2020-2021学年人教版数学九年级下册第27章《相似》常考题专练（四）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版数学九年级下册第27章《相似》常考题专练（四）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 188.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-21 22:28:27 | ||
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文档简介
人教版数学九年级下册第27章《相似》
常考题专练（四）
1．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．
2．阅读下面的短文，并回答下列问题
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是
A、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于
；
②相似体表面积的比等于
；
③相似体体积的比等于
．
（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．
3．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF．
（2）若AE：EB＝1：2，求DE：EF的比值．
4．已知，如图△ABC与△ADE中，D在BC上，∠1＝∠2＝∠3
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AB＝4，AD＝2，AC＝3，求AE的长．
5．如图所示，
（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；
（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD＝kAB，AF＝kAE，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；
（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝a，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．
6．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
7．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE?AC＝AG?AD，求证：EG?CF＝ED?DF．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，∠ABC＝30°．D是CB上一点，DC＝1cm．P、Q是直线CB上的两个动点，点P从C点出发，以1cm/s的速度沿直线CB向右运动，同时，点Q从D点出发，以2cm/s的速度沿直线CB向右运动，以PQ为一边在CB的上方作等边三角形PQR，下图是其运动过程中的某一位置．设运动的时间是t（s）．
（1）△PQR的边长是
cm（用含有t的代数式表示）；
（2）若等边△PQR与△ABC重叠部分的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
10．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，BC＝5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．
（1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）；
（2）在（1）的条件下求BG的长；
（3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外．
参考答案
1．解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴＝，即＝，
解得OB＝h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴＝，＝②，
把①代入②得，＝，
解得h＝9（米）．
答：路灯离地面的高度是9米．
2．解：（1）A
（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方
（3）因为同一种鱼的密度一样，所以它们的质量比等于体积比
设这两种鱼的质量分别为m、M，则有
而它们的价格比为15：10＝1.5，∴买15元一条的鱼更合算．
3．（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠FBE＝90°，
∴∠ADE+∠DEA＝90°，
又∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB＝90°，
∴∠ADE＝∠FEB，
∴△ADE∽△BEF．
（2）解：∵AE：EB＝1：2，
∴EB：AB＝2：3，
∵AD＝AB，
∴EB：AD＝2：3，
∵△ADE∽△BEF，
∴DE：EF＝AD：EB＝3：2．
4．（1）证明：∵△ABC与△ADE中，D在BC上，∠2＝∠3，
∴∠E＝∠C，
∵∠DAE＝∠DAC+∠2，∠BAC＝∠DAC+∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠1＝∠3，
∴∠B＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE（已证）；
∴＝，
∵AB＝4，AD＝2，AC＝3，
∴＝，
∴AE＝1.5．
答：AE的长为1.5．
5．解：（1）DF与BE互相垂直且相等．
证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G（1分）
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD＝AB，AF＝AE，
∠BAD＝∠EAF＝90°
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD≌△EAB（2分）
∴∠AFD＝∠AEB，DF＝BE（3分）
∵∠AFD+∠AFG＝180°，
∴∠AEG+∠AFG＝180°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥BE（5分）
（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．（7分）
延长DF交EB于点H，
∵AD＝kAB，AF＝kAE
∴＝k，＝k
∴＝
∵∠BAD＝∠EAF＝90°，
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD∽△EAB（9分）
∴＝k
∴DF＝kBE（10分）
∵△FAD∽△EAB，
