x|03.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A．{3,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,5}
D．{3,4}
答案 D
解析 由图可知，阴影部分表示的集合是?U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，
∴?U(M∪N)＝{3,4}．
4．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x>1}，若A∩(?RB)≠?，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a<1}
解析 ?RB＝{x|x≤1}，
∵A∩(?RB)≠?，∴a<1.
5．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则?UA与?UB的包含关系是____________．
答案 ?UA??UB
解析 先求出?UA＝{x|x<0}，?UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴?UA??UB.
1．知识清单：
(1)全集和补集的概念及运算．
(2)并、交、补集的混合运算．
(3)与补集有关的参数的求解．
2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合．
3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．
1．设U＝R，A＝{x|－1A．{x|x≤－1，或x>0}
B．{x|－1≤x<0}
C．{x|x<－1，或x≥0}
D．{x|x≤－1，或x≥0}
答案 A
2．(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩?UA等于( )
A．{1,6}
B．{1,7}
C．{6,7}
D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴?UA＝{1,6,7}．
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩?UA＝{6,7}．
3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)等于( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥1}
C．{x|1D．{x|1≤x≤2}
答案 D
解析 由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知?RB＝{x|x≥1}．∴A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．
4．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )
A．(?UM)?(?UN)
B．M?(?UN)
C．(?UM)?(?UN)
D．M?(?UN)
答案 C
解析 ∵M∩N＝N，∴N?M，
∴(?UM)?(?UN)．
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1}
B．{a|a<1}
C．{a|a≥2}
D．{a|a>2}
答案 C
解析 ?RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．
∵A∪(?RB)＝R，∴a≥2.
6．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________.
答案 {6,8}
解析 ∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴?UA＝{6,8}．
∴(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
7．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)＝________.
答案 ?
解析 (?IM)∩(?IN)＝?I(M∪N)＝?II＝?.
8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x答案 2
解析 因为?UA＝{x|x<1，或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．
所以b＝2.
9．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2(1)求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a解 (1)显然A∩B＝{x|3≤x<6}．
∵B＝{x|2∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
(2)∵C?B，如图所示，则有
解得2≤a≤8，∴a的取值范围为{a|2≤a≤8}．
10．已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围．
解 (1)m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1(2)?RA＝{x|x≤－1或x>3}，当B＝?时，即m≥1＋3m得，m≤－，满足B??RA，
当B≠?时，使B??RA，
即或
解得m>3，
综上所述，m的取值范围是.
11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )
答案 A
解析 如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
12．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，
则?U(A∪B)＝{3,5}，共有2个元素．
13．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x2}，则?R(A∩B)＝________.
答案 {x|x<0，或x>4}
解析 ∵A＝{x|0≤x≤4}，
B＝{y|y≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤4}，
∴?R(A∩B)＝{x|x<0，或x>4}．
14．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
答案 m－n
解析 ∵(?UA)∪(?UB)中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
15．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“
”：X
Y＝?U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X
Y)
Z等于( )
A．(X∪Y)∩?UZ
B．(X∩Y)∪?UZ
C．(?UX∪?UY)∩Z
D．(?UX∩?UY)∪Z
答案 B
解析 依题意得(X
Y)＝?U(X∩Y)，
(X
Y)
Z＝?U[(X
Y)∩Z]＝?U[?U(X∩Y)∩Z]
＝{?U[?U(X∩Y)]}∪(?UZ)＝(X∩Y)∪(?UZ)．
16．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有
A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，
B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，
据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
解 (1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，
∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B等于( )
A．{－2}
B．{2}
C．{－2,2}
D．?
答案 A
解析 ∵A＝{x|x＋2＝0}，∴A＝{－2}．
∵B＝{x|x2－4＝0}，∴B＝{－2,2}．
∴A∩B＝{－2}．故选A.
2．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是( )
A．a∈A
B．a?A
C．a＝A
D．{a}∈A
答案 A
解析 因为a＝＋≤10，故a∈A.
3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 三角形的三条边相等，则三角形为等边三角形，即充分性成立，三角形为等边三角形，则三角形的三条边相等，即必要性成立，则“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件，故选C.
4．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
答案 B
解析 A∪B＝{1,2,4,6}，(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故选项B符合．
5．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A．A∩B＝
B．A∩B＝?
C．A∪B＝
D．A∪B＝R
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 A
解析 因为B＝{x|3－2x>0}＝，
A＝{x|x<2}，
所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．
故选A.
6．全称量词命题：?x∈R，x2＋5x＝4的否定是( )
A．?x∈R，x2＋5x＝4
B．?x∈R，x2＋5x≠4
C．?x∈R，x2＋5x≠4
D．以上都不正确
答案 C
解析 ∵全称量词命题的否定是存在量词命题，
∴?x∈R，x2＋5x＝4的否定是：?x∈R，x2＋5x≠4.故选C.
7．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若?UM＝{－1,1}，则实数p的值为( )
A．－6
B．－4
C．4
D．6
答案 D
解析 由题意M＝{2,3}，∴2×3＝p，∴p＝6.
8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选A.
