2021年中考数学二轮复习：角度计算11个经典模型（全国通用）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年中考数学二轮复习：角度计算11个经典模型（全国通用）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-22 20:43:19 | ||
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文档简介
初中数学角度计算中11个经典模型
猪脚模型
图1 图2
【条件】如图1
【结论】∠3=∠1+∠2
【证明】如图2，过拐点作平行线
∠1=∠4，∠5=∠2
∠3=∠4+∠5=∠1+∠2
即∠3=∠1+∠2
如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，即可解答．
【解析】如图，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．
【小结】考查平行线性质，正确作出辅助线，掌握平行线的性质进行推理证明是解题关键.
在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：
证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【解析】证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【小结】考本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接
（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
图1
【解析】（1）如图（1）∵与平行，
∴∠B+∠C=180?；
图2
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；
图3
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180?，∠DAC+∠C=180?，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360?，即∠B+∠A+∠C=360?；
图4
（4）如图（4），设BE与AC相交与D，
∵与平行，∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；
图5
（5）如图（5），设CF与AB相交与D，
∵与平行，∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．
【小结】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．
如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【解析】如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D．
【小结】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
铅笔模型
图1 图2
【条件】如图1
【结论】∠1+∠2+∠3=360°
【证明】如图2，过拐点作平行线
根据同旁内角互补得，∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180°
又∠3=∠4+∠5
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠4+∠5=360°
图3
【推广】如图3，∠1+∠2+∠3+…+∠n = 180°(n-1)【即变异铅笔模型】
综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．
图1 图2
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
【分析】
（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；
（2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可．
【解析】
（1）如图1，过作，
，
，
图1
（2）如图2，过作，过点作设
，，
，
，，
平分，平分，
，
，
平分，
，
，
，，
，，
图2
【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【分析】
（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【解析】
（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．
【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
图1
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A?∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
图2
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，
∴∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH
＝∠FEG?∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【点睛】考查利用平行线性质与角平分线性质求角度综合运用，练掌握相关概念是解题关键.
双垂直模型
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
又∠ECD+∠ACB=90°
∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°
∴∠ACB=∠CED，得证。
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数．
【分析】首先由FD⊥AB于D，根据直角三角形两锐角互余得出∠BED+∠B＝90°，同理，由∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°，然后根据同角的余角相等得出∠A＝∠BED＝55°．
【解析】∵FD⊥AB于D，
∴∠BED+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BED＝55°．
【小结】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较简单．
如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠A的度数．
【分析】利用外角性质可求得∠C，在△ABC中利用三角形内角和定理可求得∠A．
【解析】∵DF⊥BC，∴∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝152°，∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝152°﹣90°＝62°，
∵∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣62°＝56°．
【小结】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为180°是解题的关键．
如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，根据角平分线定义得∠CAF＝∠DAE，由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．
【解析】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．
【小结】考查直角三角形性质，三角形角平分线定义，对顶角的性质，余角性质，难度适中．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？
（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；
（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；
（3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．
【解析】（1）∠ACD＝∠B，理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）△ADE是直角三角形．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴△ADE是直角三角新；
（3）∠A+∠D＝90°．
∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，
∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°．
【小结】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余．
A字模型
图1
【条件】图1中三种情况
【结论】∠1=∠2
【证明】略
图2
【结论】∠1+∠2=∠3+∠4
【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°
∴∠1+∠2=∠3+∠4
图3
【结论】∠1+∠2=180°+∠A
【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A
如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B，根据多边形的内角和公式求出即可．
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C，
∵∠C＝75°，
∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B），
∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和公式，能熟记定理是解此题关键．
如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．
【解析】∵∠A＝40°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠A＝140°．
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．
【小结】此题主要是三角形内角和定理的运用．
我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
Ⅰ．尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
Ⅱ．初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
【解析】（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；
（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A）
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A；即∠P＝90°﹣∠A；
【小结】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
（1）如图1，△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于
A.90° B.135° C.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝50°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ °．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
（4）如图3，若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
【解析】（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；
（2）∠1+∠2＝180°+50°＝230°．
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，即∠1+∠2＝2∠A．
【小结】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
双内角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.
【结论】∠P=90°+∠A.
【证明】∵BP是∠ABC平分线，∴
∵CP是∠ACB平分线，∴
∵∠2+∠3+∠P=180°，∠A+∠B+∠C=∠A+2∠2+2∠3=180°
∴∠2+∠3+∠P=∠A+2∠2+2∠3
∴∠P=∠A+∠2+∠3=∠A+（180°-∠P）
∴∠P=∠A+（180°-∠P）
∴∠P=90°+∠A.
