27.3 第2课时 用坐标描述位似变换-2020-2021学年人教版九年级数学下册同步练习 (1)（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 27.3 第2课时 用坐标描述位似变换-2020-2021学年人教版九年级数学下册同步练习 (1)（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 484.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-22 10:41:51 | ||
图片预览
文档简介
27.3 位 似
第2课时 用坐标描述位似变换
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（4，2）
B．（1，1）
C．（﹣4，2）
D．（4，﹣2）
2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，则点B对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣8）
B．（﹣8，﹣4）
C．（﹣6，﹣4）
D．（8，4）
3．如图，在平面直角坐标系中有两点C（2，1）、D（2，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，则点A的坐标为（ ）
A．（6，0）
B．（3，6）
C．（6，3）
D．（4，2）
4．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标为（ ）
A．（4，3）
B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（4，3）
D．（4，3）或（﹣4，﹣3）
5．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，3），B（﹣6，0），以原点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A′B′，则A′B′的中点坐标是
．
6．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则（ ）
A．将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘2，纵坐标乘，得到的鱼与原来的鱼位似
7．如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
A．（2，2），2
B．（0，0），2
C．（2，2），
D．（0，0），
8．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，4）、C（﹣2，1），将△ABC以原点O为位似中心扩大后得到△A′B′C′．若C′点的坐标为（4，﹣2），则A′点坐标为（ ）
A．（﹣6，4）
B．（6，﹣6）
C．（3，﹣2）
D．（6，﹣4）
9．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点C1的坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（1，1）
C．（﹣3，2）
D．（0，0）
10．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A．（2m，2n）
B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（m，n）
D．（m，n）或（m，n）
11．如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1）
B．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）
C．（2，﹣1）
D．（8，﹣4）
12．如图，A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1）．将线段AB以点O为位似中心放大，满足条件：，得到线段A′B′．点P为线段A′B′上一点，若它的坐标为（a，b），则它在线段AB上的对应点的坐标为（ ）
A．（a，b）
B．（a，b）
C．（a，b）
D．（a，b）
13．已知，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边长作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边长作正方形A4B4C4A5…，若OA1＝2，则正方形AnBn?nAn+1的面积为（ ）
A．2n
B．2n
C．2n+1
D．4n
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DOE是位似图形．若A（0，3）、B（﹣2，
0）、C（1，0）、E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心是点M，则M点的坐标为
．
15．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为
．
16．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
17．如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．
（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．
（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为
．
18．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么?ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
19．如图1，△ABC为等边三角形，△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，点D在AB上，点E在AC上，点E在AC上．
（1）证明：DE∥BC．
（2）将△ADE绕点A旋转α至△AMN的位置，如图2，当AM⊥BC时，请你判断AC与MN的位置关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
1．解：∵△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，
∴点A的对应点A'的坐标为：[﹣8×（），4×（）]即（4，﹣2）．
故选：D．
2．解：∵△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，
∴点B对应点B′的坐标为：[4×（﹣2），2×（﹣2）]即（﹣8，﹣4）．
故选：B．
3．解：∵以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，点C的坐标为（2，1），
∴点A的坐标为（2×3，1×3），即（6，3），
故选：C．
4．解：∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，
∴矩形OA1B1C1O与矩形OABC的位似比为1：，
∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为为（8，6）或（﹣8，﹣6），即（4，3）或（4，3），
故选：D．
5．解：∵点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣6，0），
∴AB的中点坐标为（，），
∵以原点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A′B′，
∴A′B′的中点坐标是（2，2）或（2，2），即（﹣9，3）或（9，﹣3），
故答案为：（﹣9，3）或（9，﹣3）．
6．解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．
7．解：连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：FD＝8：4＝2，
