直角三角形的三边关系
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直角三角形的三边关系（一）
一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;
tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
二. 正弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
四、余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;
五、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
0 30 45 60 90
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 —
cotα — 1 0
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则
①；
②；
六、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为俯角
七、利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。
八、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边与角之间的关系：
九、如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
【典型例题】
例1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD．
例2．是Rt△ABC中的一个锐角，若sin＋cos＝m，sin ·cos＝n，则m，n有怎样的关系？
例3．AD是Rt△ABC斜边BC上的高，若 BD＝2，DC＝8，求 tan C的值．
例4．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积．
例5.已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD．
(用正弦、余弦函数的定义证明)
一:选择题
1．若△ABC中，∠C=90°，则cosA的值等于 ( )
2．若锐角α＞β，则 ( )
A．cosα＞cosβ； B．sinα＜sinβ；
C．sinα＞cosβ； D．sinα＞sinβ．
4.α锐角，则|sinα-1|等于( )
A．1-sinα； B．sinα-1； C．cosα； D．无法确定．
５.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则tanA等于( )
６.若α为锐角且tanα=cot42°，则α为 ( )
A．42°； B．48°； C．56°； D．无法确定．
７下列各式中错误的是( )
８.已知在△ABC中，∠C=90°，则下列各式中正确的是( )
A．sinA=sinB； B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．tanA=cotB．
二.解答题
９.tan10°·tan20°·tan30°·tan40°·tan50°·tan60°·tan70°·tan80°．
１０.sin231°+tan31°·tan59°+sin259°
的度数．
14．已知三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的余弦值和正切值．
１5、.已知为一锐角，sin＝，求 cos，tan．
１6、.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，
垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD．
17、.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝20 cm，求tan A和tan B的值．
18、.已知等腰三角形的一条腰长为 20 cm，底边长为 30 cm，求底角的正切值．
19、.如图，在等腰梯形 ABCD中，CD＝4 cm，DE＝6 cm，AB＝8 cm，求 tan A的值．
20、.如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程．
图1
图2
h
i=h:l
l
A
B
C
一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;
tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
二. 正弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
四、余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;
五、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
0 30 45 60 90
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 —
cotα — 1 0
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则
①；
②；
六、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为俯角
七、利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。
八、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边与角之间的关系：
九、如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
【典型例题】
例1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD．
例2．是Rt△ABC中的一个锐角，若sin＋cos＝m，sin ·cos＝n，则m，n有怎样的关系？
例3．AD是Rt△ABC斜边BC上的高，若 BD＝2，DC＝8，求 tan C的值．
例4．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积．
例5.已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD．
(用正弦、余弦函数的定义证明)
一:选择题
1．若△ABC中，∠C=90°，则cosA的值等于 ( )
2．若锐角α＞β，则 ( )
A．cosα＞cosβ； B．sinα＜sinβ；
C．sinα＞cosβ； D．sinα＞sinβ．
4.α锐角，则|sinα-1|等于( )
A．1-sinα； B．sinα-1； C．cosα； D．无法确定．
５.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则tanA等于( )
６.若α为锐角且tanα=cot42°，则α为 ( )
A．42°； B．48°； C．56°； D．无法确定．
７下列各式中错误的是( )
８.已知在△ABC中，∠C=90°，则下列各式中正确的是( )
A．sinA=sinB； B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．tanA=cotB．
二.解答题
９.tan10°·tan20°·tan30°·tan40°·tan50°·tan60°·tan70°·tan80°．
１０.sin231°+tan31°·tan59°+sin259°
的度数．
14．已知三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的余弦值和正切值．
１5、.已知为一锐角，sin＝，求 cos，tan．
１6、.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，
垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD．
17、.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝20 cm，求tan A和tan B的值．
18、.已知等腰三角形的一条腰长为 20 cm，底边长为 30 cm，求底角的正切值．
19、.如图，在等腰梯形 ABCD中，CD＝4 cm，DE＝6 cm，AB＝8 cm，求 tan A的值．
20、.如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程．
图1
图2
h
i=h:l
l
A
B
C