如图，△ABC中，
（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．
（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．
【分析】（1）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠APC的度数．
（2）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，进而得出∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA），再根据∠P＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）进行计算即可．
【解析】（1）∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，
∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA）＝×110°＝55°，∴∠P＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA），
∴∠P＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）
＝90°+∠B．
【小结】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．
（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．
（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可；
【解析】（1）∵BC平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠OBC＝∠ABC＝20°，
∵CO平分∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠OCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣20°﹣30°＝130°．
（2）∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝45°，
∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°．
（3）∵∠A＝m°
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣m°，
∴∠BOC＝90°+m°．
【小结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD．
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BDC的度数；
（2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，依据三角形外角性质，即可得到∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，再根据∠AED﹣∠AFD＝12°，即可得到α的值．
【解析】（1）∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝80°，
又∵∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，
∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°；
（2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，
∵∠BDC＝140°，
∴∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，
∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角，
∴∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，
∴∠AED﹣∠AFD＝∠ACF+∠CDF﹣∠ABE﹣∠BDE＝α﹣（40°﹣α）＝12°，
解得α＝26°，∴∠ACF＝26°．
【小结】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O
（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝a，求∠BOC的度数；
（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；
（2）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣）＝90°+；
（3）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝60°﹣，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣）＝120°+．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出∠OBC+∠OCB是解此题的关键，求解过程类似．
内外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线
【结论】∠P=∠A
【证明】∵BP是∠ABC平分线，∴
∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A
即：2∠1=2∠3+∠A ①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+∠A ②
又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：∠P=∠A
如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．
（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；
（2）直接写出∠A与∠E的数量关系： ．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，根据三角形的外角的性质计算；
（2）仿照（1）的计算过程证明．
【解析】（1）∵CE、BE分别平分∠ACD、∠ABC，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝30°；
（2）由（1）得，∠E＝∠A，
∴∠A＝2∠E
【小结】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB的度数．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠PCD＝∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，然后整理得到∠PCD＝40°+∠ABC，再代入数据计算即可得解．
【解析】在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABC+40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，
即∠CAB＝80°．
【小结】本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出∠PCD＝40°+∠ABC是解题的关键．
如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE
的平分线，且与BD交于点D；
（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝ °；
（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝ °；
（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）
【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；
（2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；
（3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D、∠A的等式，推出∠D＝∠A，即可求得结论．
【解析】（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵∠DCE＝70°，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝70°﹣30°＝40°；
（2）∵∠ABC＝70°，∠A＝80°，
∴∠ACE＝150°
∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∠DCE＝∠ACE＝75°，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝75°﹣35°＝40°；
（3）不变化，
理由：∵∠DCE＝∠DBC+∠D，
∴∠D＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC＝∠A．
【小结】此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出∠D＝∠A．
如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．
（1）若∠A＝50°，则∠D＝ ；
（2）若∠A＝80°，则∠D＝ ；
（3）若∠A＝130°，则∠D＝ ；
（4）若∠D＝36°，则∠A＝ ；
（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．
【分析】先根据角平分线定义得到∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠ABC+∠A，则2∠2＝2∠1+∠A，接着再根据三角形外角性质得∠2＝∠1+∠D，易得∠A＝2∠D，即∠D＝∠A，然后利用此结论分别解决（1）、（2）、（3）（4）（5）．
【解析】如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，
∴2∠2＝2∠1+∠A，
而∠2＝∠1+∠D，
∴2∠2＝2∠1+2∠D，
∴∠A＝2∠D，即∠D＝∠A，
（1）当若∠A＝50°，则∠D＝25°；
（2）若∠A＝80°，则∠D＝40°；
（3）若∠A＝130°，则∠D＝65°．
（4）若∠D＝36°，则∠A＝72°，
（5）综上所述，∠D＝∠A；
【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了三角形外角性质．
双外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
【结论】∠P=90°-∠A.
【证明】∵BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
∴∠2=∠3，∠5=∠6
∠P=180°-∠2-∠5=180°-∠EBC-∠BCF
=180°-（180°-∠1）-（180°-∠4）
=（∠1+∠4）
=（180°-∠A）
=90°-∠A
如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD
与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °； （2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °； （4）请用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
【分析】（1）若∠A＝60°，则有∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，根据角平分线定义求得∠PBC+∠PCB度数，再利用三角形内角和定理即可求得∠P的度数．
（2）（3）和（1）的解题步骤相似．
（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP＝（∠A+∠ABC），∠CBP＝（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．
【解析】（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠BCE，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝120°，∴∠P＝60°．