∴∠AFD＝∠AEB，
∵∠AFD+∠AFH＝180°，
∴∠AEH+∠AFH＝180°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠EHF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥BE（5分）
（3）不改变．DF＝kBE，β＝180°﹣a．（7分）
证法（一）：延长DF交EB的延长线于点H，
∵AD＝kAB，AF＝kAE
∴＝k，＝k
∴＝
∵∠BAD＝∠EAF＝a
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD∽△EAB（9分）
∴＝k
∴DF＝kBE（10分）
由△FAD∽△EAB得∠AFD＝∠AEB
∵∠AFD+∠AFH＝180°
∴∠AEB+∠AFH＝180°
∵四边形AEHF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠EHF＝180°
∵∠EAF＝α，∠EHF＝β
∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a（12分）
证法（二）：DF＝kBE的证法与证法（一）相同
延长DF分别交EB、AB的延长线于点H、G．由△FAD∽△EAB得∠ADF＝∠ABE
∵∠ABE＝∠GBH，∴∠ADF＝∠GBH，
∵β＝∠BHF＝∠GBH+∠G∴β＝∠ADF+∠G．
在△ADG中，∠BAD+∠ADF+∠G＝180°，∠BAD＝a
∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a（12分）
证法（三）：在平行四边形ABCD中AB∥CD可得到∠ABC+∠C＝180°
∵∠EBA+∠ABC+∠CBH＝180°∴∠C＝∠EBA+∠CBH
在△BHP、△CDP中，由三角形内角和等于180°可得∠C+∠CDP＝∠CBH+∠BHP
∴∠EBA+∠CBH+∠CDP＝∠CBH+∠BHP
∴∠EBA+∠CDP＝∠BHP
由△FAD∽△EAB得∠ADP＝∠EBA
∴∠ADP+∠CDP＝∠BHP即∠ADC＝∠BHP
∵∠BAD+∠ADC＝180°，∠BAD＝a，∠BHP＝β
∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a（12分）
（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分．）
6．解：过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴，
∴AG＝＝＝6，
∴AB＝AG+GB＝6+2＝8（米），故电线杆子的高为8米．
7．解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，
证明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OB＝OD′＝OA＝OC′，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′≌△AOC′，
∴BD′＝AC′，
∴∠OBD′＝∠OAC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，
即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，
综上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，
（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
证明：∵在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OC′＝OA，OD′＝OB，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，
∵AC＝kBD，
∴AC′＝kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，
综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．
8．证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A，∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE，
∴∠ADE＝∠A，
∴∠BCD＝∠ADE．
又∠ADE＝∠FDB，
∴∠FCD＝∠FDB．
∵∠CFD＝∠DFB，
∴△CFD∽△DFB，
∴DF2＝BF?CF．
（2）∵AE?AC＝AG?AD，
∴＝．
∵∠A＝∠A，
∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，
∴△EGD∽△FBD，
∴＝．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴＝，
∴＝，
∴EG?CF＝ED?DF．
9．解：（1）△PQR的边长PQ＝CQ﹣CP＝（CD+DP）﹣CP＝（1+2t）﹣t＝（t+1）cm；
故答案为：（t+1）；
（2）当0≤t＜时，如图1：易得重叠部分为一个小等边三角形其边长为t+1，
则重叠部分的面积y＝（t+1）2；（5分）
当≤t＜时，如图2：易得重叠部分为四边形MNQP，
∵∠B＝30°，且△RPQ为等边三角形，得到∠RPQ＝∠R＝60°，
∴∠PMN＝90°，且PB＝BC﹣CP＝6﹣t，∠RNM＝30°，
∴PM＝（6﹣t），故MR＝PR﹣PM＝（t+1）﹣（6﹣t）＝（3t﹣4），
∴MN＝MR?tan60°＝（3t﹣4），
则重叠部分的面积y＝（t+1）2﹣（3t﹣4）2
＝﹣t2+t﹣
＝﹣（t﹣2）2+；（8分）
当≤t＜6时，如图3：同理可得y＝（6﹣t）2；（11分）
当t≥6时，如图4：可得y＝0．（12分）
10．解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．
（2）∵BE平分∠B，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AFB，
∴AB＝AF．
∴AF＝4，DF＝1．
∵AD∥BC，
∴DF：BC＝DE：EC，
∴DE＝，CE＝．
∵AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BCD＝∠ABC．
∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠CBG＝∠BCG，
∴BG＝CG．
设BG＝CG＝x，则由△FDE∽△CGE，得
DF：CG＝DE：GE，
∴GE＝x．
又由△CGE∽△BCE，得
EC2＝EG?EB，
即＝x?（x+x），
∴x＝，
即BG＝．
（3）①连接AP，当BP＝AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP＝，
