河南省许昌市2020-2021学年高一上学期期末教学质量检测数学（文）试题 Word版含解析

XCS2020—2021学年第一学期期末教学质量检测
高一文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线过，，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 在空间直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点距离相等，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，当时．方程表示的直线是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，正方体的棱长为1，动点在线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点，使得平面平面
8. 已知点，，，则的面积为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 下列命题中正确的个数是（ ）
①两条直线，没有公共点，那么，是异面直线
②若直线上有无数个点不在平面内，则
③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
④若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
A. B. C. D.
10. 已知，，，则，，三者的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
11. 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，动点满足，则动点轨迹与圆位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
12. 设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分满分20分．
13. 当时，函数的值总大于，则的取值范围是________．
14. 经过点作圆的切线，则切线的方程为__________．
15. 如下图所示，三棱锥外接球半径为1，且过球心，围绕棱旋转后恰好与重合.若，则三棱锥的体积为_____________.
16. 某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为和，其中为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆汽车，则该公司能获得的最大利润为_____万元.
三、解答题本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或算步骤．
17. 设全集，集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18. 已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并利用定义证明．
19. 如图，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当的中点恰好落在直线上时，求直线的方程．
20. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．
（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；
（2）若是中点，求异面直线与所成角的正切值；
21. 已知圆：关于直线：对称的图形为圆.
（1）求圆的方程；
（2）直线：，与圆交于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.
22. 已知如图，在直三棱柱中，，且，是中点，是的中点，点在直线上.