（2）70°；
（3）40°
（4）∠P＝90°﹣∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，∴∠DBC＝2∠CBP，∠BCE＝2∠BCP
又∵∠DBC＝∠A+∠ACB∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴2∠CBP＝∠A+∠ACB，2∠BCP＝∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∴∠CBP+∠BCP＝90°+∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴∠P＝90°﹣∠A．
【小结】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．
BD、CD分别是△ABC 两个外角∠CBE、∠BCF平分线，求证∠BDC＝90°∠A．
【分析】先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，故∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，根据在△DBC中∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）即可得出结论．
【解析】证明：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，
在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．
【小结】考查三角形内角和定理及外角性质，熟知三角形内角和等于180°是解题关键．
如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，求∠BIC的大小；
（2）若∠A＝96°，试求∠BIC；
（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，求出∠IBC+∠ICB的值，即可解决问题．
（2）先根据∠A＝96°，得出∠1+∠2＝84°，再运用（1）中的方法即可解决问题．
（3）证明思路方法即（2）中的方法．
【解析】（1）如图所示，∵∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，
∴∠DBC＝140°，∠ECB＝144°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3＝∠DBC＝70°，∠4＝∠ECB＝72°，
∴△BCI中，∠I＝180°﹣70°﹣72°＝38°；
（2）∵∠A＝96°，∴∠1+∠2＝84°，∴∠DBC+∠ECB＝276°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×276°＝138°，
∴△BCI中，∠I＝180°﹣138°＝42°；
（3）∠BIC＝90°﹣∠A．
证明：△ABC中，∠1+∠2＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，
∴△BCI中，∠I＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．
【小结】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义的运用；解题的关键是灵活运用三角形内角和为180°．
如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P．
（1）若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数．
（2）若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）
（3）想一想，∠A的大小变化，对∠D+∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．
【分析】（1）通过角的平行线的定义以及三角形的内角和可得出∠CBD+∠BCD＝75°，再利用三角形的内角和为180°即可得出∠BDC的度数，同理可求出∠BPC的度数；
（2）根据（1）的求角过程将30换成m，即可得出结论；
（3）由（2）的结论，将两角相加即可得出结论．
【解析】（1）∵BD，CD是内角平分线，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，∴∠CBD+∠BCD＝75°．
又∵∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝105°．
∵∠CBE+∠BCF＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝210°，BP，CP是∠ABC，∠ACB外角平分线
∴∠CBP+∠BCP＝（∠CBE+∠BCF）＝105°，
∵∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝75°．
（2）根据（1）的求角过程可知：∠BDC＝90°+°，∠BPC＝90°﹣°．
（3）∵∠D+∠P＝90°+°+90°﹣°＝180°为定值，
∴∠A的大小变化，对∠D+∠P的值无影响．
【小结】本题考查了三角形外角性质、三角形内角和定义以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理是关键．
共定点角平分线和高线模型
【条件】△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线
【结论】∠HAD=（∠B-∠C），即共顶点高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半
【证明】∵AD是∠ABC平分线，∴
在△HAD中：
∠HAD=90°-∠1=90°-(∠C+∠DAC）
=90°-(∠C+)
=90°- [∠C+]
=（∠B-∠C）
如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．
【解析】在△ABC中，∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，
∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=×70°=35°，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°．
【小结】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.
【分析】由AD是高易得∠DAC与∠C互余，即可求出∠DAC，由三角形内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABO与∠BAO，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数.
【解析】是的高，
在中，
在中，
、是角平分线，
在中，
【小结】本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键.
在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°．
（1）求∠C的度数．
（2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案．
【解析】（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵∠EAD=15°，
∴∠BAE=50°-15°=35°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=35°，
∴∠BAC=70°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°；
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=β，∴∠BAD=90°-β，
∵∠EAD=α，∴∠BAE=90°-β-α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=90°-β-α，
∴∠BAC=180°-2β-2α，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-（180°-2β-2α）-β=β+2α．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．
如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数.
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABE的度数，二者作差即可得出答案.
【解析】∵是的高，
∴∠ABD=，
∵是的角平分线，
∴∠ABE=，
∴.
【小结】考查直角三角形两锐角互余、角平分线性质，在图形中找出这一数量关系是解题的关键.
8字模型
【条件】AE、BD相交于点C
【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【证明】在三角形ABC种，由内角和定理：∠A+∠B+∠ACB=1810°
在三角形CDE种，由内角和定理：∠D+∠E+∠CDE=1810°
所以∠A+∠B+∠ACB=∠D+∠E+∠CDE
由∠ACB=∠CDE，故有∠A+∠B=∠D+∠E
图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解析】（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
由∠D+∠1+∠2＝∠B+∠3+∠4①
由∠ONC＝∠B+∠4＝∠P+∠2，②
①+②得：
∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1，
∠D+2∠B＝2∠P+∠B，
即2∠P＝∠D+∠B．
【小结】主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识迁移能力．
（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；
（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；
（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．
①若∠B＝32°，∠D＝38°，求∠M的度数；
②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．
【分析】①根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM＝∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；
②根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM＝∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系．
【解析】①根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM＝∠M+∠BCM，
∴∠BAM﹣∠BCM＝∠M﹣∠B，
同理，∠MAD﹣∠MCD＝∠D﹣∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
∴∠M﹣∠B＝∠D﹣∠M，
∴∠M＝（∠B+∠D）＝（32°+38°）＝35°；
②根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM＝∠M+∠BCM，∴∠BAM﹣∠BCM＝∠M﹣∠B，
同理，∠MAD﹣∠MCD＝∠D﹣∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
∴∠M﹣∠B＝∠D﹣∠M，
∴∠M＝（∠B+∠D）．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C．
【解析】
（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．
【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝20°，∠ADC＝26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，猜想∠P的度数为
（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 （用x、y表示∠P）