9．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1A．－3≤m≤4
B．－3C．2D．2答案 D
解析 ∵A∪B＝A，∴B?A.又B≠?.
∴即210．设m为给定的一个实常数，命题p：?x∈R，x2－4x＋2m≥0，则“m≥3”是“命题p为真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 当命题p为真时，则?x∈R，x2－4x＋2m≥0恒成立，即Δ＝16－8m≤0，即m≥2.
因为“m≥3”是“m≥2”充分不必要条件，
即“m≥3”是“命题p为真命题”的充分不必要条件，
故选A.
11．给出下列四个结论：
①{0}是空集；②若a∈N，则－a?N；③集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}中有两个元素；④集合B＝是有限集．其中正确结论的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 A
解析 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N，－0∈N，故②错误；对于③，集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x∈Q且∈N时，可以取无数个值，所以集合B＝是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.
12．已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于?x∈R不成立，
若a≠0，则解得a>，
∴命题p为真命题的a的取值范围为，
∴使命题p为假命题的a的范围是.
故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知集合A＝{7,2m－1}，B＝{7，m2}，且A＝B，则实数m＝________.
答案 1
解析 若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.
14．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x答案 {a|a>－1}
解析 因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
15．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}，则(?RS)∪T＝________.
答案 {x|x≤－2或x＝1}
解析 ?RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}
＝{－4,1}．所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2或x＝1}．
16．已知集合A＝{x|－1答案 {m|m>1}
解析 由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A?B，
即即m>1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5>0.
解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，綈p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．(12分)已知p：－1解 ∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q，q?p，
∴即－2≤k≤1，
所以k的取值范围为{k|－2≤k≤1}．
19．(12分)已知集合P＝{2，x，y}，Q＝{2x,2，y2}，且P＝Q，求x，y的值．
解 ∵P＝Q，∴或
解得或或
由元素的互异性可知x≠y，
故x＝0，y＝1或x＝，y＝.
20．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＝{x|1∵?UA
＝{x|x<2或x>8}，
∴(?UA)∩B＝{x|1(2)∵A∩C≠?，作图易知，只要a在8的左边即可，
∴a<8.
∴a的取值范围为{a|a<8}．
21．(12分)已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)求集合?RP；
(2)若P?Q，求实数m的取值范围；
(3)若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
解 (1)?RP＝{x|x<－2或x>10}．
(2)由P?Q，需得m≥9，即实数m的取值范围为{m|m≥9}．
(3)由P∩Q＝Q得，Q?P，
①当1－m>1＋m，即m<0时，Q＝?，符合题意；
②当1－m≤1＋m，即m≥0时，需得0≤m≤3；
综上得m≤3，即实数m的取值范围为{m|m≤3}．
22．(12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求(?RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，(?RP)＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(?RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，
解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．1．4.2 充要条件
学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．
知识点 充要条件
一般地，如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p?q.
1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √ )
2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．( √ )
4．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．( √ )
一、充分、必要、充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
解 (1)∵p?q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p?q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q?p，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q?p.
∴p是q的必要不充分条件．
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练1 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．
答案 充要
解析 因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．
二、充要条件的证明
例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
延伸探究
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，
所以ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
反思感悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p?q是证明充分性，推证q?p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
跟踪训练2 已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
证明 充分性：若a2－b2＝1成立，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，
所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，
则a4－(b2＋1)2＝0，
即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.
因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，
所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
三、充要条件的应用
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0延伸探究
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A?B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练3 已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B?A，所以－≤－2，即m≥8.
所以m的范围为{m|m≥8}．
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．
2．已知x∈R，则“>1”是“x<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 “>1”?0∴“>1”是“x<1”的充分不必要条件．
3．设条件甲为0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 甲对应集合A＝{x|04．若命题p：两直线平行，命题q：内错角相等，则p是q的________条件．
答案 充要
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；
(2)“x<5”是“x<3”的_____________．
答案 (1)充要条件 (2)必要不充分条件
解析 (1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A?B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．
1．知识清单：
(1)充要条件概念的理解．
(2)充要条件的证明．
(3)根据条件求参数范围．
2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．
3．常见误区：条件和结论辨别不清．
1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.
2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 因为a，b∈R，(a－b)a2<0，
可得a由a所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由条件，知D?C?B?A，即D?A，但A?D，故选A.
5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 ab＝0推不出a2＋b2＝0，由a2＋b2＝0可得a＝b＝0，推出ab＝0，故选B.
6．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的____________条件．
答案 既不充分又不必要
解析 若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件．
7．若“x≤－1，或x≥1”是“x答案 －1
解析 “x≤－1，或x≥1”是“x所以实数a的最大值为－1.
8．m＝1是函数y＝为二次函数的________条件．
答案 充分不必要
解析 当m＝1时，函数y＝x2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝1是y＝为二次函数的充分不必要条件．
9．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．
当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
同理，当y＝0，或x＝0且y＝0时，|x＋y|＝|x|＋|y|，
∴当xy＝0时，等式成立，
当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
10．设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，
由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
∴或
解得0≤a≤，
故所求实数a的取值范围是0≤a≤.
11．“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得012．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈C?x∈A.
所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．
13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________.
