上海市莘庄中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

上海市莘庄中学2020学年第一学期期末考试
高二数学试卷
（时间：120分钟 满分150分）
2021年1月
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 抛物线的焦点到准线的距离是 .
2. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 .
3. 若线性方程组的增广矩阵是，且此方程组无解，则实数= .
4. 已知=（2，3），=（-4，7）则向量在方向上的投影为 .
5. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是 .
6.设变量、满足约束条件，则的最大值为 .
7.在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）
有公共点，则实数的取值范围为 .
8. 若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的值是 .
9. 设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 .
10. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线
（），与轴交于点，与交于点，、分别是曲线
与线段上的动点.若且，则 .
11. 已知点，椭圆()上两点，满足，则当=
时，点横坐标的绝对值最大．
12. 如图，△是边长为1的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数），满足条件的点有无数个，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分20分，每题5分，共20分）
13．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 （ ）
A． B．3 C． D．
15．图中曲线（实线部分）的方程是 （ ）
A.
B.
C.
D.
16．已知抛物线E：和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线E上的动点，且满足，记，则 （ ）
A. 当时，的最小值是
B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最小值是
D. 当时，的最小值是
三、解答题（本大题满分76分）
17. 已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求及.
18. 已知双曲线（），直线与交于、两点.
（1）若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，
求双曲线的渐近线方程.
19. 已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，且满足，其中．
（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的轨迹形状；
（2）过点且斜率为1的直线交曲线于两点，若中点横坐标为，求实数的值.
20. 已知点，、、是平面直角坐标系上的点，且满足.
（1）当坐标为，，写出点的轨迹方程；
（2）若、、都在椭圆上，且三点都在x轴上方，其中：点的横坐标为0，，求的面积；
（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为2，问：x轴上是否存在一点M，使得，若存在，请求出点M，若不存在，请说明理由.
21. 已知椭圆（）的左、右焦点为、，设点，
在△中，，周长为.
（1）求椭圆方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据△面积的不同取值范围，讨论△存在的个数，并说明理由.
上海市莘庄中学2020学年第一学期期末考试
高二数学试卷答案
（时间：120分钟 满分150分）
2021年1月
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 抛物线的焦点到准线的距离是 2 .
2. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 .
3. 若线性方程组的增广矩阵是，且此方程组无解，则实数= -2 .
4. 已知=（2，3），=（-4，7）则向量在方向上的投影为.
5. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是.
6.设变量、满足约束条件，则的最大值为 4 .
7.在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）
有公共点，则实数的取值范围为.
8. 若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的值是.
9. 设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是.
10. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线
（），与轴交于点，与交于点，、分别是曲线
与线段上的动点.若且，则.
11. 已知点，椭圆()上两点，满足，则当= 5 时，点横坐标的绝对值最大．
12. 如图，△是边长为1的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数），满足条件的点有无数个，则实数的取值范围是．
二、选择题（本大题满分20分，每题5分，共20分）
13．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 （ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 （ A ）
A． B．3 C． D．
15．图中曲线（实线部分）的方程是 （ C ）
A.
B.
C.
D.
16．已知抛物线E：和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线E上的动点，且满足，记，则 （ D ）
A. 当时，的最小值是
B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最小值是
D. 当时，的最小值是
三、解答题（本大题满分76分）
17. 已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求及.
解：（1）；（2），.
18. 已知双曲线（），直线与交于、两点.
（1）若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，
求双曲线的渐近线方程.
解：（1），；
（2）法一：
①，渐近线方程为
②，渐近线方程为
法二：
，则
所以渐近线方程为或.
19. 已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，且满足，其中．
（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的轨迹形状；
（2）过点且斜率为1的直线交曲线于两点，若中点横坐标为，求实数的值.
解：（1）
当时，C是两条平行直线； 当时，C是圆；
当时，C是椭圆； 当时，C是双曲线 .
（2）
设，则
20. 已知点，、、是平面直角坐标系上的点，且满足.
（1）当坐标为，，写出点的轨迹方程；
（2）若、、都在椭圆上，且三点都在x轴上方，其中：点的横坐标为0，，求的面积；
（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为2，问：x轴上是否存在一点M，使得，若存在，请求出点M，若不存在，请说明理由.
解：（1）
（2）

（3）设，则，得
的中垂线：
当，所以存在M(4,0) .
21. 已知椭圆（）的左、右焦点为、，设点，
在△中，，周长为.
（1）求椭圆方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据△面积的不同取值范围，讨论△存在的个数，并说明理由.
解：（1）；
（2）设
①当k不存在时，（舍）、
②当k不存在时，设
所以直线过定点（2，-1）
（3）
AE： 设
点P到直线AE的距离
当时，△的个数为0；当时，△的个数为1；当时，△的个数为2；当时，△的个数为3；当时，△的个数为4.