2021年九年级数学中考二轮复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练（word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 2021年九年级数学中考二轮复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练（word版，含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-22 10:19:20 | ||
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文档简介
2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练
1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
（1）点A的坐标为
．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．
（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；
（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．
4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接PA，PB，试求出当PA+PB的值最小时点P的坐标；
（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；
（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；
（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；
（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．
8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求a，k，b的值．
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（3）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在x轴是否存在一点P，使得△POD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该二次函数图象顶点为D，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转180°得到新抛物线的顶点记为E，与x轴的交点记为F、G（点F在点G的左侧），若四边形DBEF是矩形，求点P的坐标；
（3）若抛物线与y轴交于点C，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，在平移后的抛物线上是否存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）①点A坐标为（
，
），点B坐标为（
，
）
②求出图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴上有一点E，在抛物线上有一点F，能否以A、B、E、F四点构造平行四边形？如果能，请直接写出E点的坐标；如果不能，请说明理由．
16．如图，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，与抛物线交于点E，点P在抛物线上且P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AE上方的抛物线上一动（不与A、E重合），过点P向x轴作垂线交直线AE于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式；
（3）连接PA，使得∠PAD＝45°，求P点的坐标．
2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练答案
1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据点B的坐标为（1，0），OC＝4OB可得出C点坐标，再把A，B，C两点的坐标代入抛物线的解析式求出a，c的值即可；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线AC的解析式，故可得出DM＝﹣（x+2）2+4，即可得出结论；
（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4得出x的值即可得出P点坐标．
解：（1）∵OC＝4OB，B（1，0），
∴C（0，﹣4），
把点A，B，C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线线的解析式为：y＝x2+3x﹣4；
（2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
∵A（﹣4，0），B的坐标为（1，0），
∴AB＝5，
∴S△ACD＝DM×（AN+ON）＝DM?OA＝2DM，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴，解得，
故直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣4．
令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），则DM＝﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）＝﹣（x+2）2+4，
当x＝﹣2时，DM有最大值4，
故三角形ACD面积的最大值＝2DM＝8；
（3）①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4＝﹣4，
∴x＝0或x＝﹣3．
∴P1（﹣3，﹣4）．
②如图3，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣4），
∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4，得x2+3x﹣8＝0．
解得x＝或x＝．
此时存在点P2（，4）和P3（，4）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
（1）点A的坐标为 （4，0） ．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．
（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．
分析：（1）解方程即可得到A点的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
（4）用m可表示出P、F、E的坐标，由题意可知有F为线段PE的中点、P为线段EF的中点或E为线段PF的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．
解：（1）在y＝+2中，令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0）；
故答案为：（4，0）；
（2）∵在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），
∵△BEF和△APF相似，且∠BFE＝∠AFP，
∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，
当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE，
∴E点的纵坐标为2，
∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，
如图1，当∠EBF＝90°时，过点E作EC⊥y轴于点C，
则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BEC，
∴Rt△ECB∽Rt△BOA，
∴＝，
∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，
解得，m＝，
综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，；
（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），
∵E、F、P三点为“共谐点”，
∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，
当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；
当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；
当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；
综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．
点评：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；
（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，先确定直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），所以PQ＝﹣x2+5x，利用三角形面积公式得到S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ，则﹣x2+5x＝6，然后解方程求出x即可得到P点坐标；
（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，先证明△BME≌MNF得到ME＝NF＝t，BE＝MF＝2t，则N（3t，﹣t+4），接着把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4；然后表示出点N关于点M的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4；当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，通过证明△BME≌NBF得到ME＝BF＝t，BE＝NF＝2t，则N（2t，t+4），然后把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，最后分别解关于t的方程可得到满足条件的M点坐标．
解：（1）解：根据题意得，解得：b＝3，c＝4，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵C为OA的中点，
∴C点坐标是（2，0）
作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（0，4），C（2，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；
设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），
∴PQ＝﹣x2+3x+4﹣（﹣2x+4）＝﹣x2+5x，
∵S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ?2＝PQ，
∴﹣x2+5x＝6，
整理得x2﹣5x+6＝0，解得x1＝3，x2＝2，
∴P点坐标为（3，4）或（2，6）；
（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），
当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，
∵△BMN为等腰直角三角形，
∴BM＝MN，
易得△BME≌MNF（AAS），则ME＝NF＝t，BE＝MF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，
∴N（3t，﹣t+4），
把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；
点N（3t，﹣t+4）关于点M（t，﹣2t+4）的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），
把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4，解得t1＝t2＝0（舍去）；
当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，
∵△BMN为等腰直角三角形，
∴BM＝BN，
易得△BME≌NBF（AAS），则ME＝BF＝t，BE＝NF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，
∴N（2t，t+4），
把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；
综上所述，M点坐标为（，）或（，）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
分析：（1）把a＝﹣2代入y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，解方程得到点C（0，﹣6），根据勾股定理即可得到结论；
（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，根据三角形的中位线的性质得到DG＝2AE＝﹣2a，求得BD＝DG+BG＝﹣5a，当△OBD为等腰三角形时，①当OB＝BD＝﹣5a，②当OD＝BD＝﹣5a时，③当OD＝OB时，DG＝BG，解方程即可得到结果；
（3）根据已知条件得到点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，求得n＝a，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：（1）当a＝﹣2时，y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，
当x＝0时，得y＝﹣6，
∴点C（0，﹣6），
当y＝﹣6时，即﹣6＝﹣2x2+8x﹣6，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴点B（4，﹣6），
∴BC＝4，OC＝6，
∴OB═＝2；
（2）在y＝a（x﹣1）（x﹣3）中，令x＝0，得y＝3a，
∴C（0，3a），B（4，3a），
∵点A是抛物线的顶点，
∴A（2，﹣a），
过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，
将BD与x轴的交点记为点G，
则E为OG的中点，
∵AE∥BD，
∴DG＝2AE＝﹣2a，
∴BD＝DG+BG＝﹣5a，
当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：
①当OB＝BD＝﹣5a，在Rt△OBC中，BC＝﹣4a＝4，
∴a＝﹣1，
②当OD＝BD＝﹣5a时，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2＝16，
∴a＝﹣（由于a＜0，所以已负数舍去）；
③当OD＝OB时，DG＝BG，但﹣2a≠﹣3a，
∴此种情况不可能；
∴a＝﹣1或﹣（由于a＜0，所以舍去）；
（3）∵BD＝DG+BG＝﹣5a，
∵点M是△OBD的外心，
∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD垂直于x轴，