（1）若为中点，求证：平面；
（2）证明：
XCS2020—2021学年第一学期期末教学质量检测
高一文科数学（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简两集合，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】集合，集合，
所以.
故选：A.
2. 已知直线过，，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解.
【详解】设直线斜率为，直线斜率为，
因为直线过，，
所以斜率，
因为，所以，
所以，
故直线的斜率为.
故选：A
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易得t在上递减，在上递增，再由在上递增，利用复合函数的单调性求解.
【详解】令，解得或，
t在上递减，在上递增，
又在上递增，
所以单调递增区间是
故选：D
4. 在空间直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题意设点的坐标为，根据空间中的两点间距离公式，列出等式，求出，即可得出结果.
【详解】因为点在轴上，所以可设点的坐标为，
依题意，得，
解得，则点的坐标为．
故选：B.
5. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选：C.
6. 已知函数，当时．方程表示的直线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用对数函数的性质得到所以，再利用直线的斜率和截距判断.
【详解】因时，，
所以．
则直线的斜率为，
在轴上的截距．
故选：C．
7. 如图，正方体的棱长为1，动点在线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点，使得平面平面
【答案】D
【解析】
【分析】
对A,根据中位线的性质判定即可.
对B,利用平面几何方法证明，再证明平面即可.
对C,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.
对D,根据与平面有交点判定即可.
【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;
在B中,因为,,故,
故.故,又有,
所以平面,故B正确；
在C中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故C正确.
在D中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故D错误.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面垂直的方法主要有：
1.线面垂直的判定定理，直线与平面内的两条相交直线垂直；
2.面面垂直的性质定理，若两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的垂直于另一个平面；
3.线面垂直性质定理，两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直；
4.面面平行的性质定理，直线垂直于两平行平面之一，必然垂直于另一个平面．
8. 已知点，，，则的面积为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，根据两点的距离公式求得|AB|，而AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，由点到直线的距离公式可求得选项．
【详解】设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，而|AB|＝ ，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．
AB边所在的直线方程为，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为，
因此，S△ABC＝×2 ×＝5.
故选：A．
9. 下列命题中正确的个数是（ ）
①两条直线，没有公共点，那么，是异面直线
②若直线上有无数个点不在平面内，则
③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
④若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
【详解】①两条直线，没有公共点，那么，平行或异面直线，故错误；
②若直线上有无数个点不在平面内，则或相交，故错误；
③由空间角定理知，正确；
④由直线与平面平行的定义知，正确；
故选：C
10. 已知，，，则，，三者的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出，，的范围，即可比较大小.
【详解】因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递减，所以，即，
因为在单调递增，所以，即，
所以，
故选：C
11. 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，动点满足，则动点轨迹与圆位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】C
【解析】
分析】
设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解.，
【详解】设，由，得，整理得，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心为为圆心，为半径的圆
两圆的圆心距为，满足，
所以两个圆相交.
故选：C.
12. 设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
等价于，即或
，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解
【详解】作出函数的图象如下图所示．
变形得，
由此得或，方程只有两根
所以方程有三个不同实根，则，
故选：B
【点睛】易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分满分20分．
13. 当时，函数的值总大于，则的取值范围是________．
【答案】或，
【解析】
【分析】
由指数函数的图象和性质可得即可求解.
【详解】因为时，函数的值总大于，
根据指数函数的图象和性质可得，解得：或，
故答案为：或，
14. 经过点作圆的切线，则切线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
点在圆上，由，则切线斜率为2，由点斜式写出直线方程.
【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，
故切线方程为，整理得．
故答案为：
15. 如下图所示，三棱锥外接球的半径为1，且过球心，围绕棱旋转后恰好与重合.若，则三棱锥的体积为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
作于，可证得平面，得，得等边三角形，利用是球的直径，得，然后计算出，再应用棱锥体积公式计算体积．
【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合，
∴，
作于，连接，则，，
∴．
又过球心，∴，而，∴，同理，
，，
由，，，得平面，
∴．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作于，利用旋转重合，得平面，这样只要计算出的面积，即可得体积，这样作图可以得出，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转，即为．旋转是旋转形成的二面角为．应用作出二面角的平面角．
16. 某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为和，其中为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆汽车，则该公司能获得的最大利润为_____万元.
【答案】
【解析】
设该公司在甲地销x辆，那么乙地销15－x辆，利润L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且当x＜10.2时，L′(x)＞0，x＞10.2时，L′(x)＜0，∴x＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元．
答案：45.6万元
三、解答题本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或算步骤．
17. 设全集，集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由得到，然后利用集合的补集和交集运算求解.
（2）化简集合,根据,分和 两种情况求解.
【详解】（1）当时，．
或，
或.
（2）,
若,
则当时，,
不成立
，
解得，
的取值范围是.
18. 已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并利用定义证明．
【答案】(1)；(2)为减函数；证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)根据奇函数的定义，即可求出；
(2)利用定义证明单调性．
【详解】解：(1)，
由得，
解得．
另解：由，令得代入得：
验证，当时，，满足题意
(2)为减函数．
证明：由(1)知，
在上任取两不相等的实数，，且，
，
由为上的增函数，，，，，
则，．
函数为减函数．
【点睛】定义法证明函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)下结论．
19. 如图，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当的中点恰好落在直线上时，求直线的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出、所在的直线方程，根据直线方程分别设A、B点坐标，进而求出的中点C的坐标，利用点C在直线上以及A、B、P三点共线列关系式解出B点坐标，从而求出直线AB的斜率，然后代入点斜式方程化简即可.
【详解】解：由题意可得，
，
所以直线，．
设，，
所以的中点．
由点在上，且、、三点共线得
解得，所以．
又，所以
所以，
即直线的方程为
【点睛】知识点点睛：（1）中点坐标公式：，则AB的中点为；
（2）直线的点斜式方程：.
20. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．
（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）取中点，，连接，则为所求二面角的平面角，找出二面角的平面角再根据题目所给条件即可计算出二面角的大小．
（2）连接为异面直线所成的角．根据判断出进而得到，从而可知是异面直线与所成角，利用勾股定理即可求出所求答案．
试题解析：（1）取中点，连接，
依条件可知，
则为所求二面角的平面角．
∵ 面，
∴为侧棱与底面所成的角．
设，，
．
（2）连接为异面直线与所成的角．
平面．又OE平面，．
，
考点：空间角的求解
21. 已知圆：关于直线：对称的图形为圆.
（1）求圆的方程；
（2）直线：，与圆交于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）设圆的圆心为，则由题意得，求出的值，从而可得所求圆的方程；
（2）设圆心到直线：的距离为，原点到直线：的距离为，则有，，再由的面积为，列方程可求出的值，进而可得直线方程
【详解】解：（1）设圆的圆心为，由题意可得，
则的中点坐标为，
因为圆：关于直线：对称的图形为圆，
所以，解得，
因为圆和圆半径相同，即，
所以圆的方程为，
（2）设圆心到直线：的距离为，原点到直线：的距离为，
则，，
所以
所以，解得，
因为，所以，
所以直线的方程为
【点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离为，原点到直线的距离为，再表示出，从而由的面积为，得，进而可求出的值，问题得到解决，考查计算能力，属于中档题
22. 已知如图，在直三棱柱中，，且，是的中点，是的中点，点在直线上.

（1）若为中点，求证：平面；
（2）证明：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取中点为，连接，，首先说明四边形是平行四边形，即可得，根据线面平行判定定理即可得结果；（2）连接，利用得到，再通过平面得到 ，进而平面，即可得最后结果.
【详解】（1）证明：取中点为，连接，，
在中，， 又
所以，，即四边形是平行四边形.
故，
又 平面，平面，
所以，平面.
（2）证明：连接，在正方形中，，
所以，与互余，故，
又，，，
所以，平面，又平面，
故 又 ,
所以平面 又平面，
所以
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，通过线线垂直线面垂直线面垂直的过程，属于中档题.在证明线面平行中，常见的方法有以下几种：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形得到线线平行；3、构造面面平行等.