17.2 勾股定理逆定理 课件(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 17.2 勾股定理逆定理 课件(共26张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-21 21:52:21 | ||
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文档简介
17.2 勾股定理逆定理
第十七章 勾股定理
2021年春人教版八年级（下）数学
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a?+b?=c? 。
几何描述：
∵△ABC是直角三角形
∴三边之间的关系为：a?+b?=c?
b
a
c
A
B
C
勾股定理的内容：
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}AB
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
练一练（已知Rt△ABC，求AC）：
课前回顾
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
勾股定理逆定理的理解。（重点）
勾股定理逆定理的证明。（难点）??
学习目标
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果一个三角形三边长分别为3、4、5，它们符合32+42=52
那么围成的三角形为直角三角形，你认为这个结论正确吗?
?
新课导入
探索与思考
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}AB
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
∠A
∠B
∠C
A
B
C
尝试画出满足表格数据的三角形，测量它的三个角度数，你发现了什么？
约36.5°
约22.5°
45°
90°
?
约53.5°
约67.5°
45°
?
90°
?
90°
?
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
【问题】再找几组满足a?+b?=c?的数字，画出三角形，这个三角形是直角三角形吗？
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
b
a
c
A
B
C
分析：
1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠B=______°
2.构造△A’B’C’，使其满足___________________________。
3.如果△ABC ____ △A’B’C’，则△ABC是直角三角形。
90
≌
b
a
c
A’
B’
C’
AB=A’B’,BC=B’C’,∠B’=90°
探索与思考
探索与证明
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
b
a
c
A
B
C
b
a
c
A’
B’
C’
证明：
作Rt△A′B′C′，使∠B′=90°，B′C′=b，A′B′=a，
则A′C′2 = A′B′2 + B′C′2 = a2 +b2
∵ a2+b2=c2 ∴ A′C′2 =c2 则A′C′=c
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′，则∠B= ∠B ′=90°
∴ △ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
几何描述：
∵三角形三边之间的关系为：a?+b?=c?
∴△ABC是直角三角形
b
a
c
A
B
C
1、下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
针对练习
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A．????,????,???? B．1,????,????
C．6,7,8 D．2,3,4
3．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝1， b＝2， c＝3； B．a＝4 ， b＝5 ，c＝6；
C．a＝9， b＝12，c＝15； D．a＝13， b＝14 ，c＝15
?
B
C
勾股数
勾股数的概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数。
下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9
【答案】C【详解】
解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数，故A错误；
B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数，故B错误；
C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股数，故C正确；
D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误．
故选C．
针对练习
小结
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
1.找：确定三角形的最长边。
2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。
3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等。
4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。
判断三角形是直角三角形的方法
用角判断：
1.两个锐角互余 的三角形是直角三角形；
2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；
用边判断：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a?+b?=c?）
进行判断.
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
N
E
P
Q
R
1
2
分析：
1、经过_____h，远航号行驶到点____，海天号行驶到点______。
2、根据题意，远航号速度为_________,海天号
速度为____________.
3、由此可求出△PQR的三边，找出他们的三边关系，即可求出∠RPQ
4、远航号行驶方向为东北方向，即∠1=_______,
因此∠2=_____________
1.5
Q
R
16 海里/h
12 海里/h
45°
∠RPQ - 45°
例题讲解
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
N
E
P
Q
R
1
2
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°
?
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
D
B
C
3
4
13
12
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，求四边形ABCD的面积即求两个三角形面积的和。
解：连接AC,
在Rt△ABC中，AC=????????????+????????????=5
在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36.
?
例题讲解
有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
A
B
C
3
4
13
12
D
解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．
针对练习
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝???????????B．BC＝1，AC＝2，AB＝????
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
?
【答案】D
【详解】
A．∵12+（3）2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+22=（5）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设BC=3x，则AC=4x，AB=5x．
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=45°，∠5=60°，∠C=75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意．故选D．
?
课堂练习
已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足(?????????????)????+?????????????+?????????????????????+????????=????，则△ABC是（?? ）.
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
?
【答案】A
【解析】
等式?????172＋?????15+????2?16????+64＝0可化为?????172＋?????15+(?????4)2＝0，
根据非负数的性质可得a-17=0，b-15=0，c-8=0，
所以a=17，b=15，c=8；
又因82+152=172，
所以△ABC是 以a为斜边的直角三角形，故选A.
?
一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是______．
【答案】6013．
【详解】
∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为h cm．
S=12×5×12=12×13×h，解得：h=6013．
故答案为：6013．
?
1.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
拓展提升
解析：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=3m，BC=4m，∠B=90°，AB2+CB2=AC2
∴AC=5cm，
在△ACD中，AC=5cm CD=12m，DA=13m，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；
（2）∵S△ABC=????????×3×4=6，S△ACD=????????×5×12=30，
∴S四边形ABCD=6+30=36，费用=36×100=3600（元）．
?