∴n＝﹣a，
∵M（m，n），D（4，﹣2a），
∴（﹣a）2+m2＝（﹣a）2+（4﹣m）2，
∴8m＝6a2+16，
∵n＝a，
∴8m＝24n2+16，
整理上式，得：m＝3n2+2．
点评：本题考查了二次函数的综合题，求函数的解析式，勾股定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接PA，PB，试求出当PA+PB的值最小时点P的坐标；
（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．
分析：（1）将点A、B的坐标代入可得出b、c的值，继而得出这个抛物线的解析式；
（2）由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法确定直线BC的解析式，然后求得该直线与y轴的交点坐标即可；
（3）如图2，QH交BC于E，设Q（t，0），根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设P点的坐标为（a，0），E（a，a+5），H（a，﹣a2﹣4a+5）．
然后分类讨论：分别利用EH＝EQ或EH＝EQ，列关于a的方程，然后分别解关于t的方程，从而得到Q点坐标．
解：（1）将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c．
得
解这个方程组，得，
所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）如图1，由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，
由y＝﹣x2﹣4x+5，令y＝0，得﹣x2﹣4x+5＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴C点的坐标为（﹣5，0），
又B（0，5），
∴易得直线BC的解析式为：y＝x+5．
∴当x＝﹣2时，y＝3，
∴点P坐标（﹣2，3）；
（3）设Q点的坐标为（a，0），
所以BC所在的直线方程为y＝x+5．那么，QH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），
QH与抛物线y＝﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．
由题意，得
①EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），
解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去）．
②EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），
解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去），
综上所述，Q点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．
点评：本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；
（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；
（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．
分析：（1）用顶点式求解即可；
（2）设点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），用S△BDG＝?EG?（xD﹣xB）即可求解；
（3）通过证△MNP′≌MDP′（AAS），求而出P点对应点为P′坐标即可求解；
（4）分当点H在E上（下）方两种情况画图，①利用BE＝BQ，②利用△BQR∽△DEP即可求解．
解：（1）由A、B、C点的坐标，可知D点坐标为（﹣1，4），
设：二次函数表达式为：y＝a（x+1）2+4，
将点B的坐标（﹣3，0）代入表达式，解得：a＝﹣1，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设：点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），
设：直线BD的表达式为y＝kx+b，直线过B（﹣3，0）、D（﹣1，4），
将点B、D坐标代入直线方程，则：k＝2，b＝6，
y＝2x+6，
∵点G、E横坐标相同，则E（m，2m+6），
∴EG＝yG﹣yE＝﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣6＝﹣m2﹣4m﹣3，
∴S△BDG＝?EG?（xD﹣xB）＝﹣（m+2）2+1，
∴当m＝﹣2时，S△BDG面积最大值为1；
（3）如图所示P点对应点为P′，PP′交BD于M点，过P′作P′H⊥轴，交BD于N点，
则：△MNP′≌MDP′（AAS），
∴P′N＝PD，DM＝MN，
设运动的时间为t，则PD＝P′N＝t，
∵BC＝2，CD＝4，∴tan∠BDC＝＝，
在△DMP中，DP＝t，PM＝P′M＝t，DM＝MN＝t，
∴DN＝t，BN＝BD﹣DN＝2﹣t，
∴BH＝2﹣t，HN＝4﹣t；
∴HP′＝HN+NP′＝4﹣t，
OH＝OB﹣HB＝1+t，
∴点P′坐标为（﹣1﹣t，4﹣t），
∵P′在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3上，
将P点坐标代入二次函数化简得：16t2﹣15t＝0，
t＝，t＝0（舍去）；
答：t的值为时，点P的对应点P′恰好落在抛物线上；
（4）①如左图所示，当点H在E上方时，
∵四边形BEHQ为菱形，则BE＝BQ，
过点E作EP⊥DC，在Rt△DPE中，tan∠BPD＝，BD＝2，
则BE＝BD﹣ED＝2﹣，
BE＝2﹣＝BQ＝t，解得：t＝20﹣8，
∴菱形BEHQ周长＝4?BQ＝80﹣32；
②如右图所示，当点H在点E下方时，
连接QH交BE于R，则QH⊥EB，过点E作EP⊥y轴，
易证：△BQR∽△DEP，∴…①，
由题意得：BQ＝DP＝t，tan∠ABD＝tan∠BDC＝，
BR＝t＝ER，ED＝2﹣t，
代入①式解得：t＝，
∴菱形BEHQ周长＝4?BQ＝；
答：在矩形ABCD内存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，其周长为或80﹣32．
点评：本题是二次函数压轴题，涉及到解直角三角形、三角形全等、形似等知识点，根据题目正确画出图形是这类题目的关键．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；
（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．
分析：（1）由对称性可得B（﹣3，0），根据交点式可求解析式．
（2）分BC＝BM，BC＝CM，BM＝CM三种情况讨论可得M点坐标
（3）设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3），用a表示S△PBC，根据二次函数的最值问题可求P点坐标
解：（1）∵对称轴是直线x＝﹣，点A（2，0）
∴B（﹣3，0）
∴设抛物线解析式y＝a（x﹣2）（x+3）且过C（0，3）
∴a＝﹣
∴抛物线解析式y＝﹣（x﹣2）（x+3）＝﹣x2﹣x+3
（2）∵B（﹣3，0），C（0，3）
∴BC＝3
若BC＝BM＝3
∴M（﹣3﹣3，0）（不合题意舍去）或M（﹣3+3，0）
若BC＝CM＝3
∴M（3，0）
若BM＝CM
∴在Rt△CMA中，CM2＝（3﹣CM）2+CO2
∴CM＝3
∴M（0，0）
∴M点坐标为（0，0），（﹣3+3，0）
（3）∵B（﹣3，0），C（0，3）
∴直线BC解析式y＝x+3
如图作PD⊥x轴交直线BC于D，
设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3）
∴PD＝﹣a2﹣a+3﹣a﹣3＝a2﹣a
