2020-2021学年苏科版数学八年级下册第9章《中心对称图形—平行四边形》常考题专练（五）（Word版 含解析）

八年级下册第9章《中心对称图形—平行四边形》
常考题专练（五）
1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为　 　°；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在∠BOC的内部，则∠BON﹣∠COM＝　 　°；
（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O的运动时间为　 　秒，简要说明理由．
2．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
4．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
5．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．
6．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
7．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
8．如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．△ABC的三个顶点均在小方格的顶点上．
（1）画出△ABC关于O点的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1沿直线l向上平移5个单位得到的△A2B2C2；
（3）要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向至少旋转的度数为　 　．
9．正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．
（1）已知点F在线段BC上
①若AB＝BE，求∠DAE度数；
②求证：CE＝EF
（2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长．
10．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
参考答案
1．解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°．
故填：90；
（2）如图3，∠AOC：∠BOC＝2：1，
∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°，
∵∠BON＝90°﹣∠BOM，∠COM＝60°﹣∠BOM，
∴∠BON﹣∠COM＝90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM＝30°，
故填：30；
（3）（24n+16）（n是整数）秒．理由如下：
如图4．∵点O为直线AB上一点，∠AOC：∠BOC＝2：1，
∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°．
∵OM恰为∠BOC的平分线，
∴∠COM′＝30°．
∴∠AOM+∠AOC+∠COM′＝240°．
∵三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，
∴三角板绕点O的运动最短时间为＝16（秒）．
∴三角板绕点O的运动时间为（24n+16）（n是整数）秒．
故填：（24n+16）．
2．（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠ABE＝90°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．
（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM+DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2，
∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得，x＝6或﹣1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．
3．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
4．（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB+∠DBC＝90°．
∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．
∴∠ECB＝∠CDB．
∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，
∴∠CFB＝∠BCF
∴BF＝BC
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝＝5．
又∵BD?CE＝BC?DC，
∴CE＝．
∴BE＝．
∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．
∴CF＝cm．
6．（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵DE＝BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
7．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
8．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，A2B2C2即为所求；
（3）由题可得，要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向至少旋转的度数为90°．
故答案为：90°．
9．解：（1）①∵ABCD为正方形，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝BE，
∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．
∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°
②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
（2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴＝．
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝．
如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝3，
∴CN＝，
∴EN＝BN＝，
∴DE＝．
综上所述，ED的长为或
10．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；
（2）BP＝．证明如下：
连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
设∠PBC＝α，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
∴CO＝BO＝，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2 α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2＝EC2，
∴EC＝OC＝，
即BP＝，
∴BP＝．