故选：A．
8．解：∵△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，4）、C（﹣2，1），将△ABC以原点O为位似中心扩大后得到△A′B′C′．C′点的坐标为（4，﹣2），
∴对应点的坐标乘以﹣2，故A′点坐标为：（6，﹣4）．
故选：D．
9．解：如图所示：点C1的坐标是：（1，0）．
故选：A．
10．解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），
故选：B．
11．解：以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，
则点E的对应点E′的坐标为（﹣4，2）或[﹣4×（），2×（）]，
即（2，﹣1）或（﹣2，1），
故选：A．
12．解：∵，
∴，
即，
∵P（a，b），
∴点P在线段AB上的对应点的坐标为（a，b）．
故选：A．
13．解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵OA1＝2，
∴OA2＝4，
∴A1A2＝2，
∴正方形A1B1C1A2的面积＝2×2＝4，
∵OA1＝A1A2＝A1B1＝2，
∴∠B1OA1＝45°，
∴OA2＝A2B2＝4，
∴正方形A2B2C2A3的面积＝4×4＝42，
∵A3B3⊥x轴，
∴OA3＝A3B3＝8，
∴正方形A3B3C3A4的面积＝8×8＝64＝43，
…
∴正方形AnBn?nAn+1的面积＝4n，
故选：D．
14．解：过点D作DH⊥OE于点H，
由题意可得：BC＝3，OE＝6，△ABC∽△DOE，
则位似比为：3：6＝1：2，
故OH＝2OB＝4，DH＝2OA＝6，
则D点的坐标为：（4，6），
由MO：MH＝1：2，
MH＝MO+4，
故MO：（MO+4）＝1：2，
解得：MO＝4，
则M点坐标为：（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
15．解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（，）或（，）．
故答案为：（，）或（，）．
16．解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，
∴∠BDC＝∠B'EC＝90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE．
∴，
又∵，
∴，
又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（﹣1，0），
∴CE＝3，
∴．
∴，
∴点B的横坐标为．
17．解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；
（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．
故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．
18．解：是，
理由：∵E、F分别是OA、OB的中点，
∴FEAB，FE∥AB，
G、H分别是OC、OD的中点，
∴HGCD，HG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴EF＝HG，FE∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵FE∥AB，
∴∠OEF＝∠OAB，
同理∠OEH＝∠OAD，
∴∠HEF＝∠DAB，
同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，，
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD，
又∵各组对边对应点得连线相交于点O，
∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心．
19．（1）证明：∵△ADE是△ABC的位似图形，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）AC⊥MN．
证明：如图2，延长AM交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，又∠AMN＝60°，
∴∠AFM＝90°，即AC⊥MN．
第2课时 用坐标描述位似变换
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（4，2）
B．（1，1）
C．（﹣4，2）
D．（4，﹣2）
2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，则点B对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣8）
B．（﹣8，﹣4）
C．（﹣6，﹣4）
D．（8，4）
3．如图，在平面直角坐标系中有两点C（2，1）、D（2，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，则点A的坐标为（ ）
A．（6，0）
B．（3，6）
C．（6，3）
D．（4，2）
4．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标为（ ）
A．（4，3）
B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（4，3）
D．（4，3）或（﹣4，﹣3）
5．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，3），B（﹣6，0），以原点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A′B′，则A′B′的中点坐标是
．
6．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则（ ）
A．将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘2，纵坐标乘，得到的鱼与原来的鱼位似
7．如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
A．（2，2），2
B．（0，0），2
C．（2，2），
D．（0，0），
8．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，4）、C（﹣2，1），将△ABC以原点O为位似中心扩大后得到△A′B′C′．若C′点的坐标为（4，﹣2），则A′点坐标为（ ）
A．（﹣6，4）
B．（6，﹣6）
C．（3，﹣2）
D．（6，﹣4）
9．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点C1的坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（1，1）
C．（﹣3，2）
D．（0，0）
10．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A．（2m，2n）
B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（m，n）
D．（m，n）或（m，n）
11．如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1）
B．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）
C．（2，﹣1）
D．（8，﹣4）
12．如图，A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1）．将线段AB以点O为位似中心放大，满足条件：，得到线段A′B′．点P为线段A′B′上一点，若它的坐标为（a，b），则它在线段AB上的对应点的坐标为（ ）
A．（a，b）
B．（a，b）
C．（a，b）
D．（a，b）