∴S△PCB＝×（﹣a2﹣a）×3＝﹣a2﹣a
∵﹣＜0
∴当x＝﹣时，S△PBC
最大值为
∴P（﹣，）
点评：本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想，关键是灵活运用二次函数的性质解决问题．
8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
分析：（1）先把A点坐标代入y＝﹣3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），由于S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，S△PAB＝2S△AOB，则S△POB﹣S△POA＝S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，?3?（﹣x）﹣?1?（﹣x2﹣2x+3）＝?1?3，当P点在x轴下方时，?3?（﹣x）+?1?（x2+2x﹣3）＝?1?3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；
（3）解方程﹣x2﹣2x+3＝0得C（﹣3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE＝BE＝（3﹣t），接着利用tan∠MCB＝tan∠ABO得到＝＝，所以3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y＝x+，然后解方程组得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，设N（k，﹣3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN＝，再利用两点间的距离公式得到（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，解方程求出t得N点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，然后解方程组得此时M点坐标．
解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣3x+c得﹣3+c＝0，解得c＝3，则B（0，3），
把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），
当P点在x轴上方，
S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，
∵S△PAB＝2S△AOB，
∴S△POB﹣S△POA＝S△ABO，
当P点在x轴下方．
易得S△POB+S△POA＝S△ABO，
当P点在x轴上方时，?3?（﹣x）﹣?1?（﹣x2﹣2x+3）＝?1?3，解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），此时P点坐标为（﹣2，3）；
当P点在x轴下方时，?3?（﹣x）+?1?（x2+2x﹣3）＝?1?3，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3（舍去），
综上所述，P点坐标为（﹣2，3）；
（3）存在．
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，则C（﹣3，0），
∵OC＝OB＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3，
当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），
∵∠DBE＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE＝BE＝BD＝（3﹣t），
∵∠MCB＝∠ABO，
∴tan∠MCB＝tan∠ABO，
∴＝＝，即CE＝3DE，
∴3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解得t＝，则D（0，），
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把C（﹣3，0），D（0，）代入得，解得，
∴直线CD的解析式为y＝x+，
解方程组得或，此时M点坐标为（，）；
当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，
易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，AB＝，AC
设N（k，﹣3k+3），
∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，
∴∠NCA＝∠ABC，
而∠BAC＝∠CAN，
∴△ABC∽△ACN，
∴AB：AC＝AC：AN，即：4＝4：AN，
∴AN＝，
∴（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，
整理得（k﹣1）2＝，解得k1＝（舍去），k2＝﹣，
∴N点坐标为（﹣，），
易得直线CN的解析式为y＝2x+6，
解方程组，得或，此时M点坐标为（﹣1，4），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（，）或（﹣1，4）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设顶点式y＝a（x+2）2﹣8，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）如图，先确定C（0，﹣6），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6），所以PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6），然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设M（﹣2，t），利用两点间的距离公式得到AC2＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，利用勾股定理的逆定理进行讨论：当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2；当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2；当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，然后分别解关于t的方程得到对应的M点坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣8，
把A（﹣6，0）代入得a（﹣6+2）2﹣8＝0，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣8，即y＝x2+2x﹣6；
（2）如图，当x＝0时，y＝x2+2x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，0），C（0，﹣6）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，
设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6）
∴PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+3）2+，
当x＝﹣3时，PE的长度有最大值，最大值为，此时P点坐标为（﹣3，﹣）；
（3）存在．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设M（﹣2，t），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴AC2＝62+62＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，