答案 －2
解析 当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
14．k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．
答案 充要
解析 ∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，
∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；
y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于，
由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知
∴
15．设m∈N
，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
答案 3或4
解析 x＝＝2±，因为x是整数，
即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N
，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．
16．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解 当a＝0时，x＝－符合题意．
当a≠0，令f(x)＝ax2＋2x＋1.
∵f(0)＝1>0，
∴若a>0，则－<0，>0，∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0若a<0，则<0，Δ＝4－4a>0，
方程恒有两异号实数根．
综上所述，a≤1为所求．1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识点 含量词的命题的否定
p
綈p
结论
全称量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
1．?x∈M，p(x)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √ )
2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“?x∈R，x2<0”．( √ )
3．“?x∈R，|x|＝x”是假命题．( × )
一、全称量词命题的否定
例1 写出下列命题的否定．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
解 (1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1<0.
反思感悟 全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．
跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p：?x∈N,2x>0.
解 (1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．
(2)綈p：?x∈N,2x≤0.綈p为假命题．
二、存在量词命题的否定
例2 写出下列命题的否定．
(1)有些四边形有外接圆；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1<0.
解 (1)所有的四边形都没有外接圆；
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1≥0.
反思感悟 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“?x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
∴命题的否定是假命题．
三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用
例3 对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)2－5，
因为?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
延伸探究
本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
解 令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.
又因为?x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m
的取值范围是{m|m<3}．
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“?x∈M，a>y(或aymin(或a跟踪训练3 若命题p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1
B．a>1
C．a<1
D．a≤1
答案 D
解析 命题p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.
1．命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＋x2<0
B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x∈R，|x|＋x2<0
D．?x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C
解析 条件?x∈R的否定是?x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
3．关于命题p：“?x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是( )
A．綈p：?x∈R，x2＋1≠0
B．綈p：?x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，綈p是假命题
D．p是假命题，綈p是真命题
答案 C
解析 命题p：“?x∈R，x2＋1≠0”的否定是“?x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．
4．命题“同位角相等”的否定为________．
答案 有的同位角不相等
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．
5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.
答案 所有的三角形都不是直角三角形
解析 命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．
1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．
(2)命题真假的判断．
2．方法归纳：转化思想．
3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．
1．若p：?x∈R，|x|≤1，则( )
A．綈p：?x∈R，|x|>1
B．綈p：?x∈R，|x|>1
C．綈p：?x∈R，|x|≥1
D．綈p：?x∈R，|x|≥1
答案 A
解析 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，?x∈R，|x|≤1的否定为：?x∈R，|x|>1，故选A.
2．命题“?x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定( )
A．?x>0，使得x2－x＋3≤0
B．?x>0，使得x2－x＋3>0
C．?x>0，都有x2－x＋3>0
D．?x≤0，都有x2－x＋3>0
答案 B
解析 命题“?x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：?x>0，使得x2－x＋3>0.
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析 量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
4．命题p：?x∈N，x3>x2的否定形式綈p为( )
A．?x∈N，x3≤x2
B．?x∈N，x3>x2
C．?x∈N，x3D．?x∈N，x3≤x2
答案 D
解析 命题p：?x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；
∴綈p：“?x∈N，x3≤x2”．
故选D.
5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题綈p是真命题
B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
答案 C
解析 命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.
6．命题“?x∈N，x2>1”的否定是________．
答案 ?x∈N，x2≤1
解析 由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题
“?x∈N，x2>1”的否定为“?x∈N，x2≤1”．
7．命题：?x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．
答案 ?x∈R，x2－x＋1≠0.
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以?x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：?x∈R，x2－x＋1≠0.
8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．
答案 存在x∈R，使得x2－2x＋4>0
解析
原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.
9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
(1)?x∈R，x2>0；
(2)?x∈R，x2＝1；
(3)?x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；
(4)等腰梯形的对角线垂直．
解 (1)命题的否定：?x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．
(2)命题的否定：?x∈R，使x2≠1，
因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．
(3)命题的否定：?x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．
(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．
10．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解 (1)命题p的否定：对任意实数x，若x－a>0，则x－b>0.
(2)b≤a.
11．下列命题的否定是真命题的是( )
A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
解析 A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题，
B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，
D的否定：
3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题，
故选B.
12．已知命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<0
B．0≤a≤4
C．a≥4
D．0答案 D
解析 ∵命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－213．命题?x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题?x∈R，x2＋1<0的否定是________．
答案 ?x∈R，x2－x＋3≤0 ?x∈R，x2＋1≥0
14．已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．
答案 {a|a≤0，或a≥1}
解析
若命题p为真命题，则Δ＝4a2－4a<0，
∴015．命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥2x＋1”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
，使得n<2x＋1
B．?x∈R，?n∈N
，使得n<2x＋1
C．?x∈R，?n∈N
，使得n<2x＋1
D．?x∈R，?n∈N
，使得n<2x＋1
答案 D
解析 由题意可知，全称量词命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“?x∈R，?n∈N
，使得n<2x＋1”，故选D.