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，列方程组即可得到结论；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，推出2∠P＝∠B+∠D，即可解决问题；
（4）（5）同法列出方程组即可解决问题．
【解析】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）的结论得：，①+②得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝23°；
（3）如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°；
（4）同法可得：∠P＝x+y；
（5）同法可得：∠P＝．
【小结】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
飞镖模型
图1 图2 图3
【条件】四边形ABPC如图1所示
【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【证明】如图2，∠BPD=∠B+∠BAD，∠CPD=∠C+∠CAD
∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=∠A+∠B+∠C
∴∠BPC=∠A+∠B+∠C
亦可按图3辅助线证明
（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【分析】（1）连接OA，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．
图1
【解析】（1）连接OA，
∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．
图2
【小结】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC度数．
【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据三角形外角性质即可得到∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系；
（2）Ⅰ、由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，再根据∠A＝40°，∠D＝90°，即可得出∠ABD+∠ACD的度数；
Ⅱ、根据（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再根据BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，即可得出∠BDC的度数．
【解析】（1）如图①，连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A；
又∵∠A＝40°，∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，
Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°，
又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝45°，
∴∠BDC＝45°+40°＝85°．
【小结】考查三角形内角和定理以及外角性质，熟知三角形内角和等于180°是解题关键．
在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（1）中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于多少时，我们可以连接CD，利用三角形的内角和则有∠B+∠E＝∠ECD+∠BDC，这样∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和就转化到同一个△ACD中，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
尝试练习：
图（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于 ．
图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于 ．
图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数等于 ．
【分析】仿照材料、根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】如图（2），连接CE，
则有∠A+∠B＝∠AEC+∠BCE，
∴∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠DEA＝180°；
同理
图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【小结】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
【分析】（1）如图1，延长AD交BC于E．利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）∠A﹣∠C＝2∠P，利用三角形的外角的性质可以推出：∠A+∠1＝∠P+∠3，由∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠A+∠2＝∠P+∠4，由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，可得∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C即可解决问题；
（3）∠A+∠C＝2∠P，证明方法类似；
【解析】（1）如图1，延长AD交BC于E．
在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°，
在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°．
（2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下：
如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3，
∴∠A+∠1＝∠P+∠3，
∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠A+∠2＝∠P+∠4，
由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，
∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C，
∴∠A﹣∠C＝2∠P．
（3）∠A+∠C＝2∠P，理由如下：
同（2）理知∠A+∠1＝∠P+∠3，∠C+∠4＝∠P+∠2，
∴∠A+∠C+∠1+∠4＝2∠P+∠2+∠3，
∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3，
∴∠A+∠C＝2∠P．
【小结】考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
筝型
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P
如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在
边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝ ．
（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ ．
（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案；（2）同（1）；（3）根据（1）、（2）的规律即可得出结论．
【解析】（1）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．
（2）∵）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝n°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣n°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣n°）＝2n°，∴∠1+∠2＝2n°；
（3）由（1）、（2）可知，2∠A＝∠1+∠2．
【小结】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．
观察猜想
（1）如图1，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝ °；
若∠A＝55°，则∠1+∠2＝ °；
若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ °．
探索证明：
（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．
拓展应用：
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．
【分析】
（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【解析】（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2）
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，
整理得∠1+∠2＝80°；
同理∠A＝55°，则∠1+∠2＝110°；∠A＝n°，则∠1+∠2＝2n°；
（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×54°
＝117°．
【小结】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．
Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为： ．（不需说明理由）．
【分析】（1）如图1中，连接PC．由∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），由∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α＝50°，即可推出∠1+∠2＝140°．
（2）结论：∠1+∠2＝90°+α．证明方法类似（1）．
（3）由∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+α，由∠C＝90°，即可推出∠1＝90°+∠2+α．
【解析】（1）如图1中，连接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°．
（2）结论：∠1+∠2＝90°+α．
理由如图2中，连接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图3中，
∵∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+α，
∵∠C＝90°，
∴∠1＝90°+∠2+α．
故答案为∠1＝90°+∠2+α．
【小结】本题考查三角形综合题、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是灵活运用三角形的外角的性质，属于中考常考题型．
如图（1），在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝ ；
如图（2），当点A落在△ABC外部时，那么∠2﹣∠1＝ ．
【分析】连接AA'，依据∠1是△AA'E的外角，可得∠1＝∠EAA'+∠EA'A，同理可得，∠2＝∠DAA'+∠DA'A，再依据角的和差关系进行计算即可；当点A落在△ABC外部时，连接AA'，∠2是△AA'E的外角，∠2＝∠EAA'+∠EA'A，同理可得，∠1＝∠DAA'+∠DA'A，再依据角的和差关系进行计算即可．
【解析】如图1，连接AA'，
∵∠1是△AA'E的外角，∴∠1＝∠EAA'+∠EA'A，
同理可得，∠2＝∠DAA'+∠DA'A，由折叠可得，∠EAD＝∠EA'D，
∴∠1+∠2＝∠EAA'+∠EA'A+∠DAA'+∠DA'A＝2∠BAC＝140°；
如图2，连接AA'，
∵∠2是△AA'E的外角，∴∠2＝∠EAA'+∠EA'A，
同理可得，∠1＝∠DAA'+∠DA'A，由折叠可得，∠EAD＝∠EA'D，
∴∠2﹣∠1＝（∠EAA'+∠EA'A）﹣（∠DAA'+∠DA'A）
＝∠EAD+∠DAA'+∠EA'D+∠DA'A﹣∠DAA'﹣∠DA'A
＝∠EAD+∠EA'D
＝2∠BAC
＝140°．
【小结】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称.
