2020-2021学年苏科版九年级下册数学第5章 《二次函数》 实际应用常考题强化练习（五）（Word版 含解析）

苏科版九年级下册数学第5章 《二次函数》
实际应用常考题强化练习（五）
1．某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）
（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？
2．“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元．“五一”期间，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元，请回答：
（1）降价后每件商品盈利　 　元，商场日销售量　 　件（用含x的代数式表示）；
（2）求每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大日盈利是多少元？
3．网络销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在某网络平台上进行直播销售防疫包，已知防疫包的成本价格为6元/个，每日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元，设公司销售防疫包的日获利为w（元）．（日获利＝日销售额﹣成本）
x（元/个） 7 8 9
y（个） 4300 4200 4100
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种防疫包的日获利w最大？最大利润为多少元？
4．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为多少？
5．春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？
6．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
7．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是300元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是500元/台时，可售出300台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于400元/台，代理销售商每月要完成不低于550台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
8．某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：
销售量p（件） p＝50﹣x
销售单价q（元/件） 当1≤x≤20时，q＝30+x
当21≤x≤40时，q＝20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店m（m≥2）元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，求m的取值范围．
9．在精准对口扶贫活动中，甲单位将经营状况良好的某种专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款还没有偿还的乙户，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙户的一家人每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从甲单位提供的相关资料中可知这种消费品的进价是每件14元；月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的关系如图所示；维持的正常运转每月需工资外的各种开支2000元．
（1）写出月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的函数关系式．
（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除一家人最低生活费后的月利润余额最大？
（3）乙户依靠该店，最早可望在多少个月内脱贫？
10．无锡市灵山胜境公司厂生产一种新的大佛纪念品，每件纪念品制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．
（1）写出公司每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，公司每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据工商部门规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元．如果公司要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要多少万元？
参考答案
1．解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800
∵1440x﹣800≥2512，
∴x≥2.3
∵x取整数，
∴x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元．
（2）由题意得：
y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800
即y＝﹣120x2+2040x﹣800
（3）当x≤5时，停车1440辆次，最大日净收入y＝1440×5﹣800＝6400（元）
当x＞5时，
y＝﹣120x2+2040x﹣800
＝﹣120（x2﹣17x）﹣800
＝﹣120（x﹣）2+7870
∴当x＝时，y有最大值．但x只能取整数，
∴x取8或9．
显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y＝﹣120×+7870＝7840（元）
由上得，每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
2．解：
（1）∵未降价前每件盈利20元，
∴降价x元后每件商品盈利（20﹣x）元，
∵每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件，
∴降价x元后，商场日销售量为（100+10x）件，
故答案为：（20﹣x）；（100+10x）；
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利为y元，
根据题意得：y＝（ 20﹣x ）（ 100+10x ）
＝﹣10x2+100x+2000
＝﹣10（ x﹣5 ）2+2250 （0≤x≤20），
∴当x＝5时，y最大＝2250，
答：每件商品降价5元时，商场日盈利可达到最大，最大日盈利是2250元．
3．解：（1）设y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得，
∴y＝﹣100x+5000（6≤x≤30）；
（2）w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵﹣100＜0，
∴当x＝28时，w取得最大值，最大值为48400，
答：当销售单价定为28元时，销售这种防疫包的日获利w最大，最大利润为48400元．
4．解：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
5．解：（1）根据题意，得y＝（200﹣150﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+400x+5000；
（2）y＝﹣10x2+400x+5000
＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝20时，y有最大值9000，
销售单价为200﹣20＝180（元），
答：该服装的销售单价为180元时，月销售利润最大，最大的月销售利润是9000元．
6．解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8，则﹣（x﹣6）2+10＝8，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2，
则x1﹣x2＝4，
所以两排灯的水平距离最小是4m．
7．解：（1）由题意可得，
y＝300+×50＝﹣5x+2800，
供货商规定这种空气净化器售价不能低于400元/台，代理销售商每月要完成不低于550台的销售任务，
∴﹣5x+2800≥550，得x≤450，
∴400≤x≤450，
即月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式是y＝﹣5x+2800（400≤x≤450）；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣300）（﹣5x+2800）＝﹣5x2+4300x﹣840000＝﹣5（x﹣430）2+84500，
∵400≤x≤450，
∴当x＝430时，w取得最大值，此时w＝84500，
答：当售价x（元/台）定为430元时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大，最大利润是84500元．
8．解：（1）当1≤x≤20时，30+x＝35，解得x＝10
当21≤x≤40时，20+＝35，解得x＝35
（2）当1≤x≤20时，w＝（30+﹣20）（50﹣x）＝﹣（x﹣15）2+612.5，
当x＝15时，w有最大值为612.5
当21≤x≤40时，w＝（20+﹣20）（50﹣x）＝﹣525，
当x＝21时，w有最大值为725
∵612.5＜725
∴第21天时获得最大利润，最大利润为725
（3）W＝x2+15x+500+m（50﹣x）＝x2+（15﹣m）x+500+50m，
∵前10天每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，
∴对称轴为x＝﹣＝15﹣m＞9.5，解得：m＜
∴2≤m＜．
9．（1）由图象可知，月销售量Q（百件）与销售单价P（元）是一次函数关系，设Q＝Px+b，
则代入（20，10）（30，5），可得，
解得：P＝﹣，b＝20，
∴月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的函数关系式为Q＝﹣P+20；
（2）设月利润为W，则有W＝100 Q（P﹣14）﹣（2000+3600）
＝100（﹣P+20）（x﹣14）﹣（2000+3600）
＝﹣50P2+2700P﹣33600，
当P＝﹣＝27时，W有最大值；
∴当销售单价为27元时，月利润余额最大；
（3）设x年内可脱贫，由（2）知当P＝27时，W有最大值为2850，
当月利润为2850元时，需要2850×12x≥50000+58000，
解得：x≥3，
3年＝37月，
∴乙户依靠该店，最早可望在38月内脱贫．
10．解：（1）w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）将w＝﹣2x2+136x﹣1800配方，得w＝﹣2（x﹣34）2+512（x＞18），
答：当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）由w＝350，得350＝﹣2x2+136x﹣1800
解这个方程得x1＝25，x2＝43，即销售单价定为25元或43元，
结合函数w＝﹣2x2+136x﹣1800的图象可知，
当25≤x≤43时w≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y＝﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∵x最大取32，
∴当x＝32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）＝648（万元）
答：每月最低制造成本为648万元．