16．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．
解 因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，
由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．
事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；
当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，
即－3≤a<0；
综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}．第2课时 集合的表示
学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
知识点一 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点二 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考 不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
答案 元素的共同特征为x∈R，且x<5.
1．由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( × )
2．集合{(1,2)}中的元素是1和2.( × )
3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( √ )
4．{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．( × )
一、列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
解 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是
{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
反思感悟 用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．
二、描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N
，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
跟踪训练2 下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解 (1)不相同．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的．
三、集合表示法的综合应用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
解 (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
延伸探究
1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．
2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．
解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.
综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．
反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
1．用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为( )
A．{－1,3}
B．{(－1,3)}
C．{x＝1}
D．{x2－2x－3＝0}
答案 A
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)}
D．{(1，－2)}
答案 D
3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是( )
A．6∈A
B．0∈A
C．3?A
D．3.5?A
答案 D
4．第一象限的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
答案 C
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( )
A．{x|x＝4k－1，k∈Z}
B．{x|x＝2k－1，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}
答案 A
1．知识清单：
(1)描述法表示集合的理解．
(2)用列举法和描述法表示集合．
(3)两种表示法的综合应用．
2．方法归纳：等价转化、分类讨论．
3．常见误区：点集与数集的区别．
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1}
B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
答案 B
解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．
2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A．0∈A
B．1?A
C．－1∈A
D．0?A
答案 A
解析 ∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0,1}，
∴0∈A.
3．如果A＝{x|x>－1}，那么( )
A．－2∈A
B．{0}∈A
C．－3∈A
D．0∈A
答案 D
解析 ∵0>－1，故0∈A，选D.
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1}
B．{x|x2＝1}
C．{1}
D．{y|(y－1)2＝0}
答案 B
解析 {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，故选B.
5．下列命题中正确的是( )
A．集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
答案 A
解析 {x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，?{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________________．
答案 {x|x＝2n，n∈N
}
解析 正整数中所有的偶数均能被2整除．
7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________________．
答案 {a|a≤－2}
解析 ∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
8．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
答案 2
解析 由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有能被3整除的数的集合；
(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(6)不等式2x－1>5的解集．
解 (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){a|a是梯形}或{梯形}．
(4){x|x＝3n，n∈Z}．
(5){1,2}．
(6){x|x>3}．
10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解 ①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
11．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 B
解析 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．
12．已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A
B＝{x|x∈A且x?B}，则集合A
B等于( )
A．{1,2,3}
B．{2,4}
C．{1,3}
D．{2}
答案 C
解析 因为属于集合A的元素是1,2,3，但2属于集合B，所以A
B＝{1,3}．
13．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
答案 {0,1}
解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
∴B＝{0,1}．
14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
答案 不是
解析 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
15．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
答案 C
解析 因为A＝{0,1,2}，又集合B中元素为x－y且x∈A，y∈A，
所以x的可能取值为0,1,2；y的可能取值为0,1,2.
当x＝0时，y＝0或1或2，
此时对应的x－y的值为0，－1，－2.
当x＝1时，y＝0或1或2，
此时对应的x－y的值为1,0，－1.
当x＝2时，y＝0或1或2，
此时对应的x－y的值为2,1,0.
综上可知，集合B＝{－2，－1,0,1,2}，
所以集合B中的元素的个数为5.
16．设集合B＝.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
解 (1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝?N，
所以1∈B,2?B.
(2)因为∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2,3,6，
所以x只能取0,1,4，
所以B＝{0,1,4}．1．5 全称量词与存在量词
1．5.1 全称量词与存在量词
学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
知识点 全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
?
?
命题
含有全称量词的命题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )
3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．( √ )
一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1 (1)下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
答案 C
解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．
(2)给出下列几个命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．0
答案 B
解析 因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.
反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断
注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 ①②是全称量词命题，③是存在量词命题．
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假．
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)?x∈N，x2>0.
解 (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“?x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题．
反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．
跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0.
解 (1)是全称量词命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解 (1)由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
所以B?A，B≠?，
所以
解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，
因为B≠?，所以m≥2.
所以
解得2≤m≤4.
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．
跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．
解 由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，
即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．
(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，
则
解得m<－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.
1．下列语句不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个学生都充满阳光
答案 C
解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题．
2．下列命题中为全称量词命题的是( )
A．有些实数没有倒数
B．矩形都有外接圆
C．存在一个实数与它的相反数的和为0
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
答案 B
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
答案 C
解析 B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.
4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
答案 ①②③ ④
解析 ①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．
5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________．
答案 a≤3
解析 对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．
(2)含量词的命题的真假判断．
(3)通过含量词的命题的真假求参数．
2．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．
1．下列命题是“?x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
答案 C
2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x2＋1>0
B．?x∈R，x2＋1<0
C．?x∈R，x2＋1<0
D．以上都不正确
答案 C
解析 存在量词命题中“存在”可用符号“?”表示，故选C.