即BP＞AP时，点A在⊙P内．
∴当＜BP≤时，点A在⊙P内．
②根据①求得BE＝，
∴BP＜BE，即BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外
∴当＜BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外．
常考题专练（四）
1．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．
2．阅读下面的短文，并回答下列问题
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是
A、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于
；
②相似体表面积的比等于
；
③相似体体积的比等于
．
（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．
3．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF．
（2）若AE：EB＝1：2，求DE：EF的比值．
4．已知，如图△ABC与△ADE中，D在BC上，∠1＝∠2＝∠3
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AB＝4，AD＝2，AC＝3，求AE的长．
5．如图所示，
（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；
（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD＝kAB，AF＝kAE，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；
（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝a，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．
6．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
7．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE?AC＝AG?AD，求证：EG?CF＝ED?DF．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，∠ABC＝30°．D是CB上一点，DC＝1cm．P、Q是直线CB上的两个动点，点P从C点出发，以1cm/s的速度沿直线CB向右运动，同时，点Q从D点出发，以2cm/s的速度沿直线CB向右运动，以PQ为一边在CB的上方作等边三角形PQR，下图是其运动过程中的某一位置．设运动的时间是t（s）．
（1）△PQR的边长是
cm（用含有t的代数式表示）；
（2）若等边△PQR与△ABC重叠部分的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
10．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，BC＝5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．
（1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）；
（2）在（1）的条件下求BG的长；
（3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外．
参考答案
1．解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴＝，即＝，
解得OB＝h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴＝，＝②，
把①代入②得，＝，
解得h＝9（米）．
答：路灯离地面的高度是9米．
2．解：（1）A
（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方
（3）因为同一种鱼的密度一样，所以它们的质量比等于体积比
设这两种鱼的质量分别为m、M，则有
而它们的价格比为15：10＝1.5，∴买15元一条的鱼更合算．
3．（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠FBE＝90°，
∴∠ADE+∠DEA＝90°，
又∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB＝90°，
∴∠ADE＝∠FEB，
∴△ADE∽△BEF．
（2）解：∵AE：EB＝1：2，
∴EB：AB＝2：3，
∵AD＝AB，
∴EB：AD＝2：3，
∵△ADE∽△BEF，
∴DE：EF＝AD：EB＝3：2．
4．（1）证明：∵△ABC与△ADE中，D在BC上，∠2＝∠3，
∴∠E＝∠C，
∵∠DAE＝∠DAC+∠2，∠BAC＝∠DAC+∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠1＝∠3，
∴∠B＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE（已证）；
∴＝，
∵AB＝4，AD＝2，AC＝3，
∴＝，
∴AE＝1.5．
答：AE的长为1.5．
5．解：（1）DF与BE互相垂直且相等．
证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G（1分）
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD＝AB，AF＝AE，
∠BAD＝∠EAF＝90°
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD≌△EAB（2分）
∴∠AFD＝∠AEB，DF＝BE（3分）
∵∠AFD+∠AFG＝180°，
∴∠AEG+∠AFG＝180°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥BE（5分）
（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．（7分）
延长DF交EB于点H，
∵AD＝kAB，AF＝kAE
∴＝k，＝k
∴＝
∵∠BAD＝∠EAF＝90°，
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD∽△EAB（9分）
∴＝k
∴DF＝kBE（10分）
∵△FAD∽△EAB，
∴∠AFD＝∠AEB，
∵∠AFD+∠AFH＝180°，
∴∠AEH+∠AFH＝180°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠EHF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥BE（5分）
