江苏省苏州市八校2021届高三上学期期末2月联考数学试题2021.2 Word版含解析

江苏省苏州市八校2020—2021学年高三上学期期末联考
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．复数z满足z(1＋i)＝1﹣i，则z的虚部等于
A．﹣i B．﹣1 C．0 D．1
2．设集合A＝，B＝，则集合AB＝
A．(0，1] B．(0，1) C．(0，4) D．(0，4]
3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是

A． B． C． D．
4．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
5．若函数满足：对定义域内任意的，(≠)，有，则称函数具有H性质．则下列函数中不具有H性质的是
A． B．
C． D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第( )天．
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
7．在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A、B两点．若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且cos(﹣)≤0，则a＋b的最大值为
A．1 B． C．2 D．不存在
8．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin＝，，则双曲线C的离心率为
A．3 B． C． D．2

第3题 第8题
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知向量＝(1，﹣2)，＝(﹣1，m)，则
A．若与垂直，则m＝﹣1 B．若∥，则的值为﹣5
C．若m＝1，则＝13 D．若m＝﹣2，则与的夹角为60°
10．设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为8 D．的最小值为
11．设首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C．数列为等比数列 D．数列的前n项和为
12．已知函数，xR，则
A．在(0，)上单调递增
B．周期函数，且周期为2π
C．直线x＝是的对称轴
D．函数在(﹣π，π)上有且仅有一个零点
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知点A(3，0)，B(0，4)，点P在圆上运动，则点P到直线AB的距离的最小值为 ．
14．定义在实数集R上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数 ．
15．某班有40名学生，一次考试后数学成绩~N(110，)，若P(100≤≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 ．
16．A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A—BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为和，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b﹣csinA)sinC＝c(1﹣cosAcosC)．
（1）求B的值；
（2）在①S△ABC＝，②A＝，③a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b＝3， ，求△ABC的周长．
18．（本小题满分12分）
已知正项等比数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式及；
（2）设，记为数列的前n项和，若，求n．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形，且∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，CD＝SD，点M是SA的中点．
（1）求证：BD⊥平面SCD；
（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求SD与平面MBD所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口．某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如表所示：
第x天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y(单位：万个)
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为．经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由．
附：，．


21．（本小题满分12分）
椭圆C：(a＞b＞0)过点M(2，3)，其上，下顶点分别为点A，B，且直线AM，
MB的斜率之积为kAM·kBM＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点Q(﹣a，0)作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若kQS＋kQT＝2，求证：直线ST过定点．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数的图象在x＝1处的切线为y＝1，求的极值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
江苏省苏州市八校2020—2021学年高三上学期期末联考
数学试题 答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．复数z满足z(1＋i)＝1﹣i，则z的虚部等于
A．﹣i B．﹣1 C．0 D．1
答案：B
解析：，所以z的虚部为﹣1．
2．设集合A＝，B＝，则集合AB＝
A．(0，1] B．(0，1) C．(0，4) D．(0，4]
答案：A
解析：集合A＝，B＝＝(﹣4，1]，
所以AB＝(0，1]．
3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是
A． B． C． D．
答案：B
解析：首先该函数是偶函数，排除A，其次该函数x≠±1，排除D，最后该函数过点(0，1)，排除C，综上选B．
4．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
答案：C
解析：．
5．若函数满足：对定义域内任意的，(≠)，有，则称函数具有H性质．则下列函数中不具有H性质的是
A． B．
C． D．
答案：B
解析：本题涉及函数的凹凸性，显然选B．
6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第( )天．
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
答案：B
解析：，解得：，故正整数n的最小值为4，选B．
7．在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A、B两点．若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且cos(﹣)≤0，则a＋b的最大值为
A．1 B． C．2 D．不存在
答案：B
解析：cos(﹣)≤0，所以coscos＋sinsin≤0，故，化简得，所以．选B．
8．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin＝，，则双曲线C的离心率为

A．3 B． C． D．2
答案：D
解析：由题意知，AF1＝2a，AF2＝4a，F1F2＝2c，cosA＝，由余弦定理得：
，化简得，故e＝2．选D．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知向量＝(1，﹣2)，＝(﹣1，m)，则
A．若与垂直，则m＝﹣1 B．若∥，则的值为﹣5
C．若m＝1，则＝13 D．若m＝﹣2，则与的夹角为60°
答案：BC
解析：若与垂直，，则m＝，A错误；
若∥，，则＝(1，﹣2)·(﹣1，2)＝﹣5，B正确；
若m＝1，＝(1，﹣2)﹣(﹣1，1)＝(2，﹣3)，所以＝13，C正确；
若m＝﹣2，cos<，>＝，D错误．
综上，选BC．
10．设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为8 D．的最小值为
答案：ABD
解析：，经检验能取“＝”，A正确；
，经检验能取“＝”，B正确；
，经检验能取“＝”，C错误；
，经检验能取“＝”，D正确．
综上，选ABD．
11．设首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C．数列为等比数列 D．数列的前n项和为
答案：BD
解析：，B正确；
，当n≥2时，，故，故A与C都错；
的前n项和为，故数列的前n项和为，D正确．
综上，选BD．
12．已知函数，xR，则
A．在(0，)上单调递增
B．周期函数，且周期为2π
C．直线x＝是的对称轴
D．函数在(﹣π，π)上有且仅有一个零点
答案：BCD
解析：(kZ)，作出函数图象如下图所示：