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
答案 B
4．给出下列三个命题：
①对任意的x∈R，x2>0；
②存在x∈R，使得x2≤x成立；
③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．
5．下列说法正确的是( )
A．对所有的正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
答案 B
解析 t＝时，>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．
6．下列存在量词命题中真命题有________．
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形．
答案 ①②③
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”写成存在量词命题为________．
答案 ?x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)
①有的实数是整数；
②三角形是多边形；
③矩形的对角线互相垂直；
④?x∈R，x2＋2>0；
⑤有些素数是奇数．
答案 ②③④
9．判断下列命题的真假．
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．
解 (1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，
就不能用正有理数表示．
(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)?x，x－2≤0.
(2)三角形两边之和大于第三边．
(3)有些整数是偶数．
解 (1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“?x，x－2≤0”是真命题．
(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．
(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．
11．下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
③?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1
B．2
C．3
D．0
答案 B
12．已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>－1
B．a<－1
C．a≥－1
D．a≤－1
答案 B
解析 依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a<1}
解析 当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是a<1.
14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，
恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，
解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，－1≤a≤1.
15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“?x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
答案 C
解析 当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4?a≥5，a≥5?a≥4，故选C.
16．已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
解 因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，
所以m≥－4.章末复习
一、集合的综合运算
1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
解 (1)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴?RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R，
∴∴－1≤a≤0.所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
(2)由(1)知(?RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．即这样的a不存在．
反思感悟 借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．
跟踪训练1 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解 把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来．
如图，
?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2?U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
(?UA)∩B＝{x|－3二、充分条件、必要条件与充要条件
1．若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；
若p?q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．
2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}．
q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．
且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 ∵q是p的充分不必要条件．
∴B?A，
∴或
解得－≤a<0或a≤－4.
所以a的范围为.
反思感悟 在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x|－4≤x≤4，x∈R}，B＝{x|x5”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 A?B?a>4，而a>5?a>4，且a>4?a>5，所以“a>5”是“A?B”的充分不必要条件．
(2)“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A．m≥1
B．m≤1
C．m≥0
D．m≥2
答案 D
解析 “不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“(－2)2－4m≤0”即“m≥1”，
又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件，
即“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”，
故选D.
三、全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．
2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养．
例3 (1)
命题“?x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )
A．?x∈R，x2－2x＋1≤0
B．?x∈R，x2－2x＋1≥0
C．?x∈R，x2－2x＋1<0
D．?x∈R，x2－2x＋1<0
答案 C
解析 ∵命题“?x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题，
∴命题的否定为：?x∈R，x2－2x＋1<0，
故选C.
(2)若命题p：?x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1
B．m>1
C．m<1
D．m≤1
答案 B
解析 命题p：?x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)，
∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，
∴m>1.
∴实数m的取值范围是{m|m>1}．
故选B.
反思感悟 全称量词命题、存在量词命题真假判断
(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可．
(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假．
跟踪训练3 (1)?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019的否定是( )
A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019
B．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
C．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
D．以上都不对
答案 C
(2)设命题p：?x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈p为真，则实数a的取值范围是________．
答案 R
解析 綈p：?x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，
显然a∈R.
1．设全集U＝R，集合A＝{x|－3A．{x|x≤－3或x≥1}
B．{x|x<－1或x≥3}
C．{x|x≤3}
D．{x|x≤－3}
答案 D
解析 A＝{x|－3－3}，?U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故选D.
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋2x＋1>0
B．?x∈N,2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
答案 C
解析 对A，是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.
3．设集合A＝{x|1A．{a|a≥2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≤2}
答案 A
解析
如图
4．已知集合A＝{1,3,2－m}，集合B＝{3，m2}，则“B?A”的充要条件是实数m＝________.
答案 －2
解析 若B?A，
则m2＝1或m2＝2－m，
得m＝1或m＝－1，或m＝－2，
当m＝1时，A＝{1,3,1}不成立，
当m＝－1时，A＝{1,3,3}不成立，
当m＝－2时，A＝{1,3,4}，B＝{3,4}，满足条件．
即m＝－2，
则“B?A”的充要条件是实数m＝－2.
5．已知集合A＝{2,0,1,9}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2?A}，则集合B中所有的元素之和为________．
答案 －2
解析 若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±，显然满足条件；若k2－2＝9，得k＝±，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±，±，±，所以集合B中的所有元素之和为－2.1．3 集合的基本运算
第1课时 并集与交集
学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
知识点一 并集
思考 集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
答案 不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
知识点二 交集
预习小测 自我检验
1．设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.
答案 {3,4,5,6,7,8}
解析 ∵M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，∴M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.
答案 {x|x>0}
解析
A∪B＝{x|x>1}∪{x|x>0}＝{x|x>0}．
3．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.
答案 {－1,0}
解析 由A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，得A∩B＝{－1,0}．
4．已知集合M＝{x|－3答案 ?
解析 利用数轴表示集合M与N，可得M∩N＝?.
一、并集、交集的运算
例1 (1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2}
B．{x|x>－1}
C．{x|－2D．{x|－1答案 A
解析
画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
答案 D
解析
∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D.
反思感悟 求解集合并集、交集的类型与方法
(1)若是用列举法表示的数集，可以根据并集、交集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；
(2)若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
二、并集、交集性质的应用
例2 已知集合A＝{x|－3解 (1)当B＝?，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠?时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知.
延伸探究
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
解 由A∩B＝A可知A?B.