猪脚模型
图1 图2
【条件】如图1
【结论】∠3=∠1+∠2
【证明】如图2，过拐点作平行线
∠1=∠4，∠5=∠2
∠3=∠4+∠5=∠1+∠2
即∠3=∠1+∠2
如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，即可解答．
【解析】如图，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．
【小结】考查平行线性质，正确作出辅助线，掌握平行线的性质进行推理证明是解题关键.
在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：
证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【解析】证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【小结】考本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接
（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
图1
【解析】（1）如图（1）∵与平行，
∴∠B+∠C=180?；
图2
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；
图3
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180?，∠DAC+∠C=180?，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360?，即∠B+∠A+∠C=360?；
图4
（4）如图（4），设BE与AC相交与D，
∵与平行，∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；
图5
（5）如图（5），设CF与AB相交与D，
∵与平行，∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．
【小结】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．
如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【解析】如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D．
【小结】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
铅笔模型
图1 图2
【条件】如图1
【结论】∠1+∠2+∠3=360°
【证明】如图2，过拐点作平行线
根据同旁内角互补得，∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180°
又∠3=∠4+∠5
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠4+∠5=360°
图3
【推广】如图3，∠1+∠2+∠3+…+∠n = 180°(n-1)【即变异铅笔模型】
综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．
图1 图2
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
【分析】
（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；
（2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可．
【解析】
（1）如图1，过作，
，
，
图1
（2）如图2，过作，过点作设
，，
，
，，
平分，平分，
，
，
平分，
，
，
，，
，，
图2
【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【分析】
（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【解析】
（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．
【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
图1
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A?∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
图2
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，
∴∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH
＝∠FEG?∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【点睛】考查利用平行线性质与角平分线性质求角度综合运用，练掌握相关概念是解题关键.
双垂直模型
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
又∠ECD+∠ACB=90°
∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°
∴∠ACB=∠CED，得证。
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数．
【分析】首先由FD⊥AB于D，根据直角三角形两锐角互余得出∠BED+∠B＝90°，同理，由∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°，然后根据同角的余角相等得出∠A＝∠BED＝55°．
【解析】∵FD⊥AB于D，
∴∠BED+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BED＝55°．
【小结】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较简单．
如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠A的度数．
【分析】利用外角性质可求得∠C，在△ABC中利用三角形内角和定理可求得∠A．
【解析】∵DF⊥BC，∴∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝152°，∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝152°﹣90°＝62°，
∵∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣62°＝56°．
【小结】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为180°是解题的关键．
如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，根据角平分线定义得∠CAF＝∠DAE，由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．
【解析】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．
【小结】考查直角三角形性质，三角形角平分线定义，对顶角的性质，余角性质，难度适中．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？
（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；
（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；
（3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．
【解析】（1）∠ACD＝∠B，理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）△ADE是直角三角形．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴△ADE是直角三角新；
（3）∠A+∠D＝90°．
∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，
∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°．
【小结】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余．
A字模型
图1
【条件】图1中三种情况
【结论】∠1=∠2
【证明】略
图2
【结论】∠1+∠2=∠3+∠4
【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°
∴∠1+∠2=∠3+∠4
图3
【结论】∠1+∠2=180°+∠A
【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A
如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B，根据多边形的内角和公式求出即可．
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C，
∵∠C＝75°，
∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B），
∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和公式，能熟记定理是解此题关键．
如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．
【解析】∵∠A＝40°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠A＝140°．
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．
【小结】此题主要是三角形内角和定理的运用．
我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
Ⅰ．尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
Ⅱ．初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
【解析】（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；
（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A）
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A；即∠P＝90°﹣∠A；
【小结】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
（1）如图1，△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于
A.90° B.135° C.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝50°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ °．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
（4）如图3，若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
【解析】（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；
（2）∠1+∠2＝180°+50°＝230°．
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，即∠1+∠2＝2∠A．
【小结】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
双内角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.
【结论】∠P=90°+∠A.
【证明】∵BP是∠ABC平分线，∴
∵CP是∠ACB平分线，∴
∵∠2+∠3+∠P=180°，∠A+∠B+∠C=∠A+2∠2+2∠3=180°
∴∠2+∠3+∠P=∠A+2∠2+2∠3
∴∠P=∠A+∠2+∠3=∠A+（180°-∠P）
∴∠P=∠A+（180°-∠P）
∴∠P=90°+∠A.