由上图可知，在(0，)上单调递减，A错误；
周期函数，且周期为2π，B正确；
直线x＝是的对称轴，C正确；
函数图象与直线在(﹣π，π)上有且仅有一个交点，D正确．
综上，选BCD．
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知点A(3，0)，B(0，4)，点P在圆上运动，则点P到直线AB的距离的最小值为 ．
答案：
解析：直线AB为：，最小距离＝．
14．定义在实数集R上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数 ．
答案：
解析：答案不唯一，比如．
15．某班有40名学生，一次考试后数学成绩~N(110，)，若P(100≤≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 ．
答案：6
解析：．
16．A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A—BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为和，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是 ．
答案：[，]
解析：设球心为O，则求得OM＝3，ON＝2，∴OM﹣ON≤MN≤OM＋ON，故1≤MN≤5，所以≤V≤，即V[，]．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b﹣csinA)sinC＝c(1﹣cosAcosC)．
（1）求B的值；
（2）在①S△ABC＝，②A＝，③a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b＝3， ，求△ABC的周长．
解：（1）因为，
可得，即，
因为
所以，即，
因为，
所以，可得，
（2）若选择条件①，因为，所以，
由余弦定理可得，所以，可得，
又，解得，因此△ABC的周长为；
若选择条件②，在△ABC中，由正弦定理可得

所以
所以△ABC的周长为；
若选择条件③，由余弦定理可得，
所以，即，解得
因此△ABC的周长为．

18．（本小题满分12分）
已知正项等比数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式及；
（2）设，记为数列的前n项和，若，求n．
解：（1）设正项等比数列的公比为q，满足，
所以，解得或﹣1（负值舍去），
所以，则，
（2）设，所以，
故，
令，
所以，解得．

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形，且∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，CD＝SD，点M是SA的中点．
（1）求证：BD⊥平面SCD；
（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求SD与平面MBD所成角的正弦值．
解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，
设AB＝a，则AD＝a，BC＝2a，BE＝BC＝a，
∵∠ABC＝90°，AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形ABED是正方形，∴BD＝a，DE⊥BC，DE＝CE＝a，
∴，∴，故BD⊥CD，
∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD平面ABCD＝CD，BD平面ABCD，
BD⊥CD，∴BD⊥平面SCD；
（2）过S作SN⊥CD，交CD延长线于N，
∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD平面ABCD＝CD，SN平面SCD，
SN⊥CD，∴SN⊥平面ABCD，
∴∠SDN为直线SD与底面ABCD所成的角，故∠SDN＝60°，
∵SD＝CD＝，∴DN＝，SN＝，
以D为原点，以DB，DC，及平面ABCD的过点D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D—xyz，如图所示，
则
∵M是SA的中点，
∴
设平面MBD的法向量为，则，
即，令z＝2可得，
∴，
∴SD与平面MBD所成角的正弦值为．
20．（本小题满分12分）
自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口．某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如表所示：
第x天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y(单位：万个)
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为．经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由．
附：，．
解：（1）样本平均数，
∴由最小二乘法公式求得
，
即所求回归方程为：，
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为

用题中的二次函数模型求得回归方程为，经检查，该企业第11天的产量为145.3万个，
与第11天的实际数据进行比较发现；
所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好．
21．（本小题满分12分）
椭圆C：(a＞b＞0)过点M(2，3)，其上，下顶点分别为点A，B，且直线AM，
MB的斜率之积为kAM·kBM＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点Q(﹣a，0)作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若kQS＋kQT＝2，求证：直线ST过定点．
解：（1）由题意可得：，
所以，可得：，
将M点的坐标代入可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：由（1）可得Q(﹣4，0)，
设，直线ST的方程为：，
联立直线与椭圆的方程，整理可得：，

可得：，即，
整理可得，
即
化简可得：，
即，
当，直线ST的方程为：，
恒过左顶点，不符合题意，
当，直线ST的方程为：，
所以可证得直线恒过定点(﹣4，3) ．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数的图象在x＝1处的切线为y＝1，求的极值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）
此时函数，
函数的图像在x＝1处的切线为y＝1，成立，
所以，此时在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，
所以的极大值为，不存在极小值；
（2）由，
化简可得，
令，则
令，则，
所以在(0，)上单调递增，
又，
存在唯一的，使得，
故在上单调递减，在上单调递增，

由，得，
，所以，
即实数a的取值范围是