所以即所以k∈?.
所以k的取值范围为?.
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3解 由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
反思感悟 (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A?B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝?的情况．
(2)集合运算常用的性质：
①A∪B＝B?A?B；
②A∩B＝A?A?B；
③A∩B＝A∪B?A＝B.
跟踪训练 (1)A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|aA．3≤a<4
B．－1C．a≤－1
D．a<－1
答案 C
解析 利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
(2)若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则m的取值范围是________．
答案 －2≤m≤－1
解析 ∵A∪B＝B，
∴A?B，如图所示，
∴解得－2≤m≤－1.
∴m的取值范围为{m|－2≤m≤－1}．
含字母的集合运算忽视空集或检验
典例 (1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )
A．1或2
B．2或4
C．2
D．1
答案 C
解析 ∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．
答案 {a|a≥2}
解析 由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴B?A，
∴当B＝?时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；
当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；
当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．
综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．
[素养提升] (1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．
(2)在本例(2)中，A∩B＝B?B?A，B可能为空集，极易被忽视．
1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于( )
A．{1,6,5,6,8}
B．{1,5,6,8}
C．{0,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
答案 B
解析
求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．
2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于( )
A．{－1,0,1,2}
B．{0,1,2}
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
答案 D
解析
N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．
3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{0,1}
B．{0}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
答案 D
解析
由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.
4．已知集合A＝{x|－1答案 {x|－1解析
因为A＝{x|－15．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
答案 m≥2
解析
∵A∪B＝A，∴B?A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.
1．知识清单：
(1)并集、交集的概念及运算．
(2)并集、交集运算的性质．
(3)求参数值或范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．
1．(2019·全国Ⅱ)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( )
A．{x|x>－1}
B．{x|x<2}
C．{x|－1D．?
答案 C
解析 A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－12．A，B是两个集合，则集合{x|x∈A，且x∈B}可用阴影表示为( )
答案 D
解析
集合{x|x∈A，且x∈B}＝A∩B，故D正确．
3．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有( )
A．A?C
B．C?A
C．A＝C
D．以上都不对
答案 A
解析
A∩B＝A?A?B，B∪C＝C?B?C，∴A?C.
4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
答案 D
解析 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
5.如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为( )
A．{x|0B．{x|1C．{x|0≤x≤1，或x≥2}
D．{x|0≤x≤1，或x>2}
答案 D
解析 因为A∩B＝{x|12}．
6．若集合A＝{x|－1答案 R {x|4≤x<5}
解析
借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．
7．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是__________．
答案 2
解析
由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}，{1,2}，共2个．
8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a≤1}
解析
因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
9．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．
解 因为A∩B＝{3}，所以3∈A.
从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．
又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，
所以B＝{2,3}．
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
10．集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．
解 (1)如下图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，
∴a≤－1，即a的取值范围为{a|a≤－1}．
(2)如下图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，
∴－111．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 B
解析 ∵A∪B＝A，∴B?A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验，当x＝或－时满足题意，故选B.
12．设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|aA．－3B．－3≤a≤－1
C．a≤－3或a≥－1
D．a<－3或a>－1
答案 A
解析
∵S∪T＝R，∴
∴－313．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，则实数a的取值集合为( )
A．{a|a<2}
B．{a|a≥－1}
C．{a|a<－1}
D．{a|－1≤a≤2}
答案 C
解析 如图，要使A∩B＝?，应有a<－1.
14．已知集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，若B?A，则实数a＝________；若A∩B＝{3,4}，则实数a＝________.
答案 －2 2或4
解析 ∵集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，B?A，
∴a＝－2.
∵A∩B＝{3,4}，∴a＝4或a2＝4，
∴a＝2或4.
15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
答案 12
解析
设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8，解得x＝12.
16．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：
(1)A≠B；
(2)A∪B＝B；
(3)??(A∩B)．
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2,3}．
∵A∪B＝B，∴A?B，即A＝B或A?B.
由条件(1)A≠B，可知A?B.
又∵??(A∩B)，∴A≠?，即A＝{2}或{3}．
当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5.
经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．
当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.
经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．
综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．1．4 充分条件与必要条件
1．4.1 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
知识点 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
p?q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
思考 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？
答案 不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2预习小测 自我检验
1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．
答案 必要
2．已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．
答案 充分
3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．
答案 必要
解析 ∵x＝y?|x|＝|y|，即q?p，
∴p是q的必要条件．
4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．
答案 充分
一、充分条件的判断
例1 (1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
答案 ③
解析
①∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．
③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．
(2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．
答案 充分
解析 由a>2且b>2?a＋b>4，ab>4，
∴是充分条件．
反思感悟 充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件．
跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件．
答案 充分
解析 x>2?x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．
二、必要条件的判断
例2 在以下各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；
(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
解 (1)由于p?q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)由于q?p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
反思感悟 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件．
跟踪训练2 分析下列各项中p与q的关系．
(1)p：α为锐角，q：α＝45°.
(2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.
解 (1)由于q?p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)由于q?p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知p：实数x满足3a解 p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p?q，所以A?B，
所以?－≤a<0，
所以a的取值范围是－≤a<0.