当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2，解得t＝4，此时M点坐标为（﹣2，4）；
当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2，解得t＝﹣8，此时M点坐标为（﹣2，﹣8）；
当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，解得t1＝﹣3+，t2＝﹣3﹣，此时M点坐标为（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．
综上所述，M点的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣8）或（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH＝OC＝4，即可求得OD的长；
（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF＝∠EDF，由于tan∠ECF＝＝＝，即可求得tan∠FDE＝；
②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED＝45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°，求得直线CE的解析式为y＝﹣x+4，即可设出直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，直线DG2的解析式为y＝3x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．
解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，
∴，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）如图2，
∵点F恰好在抛物线上，C（0，4），
∴F的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝﹣x2+x+4，解得x＝0或x＝6，
∴F（6，4），
∴OH＝6，
∵∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠EDH＝90°，
∴∠OCD＝∠EDH，
在△OCD和△HDE中，
，
∴△OCD≌△HDE（AAS），
∴DH＝OC＝4，
∴OD＝6﹣4＝2；
（3）①如图3，
连接CE，
∵△OCD≌△HDE，
∴HE＝OD＝2，
∵BF＝OC＝4，
∴EF＝4﹣2＝2，
∵∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴C、D、E、F四点共圆，
∴∠ECF＝∠EDF，
在RT△CEF中，∵CF＝OH＝6，
∴tan∠ECF＝＝＝，
∴tan∠FDE＝；
②如图4，连接CE，
∵CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CED＝45°，
过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°
∵EH＝2，OH＝6，∴E（6，2），
∵C（0，4），
∴直线CE的解析式为y＝﹣x+4，
设直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，
∵D（2，0），
∴0＝﹣×2+m，解得m＝，
∴直线DG1的解析式为y＝﹣x+，
当x＝6时，y＝﹣×6+＝﹣，
∴G1（6，﹣）；
设直线DG2的解析式为y＝3x+n，
∵D（2，0），
∴0＝3×2+n，解得n＝﹣6，
∴直线DG2的解析式为y＝3x﹣6，
当x＝6时，y＝3×6﹣6＝12，
∴G2（6，12）．
综上，在直线l上，存在点G，使∠EDG＝45°，点G的坐标为（6，﹣）或（6，12）．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
分析：（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴a＝，
解得：a＝．
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣．
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q点的横坐标为6，
此时QD显然不垂直于AD，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
12．如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求a，k，b的值．
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（3）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据待定系数法得出a，k，b的值；
（2）观察函数图象，即可得出不等式的解集；
（3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；
（4）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，解得，
∴a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2；
（2）观察函数图象可知，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2；
（3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，
∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），
∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，
＝×AC?PD+×BC?PE﹣×BC?AC，
＝×3×（m+1）×3×（﹣m2+4）﹣×3×3，
＝﹣m2+m+3．
∵﹣＜0，m＝﹣＝，
而﹣1＜m＜2，
∴当m＝时，S△APB的最大值为，此时点P的坐标为（，﹣）；
（4）存在三组符合条件的点．
当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，
解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．
故：P、Q的坐标分别为（﹣3，﹣9）、（0，﹣12）或（3，﹣9）、（0，﹣6）或（1，﹣1）、（0，﹣4）．
点评：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在x轴是否存在一点P，使得△POD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．
分析：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C
（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）∵D点坐标为（1，4），点O（0，0），
∴OD＝＝，
如图，当OD＝OP＝时，则点P（，0）或（﹣，0）；
当DO＝PD时，过点D作DH⊥x轴，
∴OH＝OP＝1，DH＝4，
∴点P（2，0），
当OP＝DP时，
∵DP2＝DH2+HP2，
∴OP2＝16+（OP﹣1）2，
∴OP＝，
∴点P（，0），
综上所述：点P坐标为（，0）或（﹣，0）或（2，0）或（，0）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该二次函数图象顶点为D，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转180°得到新抛物线的顶点记为E，与x轴的交点记为F、G（点F在点G的左侧），若四边形DBEF是矩形，求点P的坐标；