1、勾股定理的逆定理：
2、互逆命题：
课堂小结
谢谢聆听
第十七章 勾股定理
2021年春人教版八年级（下）数学
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a?+b?=c? 。
几何描述：
∵△ABC是直角三角形
∴三边之间的关系为：a?+b?=c?
b
a
c
A
B
C
勾股定理的内容：
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}AB
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
练一练（已知Rt△ABC，求AC）：
课前回顾
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
勾股定理逆定理的理解。（重点）
勾股定理逆定理的证明。（难点）??
学习目标
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果一个三角形三边长分别为3、4、5，它们符合32+42=52
那么围成的三角形为直角三角形，你认为这个结论正确吗?
?
新课导入
探索与思考
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}AB
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
∠A
∠B
∠C
A
B
C
尝试画出满足表格数据的三角形，测量它的三个角度数，你发现了什么？
约36.5°
约22.5°
45°
90°
?
约53.5°
约67.5°
45°
?
90°
?
90°
?
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
【问题】再找几组满足a?+b?=c?的数字，画出三角形，这个三角形是直角三角形吗？
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
b
a
c
A
B
C
分析：
1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠B=______°
2.构造△A’B’C’，使其满足___________________________。
3.如果△ABC ____ △A’B’C’，则△ABC是直角三角形。
90
≌
b
a
c
A’
B’
C’
AB=A’B’,BC=B’C’,∠B’=90°
探索与思考
探索与证明
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
b
a
c
A
B
C
b
a
c
A’
B’
C’
证明：
作Rt△A′B′C′，使∠B′=90°，B′C′=b，A′B′=a，
则A′C′2 = A′B′2 + B′C′2 = a2 +b2
∵ a2+b2=c2 ∴ A′C′2 =c2 则A′C′=c
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′，则∠B= ∠B ′=90°
∴ △ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
几何描述：
∵三角形三边之间的关系为：a?+b?=c?
∴△ABC是直角三角形
b
a
c
A
B
C
1、下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
针对练习
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A．????,????,???? B．1,????,????
C．6,7,8 D．2,3,4
3．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝1， b＝2， c＝3； B．a＝4 ， b＝5 ，c＝6；
C．a＝9， b＝12，c＝15； D．a＝13， b＝14 ，c＝15
?
B
C
勾股数
勾股数的概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数。
下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9
【答案】C【详解】
解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数，故A错误；
B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数，故B错误；
C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股数，故C正确；
D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误．
故选C．
针对练习
小结
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
1.找：确定三角形的最长边。
2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。
3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等。
4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。
判断三角形是直角三角形的方法
用角判断：
1.两个锐角互余 的三角形是直角三角形；
2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；
用边判断：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a?+b?=c?）
进行判断.
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
N
E
P
Q
R
1
2
分析：
1、经过_____h，远航号行驶到点____，海天号行驶到点______。
2、根据题意，远航号速度为_________,海天号
速度为____________.
3、由此可求出△PQR的三边，找出他们的三边关系，即可求出∠RPQ
4、远航号行驶方向为东北方向，即∠1=_______,
因此∠2=_____________
1.5
Q
R
16 海里/h
12 海里/h
45°
∠RPQ - 45°
例题讲解
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
N
E
P
Q
R
1
2
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°
?
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
D
B
C
3
4
13
12
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，求四边形ABCD的面积即求两个三角形面积的和。
解：连接AC,
在Rt△ABC中，AC=????????????+????????????=5
在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36.
?
例题讲解
有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
A
B
C
3
4
13
12
D
解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．
针对练习
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝???????????B．BC＝1，AC＝2，AB＝????
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
?
【答案】D
【详解】
A．∵12+（3）2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+22=（5）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设BC=3x，则AC=4x，AB=5x．
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=45°，∠5=60°，∠C=75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意．故选D．
?
课堂练习
已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足(?????????????)????+?????????????+?????????????????????+????????=????，则△ABC是（?? ）.
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
?
【答案】A
【解析】
等式?????172＋?????15+????2?16????+64＝0可化为?????172＋?????15+(?????4)2＝0，
根据非负数的性质可得a-17=0，b-15=0，c-8=0，
所以a=17，b=15，c=8；
又因82+152=172，
所以△ABC是 以a为斜边的直角三角形，故选A.
?
一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是______．
【答案】6013．
【详解】
∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为h cm．
S=12×5×12=12×13×h，解得：h=6013．
故答案为：6013．
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1.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
拓展提升
解析：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=3m，BC=4m，∠B=90°，AB2+CB2=AC2
∴AC=5cm，
在△ACD中，AC=5cm CD=12m，DA=13m，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；
（2）∵S△ABC=????????×3×4=6，S△ACD=????????×5×12=30，
∴S四边形ABCD=6+30=36，费用=36×100=3600（元）．
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1、勾股定理的逆定理：
2、互逆命题：
课堂小结
谢谢聆听