延伸探究
1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解 p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q?p，所以B?A，
所以?a∈?.
2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
解 p：3aq：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为p是q的充分条件，所以p?q，所以A?B，
所以?－1≤a<0.
所以a的取值范围是－1≤a<0.
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
答案 B
解析 因为p是q的充分条件，所以p?q，所以q是p的必要条件．
2．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
答案 A
解析 根据充分条件的概念逐一判断．
3．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案 a≤1
解析 因为x>1?x>a，所以a≤1.
5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
答案 必要 充分
解析 由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
1．知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念．
(2)充分性、必要性的判断．
(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．
(4)充分条件与必要条件的应用．
2．常见误区：
充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．
1．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4
B．x>0
C．x>2
D．x<2
答案 A
解析
只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.
2．使x>1成立的一个必要条件是( )
A．x>0
B．x>3
C．x>2
D．x<2
答案 A
解析 只有x>1?x>0，其他选项均不可由x>1推出，故选A.
3．下列p是q的必要条件的是( )
A．p：a＝1，q：|a|＝1
B．p：－1C．p：aD．p：a>b，q：a>b＋1
答案 D
解析 要满足p是q的必要条件，即q?p，只有q：a>b＋1?q：a－b>1?p：a>b，故选D.
4．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x答案 A
解析 B项中，x2＝1?x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
5．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>0，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
答案 B
6．下列说法不正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2答案 ②
解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．
7．条件p：5－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．
答案 {a|a≤5}
解析
p：x>5，若p是q的充分条件，则p?q，也就是说，p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤5.
8．下列式子：
①a<0其中能使<成立的充分条件有______．(只填序号)
答案 ①②④
解析 当a<0当b当b<0当0所以能使<成立的充分条件有①②④.
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a解 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，＝2>1；当a＝2，b＝－1时，＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？
解 (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}?，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．
11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案 B
解析 “a＝b”?“a－b＝0”?“(a－b)c＝0”?“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
12．已知集合A＝{x∈R|－1A．m≥2
B．m≤2
C．m>2
D．－2答案 A
解析 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，
所以A?B，所以3≤m＋1，即m≥2.
13．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．
答案 {a|a≤－3，或a≥3}
解析
因为A是B的充分条件，
所以A?B，
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．
14．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 {m|0解析 由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|<－m＋1或x>m＋1}，
因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，
所以或解得m<2，
又m>0，所以实数m的取值范围是015．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案 A
解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙?丙，
如图．
综上，有丙?甲，但甲?丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
16．若p：－2解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p?q.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0于是0<－a<2,0即－2所以p是q的必要条件，但不是充分条件．1．1 集合的概念
第1课时 集合的概念
学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？
答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
知识点三 常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
1．组成集合的元素一定是数．( × )
2．接近于0的数可以组成集合．( × )
3．分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的．( √ )
4．一个集合中可以找到两个相同的元素．( × )
一、对集合的理解
例1 (1)考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．
A．③④
B．②③④
C．②③
D．②④
答案 B
解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
答案 ②
解析 ①不正确.
book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确.
集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确.
小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
反思感悟 判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
二、元素与集合的关系
例2 下列关系中正确的个数为( )
①∈Q；②－1?N；③π?R；④|－4|∈Z.
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 ①∵是无理数，∴?Q，故①错误；②－1?N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．
反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练1 给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a?Z；
③若a∈Q，b∈N
，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．
三、元素特性的应用
例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解 ∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，
则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.
延伸探究
若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．
解 ∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，
解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，
符合题意．
故所求a的值为1.
反思感悟 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
跟踪训练2 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.
答案 －1
解析 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，
∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．
∴a＝－1.
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
答案 D
2．下列结论不正确的是( )
A．0∈N
B.?Q
C．0?Q
D．8∈Z
答案 C
解析 0是有理数，故0∈Q，所以C错误．
3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
答案 A
解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．
答案 10
解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．
5．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
答案 x≠0,2
解析 由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.
1．知识清单：
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．
(2)常用数集的表示．
(3)集合中元素的特性及应用．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．
1．以下各组对象不能组成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－7＝0的实数解
D．周长为10
cm的三角形
答案 B
解析 因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C.
D.
答案 D
解析 由题意知a应为无理数，故a可以为.
3．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 A
解析 N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2?N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3?Z；④－?N，其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B.
5．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x?B，则x等于( )
A．2
B．3
C．4
D．6
答案 B
解析 集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
6．下列说法中：①集合N与集合N
是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
答案 ②④
解析 因为集合N
表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
7．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
答案 3
解析 由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，故m＝3.
8．若由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，则a2
019＋b2
019的值为________．
答案 －1
解析 由已知可得a≠0，
因为两集合相等，所以有或
所以(舍)或
经检验，a＝－1，b＝0，满足条件，
所以a2
019＋b2
019＝－1.
9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
解 ∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.又a∈N，
∴a＝0或1.
10．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
解 (1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.
11．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
答案 B
解析 若a＝2，则6－2＝4∈A；
若a＝4，则6－4＝2∈A；
若a＝6，则6－6＝0?A，故选B.