如图，△ABC中，
（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．
（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．
【分析】（1）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠APC的度数．
（2）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，进而得出∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA），再根据∠P＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）进行计算即可．
【解析】（1）∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，
∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA）＝×110°＝55°，∴∠P＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA），
∴∠P＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）
＝90°+∠B．
【小结】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．
（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．
（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可；
【解析】（1）∵BC平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠OBC＝∠ABC＝20°，
∵CO平分∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠OCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣20°﹣30°＝130°．
（2）∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝45°，
∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°．
（3）∵∠A＝m°
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣m°，
∴∠BOC＝90°+m°．
【小结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD．
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BDC的度数；
（2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，依据三角形外角性质，即可得到∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，再根据∠AED﹣∠AFD＝12°，即可得到α的值．
【解析】（1）∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝80°，
又∵∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，
∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°；
（2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，
∵∠BDC＝140°，
∴∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，
∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角，
∴∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，
∴∠AED﹣∠AFD＝∠ACF+∠CDF﹣∠ABE﹣∠BDE＝α﹣（40°﹣α）＝12°，
解得α＝26°，∴∠ACF＝26°．
【小结】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O
（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝a，求∠BOC的度数；
（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；
（2）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣）＝90°+；
（3）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝60°﹣，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣）＝120°+．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出∠OBC+∠OCB是解此题的关键，求解过程类似．
内外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线
【结论】∠P=∠A
【证明】∵BP是∠ABC平分线，∴
∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A
即：2∠1=2∠3+∠A ①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+∠A ②
又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：∠P=∠A
如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．
（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；
（2）直接写出∠A与∠E的数量关系： ．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，根据三角形的外角的性质计算；
（2）仿照（1）的计算过程证明．
【解析】（1）∵CE、BE分别平分∠ACD、∠ABC，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝30°；
（2）由（1）得，∠E＝∠A，
∴∠A＝2∠E
【小结】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB的度数．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠PCD＝∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，然后整理得到∠PCD＝40°+∠ABC，再代入数据计算即可得解．
【解析】在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABC+40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，
即∠CAB＝80°．
【小结】本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出∠PCD＝40°+∠ABC是解题的关键．
如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE
的平分线，且与BD交于点D；
（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝ °；
（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝ °；
（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）
【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；
（2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；
（3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D、∠A的等式，推出∠D＝∠A，即可求得结论．
【解析】（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵∠DCE＝70°，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝70°﹣30°＝40°；
（2）∵∠ABC＝70°，∠A＝80°，
∴∠ACE＝150°
∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∠DCE＝∠ACE＝75°，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝75°﹣35°＝40°；
（3）不变化，
理由：∵∠DCE＝∠DBC+∠D，
∴∠D＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC＝∠A．
【小结】此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出∠D＝∠A．
如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．
（1）若∠A＝50°，则∠D＝ ；
（2）若∠A＝80°，则∠D＝ ；
（3）若∠A＝130°，则∠D＝ ；
（4）若∠D＝36°，则∠A＝ ；
（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．
【分析】先根据角平分线定义得到∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠ABC+∠A，则2∠2＝2∠1+∠A，接着再根据三角形外角性质得∠2＝∠1+∠D，易得∠A＝2∠D，即∠D＝∠A，然后利用此结论分别解决（1）、（2）、（3）（4）（5）．
【解析】如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，
∴2∠2＝2∠1+∠A，
而∠2＝∠1+∠D，
∴2∠2＝2∠1+2∠D，
∴∠A＝2∠D，即∠D＝∠A，
（1）当若∠A＝50°，则∠D＝25°；
（2）若∠A＝80°，则∠D＝40°；
（3）若∠A＝130°，则∠D＝65°．
（4）若∠D＝36°，则∠A＝72°，
（5）综上所述，∠D＝∠A；
【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了三角形外角性质．
双外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
【结论】∠P=90°-∠A.
【证明】∵BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
∴∠2=∠3，∠5=∠6
∠P=180°-∠2-∠5=180°-∠EBC-∠BCF
=180°-（180°-∠1）-（180°-∠4）
=（∠1+∠4）
=（180°-∠A）
=90°-∠A
如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD
与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °； （2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °； （4）请用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
【分析】（1）若∠A＝60°，则有∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，根据角平分线定义求得∠PBC+∠PCB度数，再利用三角形内角和定理即可求得∠P的度数．
（2）（3）和（1）的解题步骤相似．
（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP＝（∠A+∠ABC），∠CBP＝（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．
【解析】（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠BCE，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝120°，∴∠P＝60°．
（2）70°；
