2020-2021学年苏科版数学七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》易错题专练（三）（Word版 含解析）

2020-2021学年七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》
易错题专练（三）
1．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝　
　°，∠BQC＝　
　°；
（2）当α＝　
　°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　
　．
2．已知，如图，E为BC延长线上一点，点D是线段AC上一点．
（1）如图1，DF∥BC，作DG平分∠BDF交AB于G，DH平分∠GDC交BC于H，且∠BDC比∠ACB大20°，求∠GDH的度数．
（2）如图2，连接DE，若∠ABC的平分线与∠ADE的平分线相交于点P，BP交AC于点K．
①设∠ABK＝x，∠AKB＝y，∠ADP＝z，试用x，y，z表示∠E；
②求证：∠P＝（∠A﹣∠E）．
3．已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∠1＝∠DMN（　
　），
∴∠2＝∠　
　（等量代换），
∴DB∥EC（　
　
），
∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，　
　
），
∵∠C＝∠D（　
　
），
∴∠DBC+　
　＝180°（等量代换），
∴DF∥AC（　
　，两直线平行），
∴∠A＝∠F（　
　
）
4．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE的度数；
（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？
5．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要证∠3+∠4＝180°，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（　
　），
∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（　
　），
∴　
　∥　
　（　
　），
∴∠3+∠4＝180°（　
　）
6．如图1，点A（a，6）在第一象限，点B（0，b）在y轴负半轴上，且a，b满足：．
（1）求△AOB的面积．
（2）若线段AB与x轴相交于点C，在点C的右侧，x轴上是否存在点D，使S△ACD＝S△BOC？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若∠AOx轴＝60°，射线OA绕O点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA′，射线OB绕B点以每秒10°的速度顺时针旋转到O′B，当OB转动一周时两者都停止运动．若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，OA′∥O′B？
7．如图，在图a、图b、图c中都有直线m∥n，
（1）在图a中，∠2和∠1、∠3之间的数量关系是　
　．
（2）猜想：在图b中，∠1、∠2、∠3、∠4之间的数量关系是　
　．
（3）猜想：在图c中，∠2、∠4和∠1、∠3、∠5的数量关系式是　
　．
8．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．
（1）求证：∠EAC＝∠B；
（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．
9．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　
　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　
　个；
（3）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）
10．如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试说明AD∥BC．完成推理过程：
∵AB∥DC（已知）
∴∠1＝∠CFE（　
　）
∵AE平分∠BAD（已知）
∴∠1＝∠2
（角平分线的定义）
∵∠CFE＝∠E（已知）
∴∠2＝　
　（等量代换）
∴AD∥BC
（　
　）
参考答案
1．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，
∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即（180°+α）＝180°，
解得α＝60°；
（3）∵α＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC＝90°﹣α、
∠BQC＝135°﹣α、
∠BOC＝α﹣45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．
2．解：（1）设∠BCD＝a，则∠BDC＝a+20，
∴∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝160﹣2a，
∵DF∥BC，
∴∠BDF＝∠CBD，
∵DG平分∠BDF，
∴∠BDG＝∠BDF＝∠CBD＝80﹣a，
∴∠GDC＝∠BDG+∠BDC＝80﹣a+a+20＝100，
∵DH平分∠GDC，
∴∠GDH＝∠GDC＝50°；
（2）①∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ABP＝2x，
∠ADE＝2∠ADP＝2z，
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠E＝∠ACB﹣∠CDE，
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣2x﹣∠A，
∴∠E＝180°﹣2
x﹣∠A﹣（180°﹣2z）
＝﹣2x+2z﹣∠A．
∵在△ABK中，∠A＝180°﹣∠ABK﹣∠AKB＝180°﹣x﹣y，
∴∠E＝﹣2x+2z﹣（180°﹣x﹣y）＝2z﹣x+y﹣180°；
②∵∠AKP分别是△PKD与△ABK的外角，
∴∠P＝∠AKP﹣∠ADP，∠AKP＝∠A+∠ABK，
∴∠P＝∠A+∠ABK﹣∠ADP＝180°﹣y﹣z，
∴∠E＝﹣2x+2z﹣（180°﹣x﹣y）＝2z﹣x+y﹣180°，
∵（∠A﹣∠E）＝（180°﹣x﹣y）﹣（2z﹣x+y﹣180°）＝180°﹣y﹣z，
∴∠P＝（∠A﹣∠E）．
3．解：故答案为：
对顶角；
DMN；
同为角相等，两直线平行；
同旁内角互补；
已知；
∠D；
同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等
4．解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
（3）作AH⊥BC于H，如图③，
由（1）得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
（4）结合上述三个问题的解决过程，得到∠BAC的角平分线与角平分线上的点作BC的垂线的夹角为15°．
5．解：∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）．
6．解：（1）∵．
∴a﹣2＝0，b+4＝0，
解得a＝2，b＝﹣4；
∴A（2，6），B（0．﹣4）
△AOB的面积为：×4×2＝4；
（2）设直线AB的关系式为y＝mx+n，
∵A（2，6），B（0．﹣4），
∴，
解得，
∴直线AB的关系式为y＝x﹣4，
当y＝0时，x＝，
∴C（，0），
设D（a，0），
∵S△ACD＝S△BOC，
∴×6×（a﹣）＝4××，
解得：a＝，
∴D点坐标（，0）；
（3）设x秒后OA′∥O′B，由题意得：
①当∠1＝∠2时，（90﹣60）+4x＝10x，
解得：x＝5；
②当∠3＝∠4时，180﹣（30+4x）＝360﹣10x，
解得x＝35，
答：在旋转过程中，经过5或35秒时间，OA′∥O′B．
7．解：（1）如图，过∠2的顶点作m∥a，
∵m∥n，
∴a∥m∥n，
∴∠4＝∠1，∠5＝∠3，
∵∠2＝∠4+∠5，
∴∠2＝∠1+∠3；
（2）猜想：∠2+∠4＝∠1+∠3；
（3）猜想：∠2+∠4＝∠1+∠3+180°﹣∠5．
故答案为：∠2＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3+180°﹣∠5．
8．（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC
∵∠EDA＝∠B+∠BDA，∠EAD＝∠CAD+∠EAC，∠EDA＝∠EAD
∴∠B＝∠EAC
（2）解：由（1）可知：∠EAC＝∠B＝50°，
设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠EAD＝∠ADE＝x+50°，
∴50°+x+50°+x+3x＝180°，
∴x＝16°，
∴∠E＝3x＝48°．
9．解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）交点有点M、O、N，
以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，
以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，
以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
（3）∵∠D＝40°，∠B＝36°，
∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，
∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝×（﹣4°）+40°＝38°；
（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
∴（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
10．证明：∵AB∥DC（已知）
∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）
∵AE平分∠BAD（已知）
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
∵∠CFE＝∠E（已知）
∴∠2＝∠E（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．