2020-2021学年人教版九年级数学下册27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似同步练习（word版含答案）

27.2　相似三角形
27.2.1　相似三角形的判定
第4课时
两角分别相等的两个三角形相似
1．下列各组条件，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　）
A．∠A＝∠A′∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝12°，∠B′＝78°
C．∠A＝∠B，∠B′＝∠A′
D．∠A+∠B＝∠A′+∠B′，∠A﹣∠B＝∠A′﹣∠B′
2．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4
B．6
C．4
D．4
3．已知：如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
5．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（　　）
A．∠A＝65°，∠D＝25°
B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16
D．AB＝10，AC＝8，DE＝35，EF＝21
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则图中相似的三角形有（　　）
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
7．如图，已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B，D位于AC的两侧，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ACD∽△ABC，CD可以等于（　　）
A．
B．
C．
D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；在Rt△A′B′C′中，∠C1＝90°，A′B′＝15，B′C′＝12．试判断这两个三角形是否相似．
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有　
　个．
12．已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
13．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，并请说明理由．
参考答案与试题解析
1．解：A、若∠A＝∠A′∠B＝∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′；
B、∠C＝∠C′＝90°，∠A＝12°，∠B′＝78°，则∠A′＝12°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则可判断△ABC∽△A′B′C′；
C、若∠A＝∠B，∠B′＝∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似；
D、若∠A+∠B＝∠A′+∠B′，∠A﹣∠B＝∠A′﹣∠B′，则∠A＝∠A′∠B＝∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′．
故选：C．
2．解：∵BC＝8，
∴CD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴AC2＝CD?BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：C．
3．证明：∵∠ADC＝∠2+∠ADE＝∠B+∠1，∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠1＝∠3，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE．
4．证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD．
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABD＝40°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
5．解：A、相似：∵∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，∵∠D＝25°，∴∠B＝∠D，又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；
B、相似：∵AC＝3，BC＝4，DF＝6，EF＝8，∴，则，又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；
C、相似∵AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16，∴，则，又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；
D、∵AB＝10，BC＝8，DE＝35，EF＝21，∴，∴△ABC和△DEF不相似；
故选：D．
6．解：∵CD⊥AB，
∴∠3＝∠4＝90°，
∴∠2+∠A＝90°，∠1+∠B＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠ACB＝∠3＝∠4．
∴∠1＝∠A，∠2＝∠B．
∴△ADC∽△CDB，△CDB∽△ACB，△ADC∽△ACB．
∴图中相似的三角形有3对．
故选：B．
7．解：∵△ACD∽△ABC，
∴，
∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴，
则DC．
故选：C．
8．解：相似，证明如下：
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝4，
∴，，
∴，且∠C＝∠C′，
∴△ABC∽△A′B′C′．
9．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选：C．
10．解：A、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
B、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意．
D、可得∠BDE＝∠ACB，∠B＝∠B，剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意．
故选：C．
11．解：设AP为x，
∵AB＝10，
∴PB＝10﹣x，
①AD和PB是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴，
即，
整理得，x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8，
②AD和BC是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴，
即，
解得x＝5，
所以，当AP＝2、5、8时，△APD与△BPC相似，
满足条件的点P有3个．
故答案为：3．
12．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
13．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠NMC＝90°，
而∠AMB+∠MAB＝90°，
∴∠MBA＝∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）解：当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN．
理由如下：，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝4，BM＝MC＝2，
∴AM＝2，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴2，
∴MNAM，
∵，，
∴，
而∠ABM＝∠AMN＝90°，
∴Rt△ABM∽Rt△AMN．