（3）40°
（4）∠P＝90°﹣∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，∴∠DBC＝2∠CBP，∠BCE＝2∠BCP
又∵∠DBC＝∠A+∠ACB∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴2∠CBP＝∠A+∠ACB，2∠BCP＝∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∴∠CBP+∠BCP＝90°+∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴∠P＝90°﹣∠A．
【小结】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．
BD、CD分别是△ABC 两个外角∠CBE、∠BCF平分线，求证∠BDC＝90°∠A．
【分析】先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，故∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，根据在△DBC中∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）即可得出结论．
【解析】证明：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，
在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．
【小结】考查三角形内角和定理及外角性质，熟知三角形内角和等于180°是解题关键．
如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，求∠BIC的大小；
（2）若∠A＝96°，试求∠BIC；
（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，求出∠IBC+∠ICB的值，即可解决问题．
（2）先根据∠A＝96°，得出∠1+∠2＝84°，再运用（1）中的方法即可解决问题．
（3）证明思路方法即（2）中的方法．
【解析】（1）如图所示，∵∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，
∴∠DBC＝140°，∠ECB＝144°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3＝∠DBC＝70°，∠4＝∠ECB＝72°，
∴△BCI中，∠I＝180°﹣70°﹣72°＝38°；
（2）∵∠A＝96°，∴∠1+∠2＝84°，∴∠DBC+∠ECB＝276°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×276°＝138°，
∴△BCI中，∠I＝180°﹣138°＝42°；
（3）∠BIC＝90°﹣∠A．
证明：△ABC中，∠1+∠2＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，
∴△BCI中，∠I＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．
【小结】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义的运用；解题的关键是灵活运用三角形内角和为180°．
如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P．
（1）若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数．
（2）若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）
（3）想一想，∠A的大小变化，对∠D+∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．
【分析】（1）通过角的平行线的定义以及三角形的内角和可得出∠CBD+∠BCD＝75°，再利用三角形的内角和为180°即可得出∠BDC的度数，同理可求出∠BPC的度数；
（2）根据（1）的求角过程将30换成m，即可得出结论；
（3）由（2）的结论，将两角相加即可得出结论．
【解析】（1）∵BD，CD是内角平分线，
∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，∴∠CBD+∠BCD＝75°．
又∵∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝105°．
∵∠CBE+∠BCF＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝210°，BP，CP是∠ABC，∠ACB外角平分线
∴∠CBP+∠BCP＝（∠CBE+∠BCF）＝105°，
∵∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝75°．
（2）根据（1）的求角过程可知：∠BDC＝90°+°，∠BPC＝90°﹣°．
（3）∵∠D+∠P＝90°+°+90°﹣°＝180°为定值，
∴∠A的大小变化，对∠D+∠P的值无影响．
【小结】本题考查了三角形外角性质、三角形内角和定义以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理是关键．
共定点角平分线和高线模型
【条件】△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线
【结论】∠HAD=（∠B-∠C），即共顶点高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半
【证明】∵AD是∠ABC平分线，∴
在△HAD中：
∠HAD=90°-∠1=90°-(∠C+∠DAC）
=90°-(∠C+)
=90°- [∠C+]
=（∠B-∠C）
如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．
【解析】在△ABC中，∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，
∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=×70°=35°，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°．
【小结】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.
【分析】由AD是高易得∠DAC与∠C互余，即可求出∠DAC，由三角形内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABO与∠BAO，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数.
【解析】是的高，
在中，
在中，
、是角平分线，
在中，
【小结】本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键.
在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°．
（1）求∠C的度数．
（2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案．
【解析】（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵∠EAD=15°，
∴∠BAE=50°-15°=35°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=35°，
∴∠BAC=70°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°；
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=β，∴∠BAD=90°-β，
∵∠EAD=α，∴∠BAE=90°-β-α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=90°-β-α，
∴∠BAC=180°-2β-2α，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-（180°-2β-2α）-β=β+2α．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．
如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数.
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABE的度数，二者作差即可得出答案.
【解析】∵是的高，
∴∠ABD=，
∵是的角平分线，
∴∠ABE=，
∴.
【小结】考查直角三角形两锐角互余、角平分线性质，在图形中找出这一数量关系是解题的关键.
8字模型
【条件】AE、BD相交于点C
【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【证明】在三角形ABC种，由内角和定理：∠A+∠B+∠ACB=1810°
在三角形CDE种，由内角和定理：∠D+∠E+∠CDE=1810°
所以∠A+∠B+∠ACB=∠D+∠E+∠CDE
由∠ACB=∠CDE，故有∠A+∠B=∠D+∠E
图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解析】（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
由∠D+∠1+∠2＝∠B+∠3+∠4①
由∠ONC＝∠B+∠4＝∠P+∠2，②
①+②得：
∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1，
∠D+2∠B＝2∠P+∠B，
即2∠P＝∠D+∠B．
【小结】主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识迁移能力．
（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；
（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；
（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．
①若∠B＝32°，∠D＝38°，求∠M的度数；
②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．
【分析】①根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM＝∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；
②根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM＝∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系．
【解析】①根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM＝∠M+∠BCM，
∴∠BAM﹣∠BCM＝∠M﹣∠B，
同理，∠MAD﹣∠MCD＝∠D﹣∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
∴∠M﹣∠B＝∠D﹣∠M，
∴∠M＝（∠B+∠D）＝（32°+38°）＝35°；
②根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM＝∠M+∠BCM，∴∠BAM﹣∠BCM＝∠M﹣∠B，
同理，∠MAD﹣∠MCD＝∠D﹣∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
∴∠M﹣∠B＝∠D﹣∠M，
∴∠M＝（∠B+∠D）．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C．
【解析】
（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．
【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝20°，∠ADC＝26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，猜想∠P的度数为
（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 （用x、y表示∠P）
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，列方程组即可得到结论；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，推出2∠P＝∠B+∠D，即可解决问题；
