2020-2021学年苏科版数学八年级下册第9章《中心对称图形—平行四边形》常考题专练（四）（Word版 含解析）

八年级下册第9章《中心对称图形—平行四边形》
常考题专练（四）
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．
（1）求证：四边形CDEF为菱形；
（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD＝，求AD的长．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长．
3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BC，点E是BC延长线上一点，，连接DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形；
（2）连接OE，如果BD＝10，求OE的长．
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝2，求四边形ADOE的面积．
5．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（Ⅰ）求∠ODC的度数；
（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．
6．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为　
　；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为　
　．（用含m，n的式子表示）
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
8．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG＝CH，BE＝DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EG＝EH，AB＝8，BC＝4．求AE的长．
9．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E为AB中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动，设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
10．如图，矩形ABCD中∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）当∠ABE的度数是　
　时，四边形BEDF是菱形．
参考答案
1．证明：（1）∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF＝AB，EF∥AB，CF＝BC，AE＝CE
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF，
∵AB＝BC＝2CD
∴EF＝CF＝CD，且AB∥CD∥EF，
∴四边形DEFC是平行四边形，且EF＝CF
∴四边形CDEF为菱形；
（2）如图，DF与EC交于点G
∵四边形CDEF为菱形，DF＝2，
∴DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC，
∴EG＝GC＝＝
∴AE＝CE＝2EG＝
∴AG＝AE+EG＝4
∴AD＝＝
2．证明：（1）∵点E为CD中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．
在Rt△FCG中，CF＝6，
∴，．
∵DF＝BC＝4，
∴DG＝1．
在Rt△DCG中，CD＝＝2
3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵对角线AC，BD交于点O，
∴点O是BD的中点，
∵四边形ACED是矩形，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝BD，
∴OE＝5，
4．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO．
∵四边形ADOE是平行四边形，∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE．
∴AE∥BO，AE＝BO，∴四边形AOBE是平行四边形．
∵AD⊥AB，AD∥OE，
∴AB⊥OE．
∴四边形AOBE是菱形；
（2）设AB与EO交点为M．
∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO．
∵四边形AOBE是菱形，∴∠EAO＝2∠BAO．
∵∠EAO+∠DCO＝180°，
∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°．
又AM＝AB＝1，∴EM＝．
∴EO＝2，∴△AEO面积为×2×1＝，
∴四边形ADOE面积＝2．
5．解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC＝60°；
（Ⅱ）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD＝OC＝3，
∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝．
6．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，1）；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣n，m）．
故答案为（﹣3，1），（﹣n，m）．
7．（1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AB＝AC＝30，
由题意得，CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，
解得，t＝，
当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），
解得，t＝12，
综上所述，当t＝或12时，△DEF为直角三角形．
8．解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH＝∠EAG，
又∵CD＝AB，BE＝DF，
∴CF＝AE，
又∵CH＝AG，
∴△AEG≌△CFH，
∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，
∴∠FHG＝∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图，连接EF，AF，
∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG＝CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AE，
设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5．
9．解：设点Q的运动速度为vcm/s，则
BP＝2t，CP＝6﹣2t，BE＝2，CQ＝vt．
由题可分两种情况：
（i）△BPE≌△CPQ，则
BP＝CP，BE＝CQ，
∴2t＝6﹣2t，2＝vt，
∴t＝，v＝；…（5分）
（ii）△BPE≌△CQP，则
BP＝CQ，BE＝CP，
∴2t＝vt，2＝6﹣2t．
∴t＝2，v＝2．…（10分）
综上所述，t的值为秒时，Q点的速度为cm/s；或t的值为2秒，Q点的速度为2
cm/s．…（11分）
10．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴EB＝ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形，
故答案为：30°．