13．已知，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边长作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边长作正方形A4B4C4A5…，若OA1＝2，则正方形AnBn?nAn+1的面积为（ ）
A．2n
B．2n
C．2n+1
D．4n
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DOE是位似图形．若A（0，3）、B（﹣2，
0）、C（1，0）、E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心是点M，则M点的坐标为
．
15．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为
．
16．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
17．如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．
（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．
（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为
．
18．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么?ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
19．如图1，△ABC为等边三角形，△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，点D在AB上，点E在AC上，点E在AC上．
（1）证明：DE∥BC．
（2）将△ADE绕点A旋转α至△AMN的位置，如图2，当AM⊥BC时，请你判断AC与MN的位置关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
1．解：∵△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，
∴点A的对应点A'的坐标为：[﹣8×（），4×（）]即（4，﹣2）．
故选：D．
2．解：∵△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，
∴点B对应点B′的坐标为：[4×（﹣2），2×（﹣2）]即（﹣8，﹣4）．
故选：B．
3．解：∵以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，点C的坐标为（2，1），
∴点A的坐标为（2×3，1×3），即（6，3），
故选：C．
4．解：∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，
∴矩形OA1B1C1O与矩形OABC的位似比为1：，
∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为为（8，6）或（﹣8，﹣6），即（4，3）或（4，3），
故选：D．
5．解：∵点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣6，0），
∴AB的中点坐标为（，），
∵以原点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A′B′，
∴A′B′的中点坐标是（2，2）或（2，2），即（﹣9，3）或（9，﹣3），
故答案为：（﹣9，3）或（9，﹣3）．
6．解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．
7．解：连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：FD＝8：4＝2，
故选：A．
8．解：∵△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，4）、C（﹣2，1），将△ABC以原点O为位似中心扩大后得到△A′B′C′．C′点的坐标为（4，﹣2），
∴对应点的坐标乘以﹣2，故A′点坐标为：（6，﹣4）．
故选：D．
9．解：如图所示：点C1的坐标是：（1，0）．
故选：A．
10．解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），
故选：B．
11．解：以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，
则点E的对应点E′的坐标为（﹣4，2）或[﹣4×（），2×（）]，
即（2，﹣1）或（﹣2，1），
故选：A．
12．解：∵，
∴，
即，
∵P（a，b），
∴点P在线段AB上的对应点的坐标为（a，b）．
故选：A．
13．解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵OA1＝2，
∴OA2＝4，
∴A1A2＝2，
∴正方形A1B1C1A2的面积＝2×2＝4，
∵OA1＝A1A2＝A1B1＝2，
∴∠B1OA1＝45°，
∴OA2＝A2B2＝4，
∴正方形A2B2C2A3的面积＝4×4＝42，
∵A3B3⊥x轴，
∴OA3＝A3B3＝8，
∴正方形A3B3C3A4的面积＝8×8＝64＝43，
…
∴正方形AnBn?nAn+1的面积＝4n，
故选：D．
14．解：过点D作DH⊥OE于点H，
由题意可得：BC＝3，OE＝6，△ABC∽△DOE，
则位似比为：3：6＝1：2，
故OH＝2OB＝4，DH＝2OA＝6，
则D点的坐标为：（4，6），
由MO：MH＝1：2，
MH＝MO+4，
故MO：（MO+4）＝1：2，
解得：MO＝4，
则M点坐标为：（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
15．解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（，）或（，）．
故答案为：（，）或（，）．
16．解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，
∴∠BDC＝∠B'EC＝90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE．
∴，
又∵，
∴，
又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（﹣1，0），
∴CE＝3，
∴．
∴，
∴点B的横坐标为．
17．解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；
（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．
故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．
18．解：是，
理由：∵E、F分别是OA、OB的中点，
∴FEAB，FE∥AB，
G、H分别是OC、OD的中点，
∴HGCD，HG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴EF＝HG，FE∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵FE∥AB，
∴∠OEF＝∠OAB，
同理∠OEH＝∠OAD，
∴∠HEF＝∠DAB，
同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，，
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD，
又∵各组对边对应点得连线相交于点O，
∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心．
19．（1）证明：∵△ADE是△ABC的位似图形，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）AC⊥MN．
证明：如图2，延长AM交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，又∠AMN＝60°，
∴∠AFM＝90°，即AC⊥MN．