12．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．－1∈M
B．1∈M
C．2∈M
D．3?M
答案 A
解析 ①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1，所以集合M的元素有－1,3，故选A.
13．由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1
B．－2
C．－1
D．2
答案 C
解析 由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确，故选C.
14．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“?”)
答案 ∈ ∈
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
15．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1?M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
答案 ②
解析 依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3，
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；
当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．
16．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明 (1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．1．2 集合间的基本关系
学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一 子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集
A?B
(或B?A)
真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的真子集
A?B
(或B?A)
集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A＝B
2.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
知识点二 空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
2．规定：空集是任何集合的子集．
思考 {0}与?相等吗？
答案 不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠?.
1．空集中不含任何元素，所以?不是集合．( × )
2．任何一个集合都有子集．( √ )
3．若A＝B，则A?B且B?A.( √ )
4．空集是任何集合的真子集．( × )
一、集合间关系的判断
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④??{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
解 ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
反思感悟 判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
①任意x∈A时，x∈B，则A?B.
②当A?B时，存在x∈B，且x?A，则A?B.
③若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
跟踪训练1 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
解析 x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，
易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
二、子集、真子集的个数问题
例2 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
反思感悟 公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
跟踪训练2 已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为( )
A．15
B．16
C．31
D．32
答案 D
解析 A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.
三、集合间关系的应用
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠?时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝?时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
延伸探究
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解 (1)当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示．
∴解得
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．若本例条件“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围．
解 当A?B时，如图所示，此时B≠?.
∴即
∴m不存在．
即不存在实数m使A?B.
反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．
(2)涉及到“A?B”或“A?B且B≠?”的问题，一定要分A＝?和A≠?两种情况讨论，不要忽视空集的情况．
跟踪训练3 若集合A＝{x|1a}，满足A?B，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≤2}
答案 B
解析 如图所示，A?B，
所以a≤1.
1．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{0}
B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x>4}
答案 B
解析 选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.
2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0?A
B．{0}∈A
C．?∈A
D．{0}?A
答案 D
解析 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，??A，D正确．
3．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )
A．A?B?C
B．B?A?C
C．A?B?C
D．A＝B?C
答案 B
解析 集合A，B，C关系如图．
4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________.
答案 4
解析 ∵B?A，
∴元素3,4必为A中元素，
∴m＝4.
5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B?A，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥1
解析 ∵B?A，∴a≥1.
1．知识清单：
(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．
(2)求子集、真子集的个数问题．
(3)由集合间的关系求参数的值或范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．
1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是( )
A．0∈A
B．{1}∈A
C．??A
D．{0,1}?A
答案 B
解析 ∵{1}?A，∴{1}∈A错误，其余均正确．
2．集合{1,2}的子集有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
答案 A
解析 集合{1,2}的子集有?，{1}，{2}，{1,2}共4个．
3．下列表述正确的有( )
①空集没有子集；
②任何集合都有至少两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若??A，则A≠?.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案 B
解析 ???，故①错；?只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1
B．2
C．3
D．4
答案 D
解析 由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A?C?B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
5．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )
A．0
B．1
C．2
D．－1
答案 C
解析 由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.
由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，
经验证，符合题意，则2x＋y＝2.
6．集合?和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)
①{0}＝?；②{0}∈?；③{0}??；④??{0}．
答案 ④
解析 ?没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然?≠{0}，又?是任何非空集合的真子集，故有??{0}，所以④正确，①②③不正确．
7．集合A＝{x|1答案 {a|a≥6}
解析 ∵A＝{x|18．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
答案 {0,1，－1}
解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，
当a＝0时，方程化为2x＝0，
方程只有一个根x＝0，符合题意．
当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.
9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解 (1)若A?B，由图可知，a>2.
故实数a的取值范围为{a|a>2}．
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
11．若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是( )
A．C?A＝B
B．A?C?B
C．A＝B?C
D．B?A?C
答案 A
解析 ∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2·2k－1，k∈Z}，∴C?A＝B，故选A.
12．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案 M＝P
解析 因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
13．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，那么实数a的值是________．
答案 0，±1
解析 由题意得P＝{－1,1}，
又因为Q?P，
若Q＝?，则a＝0，此时满足Q?P，
若Q≠?，则Q＝，由题意知，＝1或＝－1，解得a＝±1.综上可知，实数a的值是0，±1.
14．已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝______.若集合B满足{0}?B?A，则集合B＝________.
答案 {－1,0} {－1,0}
解析 ∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0,
∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1,0},
∵集合B满足{0}?B?A,
∴集合B＝{－1,0}．
15．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠?，B?A，则a等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．±1
答案 D
解析 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根－1，即a＝－1；
当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根1，即a＝1；
当B＝{－1,1}时，不成立．
故a＝±1.
16．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A?B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；
(2)若A?B成立，求出对应的实数对(a，b)．
解 (1)对于任意实数b都有A?B，当且仅当集合A中的元素为1,2.
∵A＝{a－4，a＋4}，
∴或
解方程组可知无解．
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A?B.
(2)由(1)易知，若A?B，
则或
或或
解得或
或或
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．