（3）不改变．DF＝kBE，β＝180°﹣a．（7分）
证法（一）：延长DF交EB的延长线于点H，
∵AD＝kAB，AF＝kAE
∴＝k，＝k
∴＝
∵∠BAD＝∠EAF＝a
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD∽△EAB（9分）
∴＝k
∴DF＝kBE（10分）
由△FAD∽△EAB得∠AFD＝∠AEB
∵∠AFD+∠AFH＝180°
∴∠AEB+∠AFH＝180°
∵四边形AEHF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠EHF＝180°
∵∠EAF＝α，∠EHF＝β
∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a（12分）
证法（二）：DF＝kBE的证法与证法（一）相同
延长DF分别交EB、AB的延长线于点H、G．由△FAD∽△EAB得∠ADF＝∠ABE
∵∠ABE＝∠GBH，∴∠ADF＝∠GBH，
∵β＝∠BHF＝∠GBH+∠G∴β＝∠ADF+∠G．
在△ADG中，∠BAD+∠ADF+∠G＝180°，∠BAD＝a
∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a（12分）
证法（三）：在平行四边形ABCD中AB∥CD可得到∠ABC+∠C＝180°
∵∠EBA+∠ABC+∠CBH＝180°∴∠C＝∠EBA+∠CBH
在△BHP、△CDP中，由三角形内角和等于180°可得∠C+∠CDP＝∠CBH+∠BHP
∴∠EBA+∠CBH+∠CDP＝∠CBH+∠BHP
∴∠EBA+∠CDP＝∠BHP
由△FAD∽△EAB得∠ADP＝∠EBA
∴∠ADP+∠CDP＝∠BHP即∠ADC＝∠BHP
∵∠BAD+∠ADC＝180°，∠BAD＝a，∠BHP＝β
∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a（12分）
（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分．）
6．解：过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴，
∴AG＝＝＝6，
∴AB＝AG+GB＝6+2＝8（米），故电线杆子的高为8米．
7．解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，
证明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OB＝OD′＝OA＝OC′，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′≌△AOC′，
∴BD′＝AC′，
∴∠OBD′＝∠OAC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，
即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，
综上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，
（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
证明：∵在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OC′＝OA，OD′＝OB，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，
∵AC＝kBD，
∴AC′＝kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，
综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．
8．证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A，∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE，
∴∠ADE＝∠A，
∴∠BCD＝∠ADE．
又∠ADE＝∠FDB，
∴∠FCD＝∠FDB．
∵∠CFD＝∠DFB，
∴△CFD∽△DFB，
∴DF2＝BF?CF．
（2）∵AE?AC＝AG?AD，
∴＝．
∵∠A＝∠A，
∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，
∴△EGD∽△FBD，
∴＝．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴＝，
∴＝，
∴EG?CF＝ED?DF．
9．解：（1）△PQR的边长PQ＝CQ﹣CP＝（CD+DP）﹣CP＝（1+2t）﹣t＝（t+1）cm；
故答案为：（t+1）；
（2）当0≤t＜时，如图1：易得重叠部分为一个小等边三角形其边长为t+1，
则重叠部分的面积y＝（t+1）2；（5分）
当≤t＜时，如图2：易得重叠部分为四边形MNQP，
∵∠B＝30°，且△RPQ为等边三角形，得到∠RPQ＝∠R＝60°，
∴∠PMN＝90°，且PB＝BC﹣CP＝6﹣t，∠RNM＝30°，
∴PM＝（6﹣t），故MR＝PR﹣PM＝（t+1）﹣（6﹣t）＝（3t﹣4），
∴MN＝MR?tan60°＝（3t﹣4），
则重叠部分的面积y＝（t+1）2﹣（3t﹣4）2
＝﹣t2+t﹣
＝﹣（t﹣2）2+；（8分）
当≤t＜6时，如图3：同理可得y＝（6﹣t）2；（11分）
当t≥6时，如图4：可得y＝0．（12分）
10．解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．
（2）∵BE平分∠B，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AFB，
∴AB＝AF．
∴AF＝4，DF＝1．
∵AD∥BC，
∴DF：BC＝DE：EC，
∴DE＝，CE＝．
∵AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BCD＝∠ABC．
∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠CBG＝∠BCG，
∴BG＝CG．
设BG＝CG＝x，则由△FDE∽△CGE，得
DF：CG＝DE：GE，
∴GE＝x．
又由△CGE∽△BCE，得
EC2＝EG?EB，
即＝x?（x+x），
∴x＝，
即BG＝．
（3）①连接AP，当BP＝AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP＝，
即BP＞AP时，点A在⊙P内．
∴当＜BP≤时，点A在⊙P内．
②根据①求得BE＝，
∴BP＜BE，即BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外
∴当＜BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外．