17.1 .1 勾股定理的证明 课件(共23张PPT)

17.1 勾股定理
第一课时 勾股定理的证明
第十七章 勾股定理
2021年春人教版八年级（下）数学
1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
理解勾股定理的证明方法。（重点）
会用面积法证明勾股定理。（难点）??
?
学习目标
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
观察地砖，看看能从中发现什么数量关系吗？
新课导入
探索与思考
这三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？
S1
S2
S3
a
a
c
S1 =
S2 =
S3 =
S△ =
????????
?
????????
?
????????
?
????????????????=????????????????
?
S1 +S2 =S3
????????+????????=????????
?
等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
探索与思考（利用补全面积法）
等腰直角三角形有这个性质，其它直角三角形是否也具有这样的性质？
A
B
C
SA =4×4=16
SB =6×6=36
SC (补全法)=10×10 - 4×???????? ×4 ×6=52
?
SA + SB =SC
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
探索与思考（利用分割面积法）
等腰直角三角形有这个性质，其它直角三角形是否也具有这样的性质？
A
B
C
SA =3×3=9
SB =4×4=16
SC (分割法)=1×1 + 4×???????? ×3 ×4 =25
?
SA + SB =SC
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
探索与思考
利用实际模型，加深对直角三角形三边关系的理解。
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a?+b?=c? 。
几何描述：
∵△ABC是直角三角形
∴三边之间的关系为：a?+b?=c?
b
a
c
A
B
C
探索与思考（赵爽弦图）
基本思路如下：
b
a
c
a+b
a
b
c
c
c
c
a
b
c
c
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = 2ab +c?
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
C2
C2
探索与思考（毕达哥拉斯证法）
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三，求证：a2 + b2 = c2.
a
a
b
b
c
c
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得
化简,得
探索与思考（“总统证法”.）
勾股的含义
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
B
C
勾
股
弦
A
小组讨论
请利用下面的全等直角三角形的图示摆放，根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明猜想，并与同学交流过程。
以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=1，b=???? ，c=2
C．a=4，b=5，c=6 D．a=2，b=2，c=????
?
【答案】B
【详解】
A.22+32≠42，故不是直角三角形；
B.12+32=22，故是直角三角形；
C.42+52≠62；故不是直角三角形；
D.22+22≠62；故不是直角三角形.
故选B.
?
针对练习
1．在????????????????中，若∠????????????=????????°，则下列等式一定成立的是（ ）
A．????????=????????+???????? B．????????????=????????????+????????????
C．????????????=????????????+???????????? D．????????????=????????????+????????????
?
【答案】D
【详解】
解：∵在△ABC中，∠????????????=90°，
∴△ABC为直角三角形，
则根据勾股定理得：????????2=????????2+????????2．
故选D．
?
课堂练习
2．在????????△????????????中，∠????=????????°，????????=????，????????=????，则????????=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
?
【答案】A
【分析】
直接利用勾股定理得出AC的值即可．
【详解】
解：∵????????△????????????中，∠C＝90°，且AB＝5，BC＝3，
∴AC＝????????2?????????2＝4．
故选：A．
?
3．在R????△????????????中，∠????????????=????????°，如果????????=????，????????=????，那么????????
的长是(　　　)
A．???? B．???? C．???? D．????或????
?
【答案】C
【详解】
解：∵∠ACB=90°，则AB为斜边，
∴BC=????????2?????????2=7，故选C．
?
4．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为 ( )
A．4 B．4或34 C．16或34 D．4或????????
?
【答案】D
【解析】
解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x=52?32=4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x=52+32=34．
故选D．
?
5.已知三角形ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB上的高为___________．
【答案】125
【解析】
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=????????2+????????2=32+42=5.
由面积公式得S△ABC=12AC?BC=12AB?CD,
∴CD=????????×????????????????=3×45=125．
故斜边AB上的高CD为125．
故答案为125．
?
6． “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为????，较短的直角边长为????，若????+????????=????????，大正方形的面积为????????，则小正方形的面积为__________．
?
【详解】
解：如图所示：
∵????+????2=21 ，∴????2+2????????+????2=21 ，
∵大正方形的面积为4×????????2+?????????2=2????????+????2?2????????+????2=????2+????2=13，
∴2ab=21-13=8，∴小正方形的面积为13-4×????????2 =13-2ab=13-8=5.
故答案为：5.
?
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
课堂小结
谢谢聆听