（4）（5）同法列出方程组即可解决问题．
【解析】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）的结论得：，①+②得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝23°；
（3）如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°；
（4）同法可得：∠P＝x+y；
（5）同法可得：∠P＝．
【小结】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
飞镖模型
图1 图2 图3
【条件】四边形ABPC如图1所示
【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【证明】如图2，∠BPD=∠B+∠BAD，∠CPD=∠C+∠CAD
∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=∠A+∠B+∠C
∴∠BPC=∠A+∠B+∠C
亦可按图3辅助线证明
（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【分析】（1）连接OA，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．
图1
【解析】（1）连接OA，
∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．
图2
【小结】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC度数．
【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据三角形外角性质即可得到∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系；
（2）Ⅰ、由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，再根据∠A＝40°，∠D＝90°，即可得出∠ABD+∠ACD的度数；
Ⅱ、根据（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再根据BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，即可得出∠BDC的度数．
【解析】（1）如图①，连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A；
又∵∠A＝40°，∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，
Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°，
又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝45°，
∴∠BDC＝45°+40°＝85°．
【小结】考查三角形内角和定理以及外角性质，熟知三角形内角和等于180°是解题关键．
在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（1）中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于多少时，我们可以连接CD，利用三角形的内角和则有∠B+∠E＝∠ECD+∠BDC，这样∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和就转化到同一个△ACD中，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
尝试练习：
图（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于 ．
图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于 ．
图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数等于 ．
【分析】仿照材料、根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】如图（2），连接CE，
则有∠A+∠B＝∠AEC+∠BCE，
∴∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠DEA＝180°；
同理
图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【小结】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
【分析】（1）如图1，延长AD交BC于E．利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）∠A﹣∠C＝2∠P，利用三角形的外角的性质可以推出：∠A+∠1＝∠P+∠3，由∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠A+∠2＝∠P+∠4，由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，可得∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C即可解决问题；
（3）∠A+∠C＝2∠P，证明方法类似；
【解析】（1）如图1，延长AD交BC于E．
在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°，
在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°．
（2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下：
如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3，
∴∠A+∠1＝∠P+∠3，
∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠A+∠2＝∠P+∠4，
由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，
∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C，
∴∠A﹣∠C＝2∠P．
（3）∠A+∠C＝2∠P，理由如下：
同（2）理知∠A+∠1＝∠P+∠3，∠C+∠4＝∠P+∠2，
∴∠A+∠C+∠1+∠4＝2∠P+∠2+∠3，
∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3，
∴∠A+∠C＝2∠P．
【小结】考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
筝型
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P
如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在
边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝ ．
（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ ．
（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案；（2）同（1）；（3）根据（1）、（2）的规律即可得出结论．
【解析】（1）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．
（2）∵）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝n°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣n°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣n°）＝2n°，∴∠1+∠2＝2n°；
（3）由（1）、（2）可知，2∠A＝∠1+∠2．
【小结】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．
观察猜想
（1）如图1，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝ °；
若∠A＝55°，则∠1+∠2＝ °；
若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ °．
探索证明：
（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．
拓展应用：
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．
【分析】
（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【解析】（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2）
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，
整理得∠1+∠2＝80°；
同理∠A＝55°，则∠1+∠2＝110°；∠A＝n°，则∠1+∠2＝2n°；
（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×54°
＝117°．
【小结】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．
Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为： ．（不需说明理由）．
【分析】（1）如图1中，连接PC．由∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），由∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α＝50°，即可推出∠1+∠2＝140°．
（2）结论：∠1+∠2＝90°+α．证明方法类似（1）．
（3）由∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+α，由∠C＝90°，即可推出∠1＝90°+∠2+α．
【解析】（1）如图1中，连接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°．
（2）结论：∠1+∠2＝90°+α．
理由如图2中，连接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图3中，
∵∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+α，
∵∠C＝90°，
∴∠1＝90°+∠2+α．
故答案为∠1＝90°+∠2+α．
【小结】本题考查三角形综合题、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是灵活运用三角形的外角的性质，属于中考常考题型．
如图（1），在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝ ；
如图（2），当点A落在△ABC外部时，那么∠2﹣∠1＝ ．
【分析】连接AA'，依据∠1是△AA'E的外角，可得∠1＝∠EAA'+∠EA'A，同理可得，∠2＝∠DAA'+∠DA'A，再依据角的和差关系进行计算即可；当点A落在△ABC外部时，连接AA'，∠2是△AA'E的外角，∠2＝∠EAA'+∠EA'A，同理可得，∠1＝∠DAA'+∠DA'A，再依据角的和差关系进行计算即可．
【解析】如图1，连接AA'，
∵∠1是△AA'E的外角，∴∠1＝∠EAA'+∠EA'A，
同理可得，∠2＝∠DAA'+∠DA'A，由折叠可得，∠EAD＝∠EA'D，
∴∠1+∠2＝∠EAA'+∠EA'A+∠DAA'+∠DA'A＝2∠BAC＝140°；
如图2，连接AA'，
∵∠2是△AA'E的外角，∴∠2＝∠EAA'+∠EA'A，
同理可得，∠1＝∠DAA'+∠DA'A，由折叠可得，∠EAD＝∠EA'D，
∴∠2﹣∠1＝（∠EAA'+∠EA'A）﹣（∠DAA'+∠DA'A）
＝∠EAD+∠DAA'+∠EA'D+∠DA'A﹣∠DAA'﹣∠DA'A
＝∠EAD+∠EA'D
＝2∠BAC
＝140°．
【小结】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称.
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