（3）若抛物线与y轴交于点C，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，在平移后的抛物线上是否存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把A、B两点坐标代入解析式，建立二元一次方程组，便可求得解析式；
（2）设P（t，0），根据矩形的性质得P为DE的中点，从而得E的坐标，因旋转前后的抛物线的解析式中二次项系数互为相反数，便可写出旋转后的抛物线的解析，进而求得F点坐标，再根据矩形的性质得DE＝BF，列出t的方程，求得t的值便可；
（3）由题意知，平移后的抛物线的解析式中二次项系数与常数项没变化，只是一次项系数发生了变化，可设出平移后抛物线的解析式，分三种情况：分别以BC、AB、AC为对角线构成平行四边形，由平移知识求出M点的坐标，再把M点坐标分别代入平移后的解析式，求得新抛物线的顶点坐标，再由原抛物线与新抛物线的顶点坐标，便可得各种情形下的平移方式．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．
∴，
∴，
∴此二次函数的解析式：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
设P（t，0），则E（2t﹣1，﹣4），如图1，
∴新抛物线的解析式为：y＝（x﹣2t+1）2﹣4，DE＝，
令y＝0，得（x﹣2t+1）2﹣4＝0，
解得，x＝2t﹣1±2，
∴F（2t﹣3，0），
∴BF＝6﹣2t，
∵四边形DBEF是矩形，
∴DE＝BF，
∴＝6﹣2t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，0）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∵将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，
∴可设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+mx+3，
∵以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，
∴存在三种情况：
①如图2，当四边形ABMC为平行四边形时，则CM∥AB，且CM＝AB，M在第一象限内，则M（4，3），
M（4，3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝4，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴平移后抛物线的顶点为（2，7），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
②如图3，当四边形AMCB为平行四边形时，则CM∥AB，且CM＝AB，M在第二象限内，则M（﹣4，3），
M（﹣4，3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝﹣4，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x+2）2+7，
∴平移后抛物线的顶点为（﹣2，7），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
③如图4，当四边形ACBM为平行四边形时，则AC∥BM，且AC＝BM，M在第四象限内，则M（2，﹣3），
M（2，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝﹣1，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3＝，
∴平移后抛物线的顶点为（，），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
综上，存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，平移方式有三种：
向右平移1个单位，再向上平移3个单位；原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位；原抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位．
点评：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，图形变换：平移与旋转的性质，考查了矩形与平行四边形的存在性问题的探究，难度较大，是中考的压轴题，第（2）小题关键是旋转前后抛物线的解析式的异同，以矩形的对角线相等列方程是突破难点的方法；第（3）小题分情况讨论是一个难点，往往考虑不全面而失分．
15．如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）①点A坐标为（ 0 ， 2 ），点B坐标为（ 4 ， 0 ）
②求出图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴上有一点E，在抛物线上有一点F，能否以A、B、E、F四点构造平行四边形？如果能，请直接写出E点的坐标；如果不能，请说明理由．
分析：（1）①把x＝0，y＝0分别代入解析式可求点A，点B坐标；
②由待定系数法可求解析式；
（2）设点C（x，﹣x2+x+2），可求PC＝﹣（x﹣2）2+2，由二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；
（4）分BE为边或为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
解：（1）①∵直线与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，
∴点A（0，2），点B（4，0）
故答案为：（0，2），（4，0）；
②∵抛物线经过点A、B，
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）设点C（x，﹣x2+x+2），
∵CP∥y轴，
∴点P（x，﹣x+2），
∴PC＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣（x﹣2）2+2，
∵点P在线段AB上运动
∴0≤x≤4，
∴当x＝2时，线段PC的长度的最大值为2；
（3）若点P在第一象限内，如图1，
∵四边形OACP是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴x＝2
∴点P（2，1），
若点P在第二象限内，如图2，
∵四边形OAPC是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣x+2﹣（﹣x2+x+2）
∴x2﹣4x﹣4＝0，
∴x＝2﹣2或x＝2+2（舍去），
∴点P（2﹣2，1+），
若点P在第四象限内，如图3，
∵四边形OAPC是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣x+2﹣（﹣x2+x+2）
∴x2﹣4x﹣4＝0，
∴x＝2﹣2（舍去）或x＝2+2，
∴点P（2+2，1﹣），
综上所述：使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形，满足的点P横坐标为：2或2+2或2﹣2；
（4）若BE是以A、B、E、F四点构造平行四边形的边，则AF∥BE，AF＝BE，
∴点F的纵坐标为2，
∴2＝﹣x2+x+2
∴x＝0（舍去）或x＝3，
∴AF＝3，
∴BE＝3，且点B（4，0），
∴点E（1，0）或（7，0），
若BE是以A、B、E、F四点构造平行四边形的对角线，则AF与BE互相平分，
∴点F的纵坐标为﹣2，
∴﹣2＝﹣x2+x+2
∴x＝或x＝，
∴AF的中点坐标为（，0），
∴点E的坐标为（，0）或（，0），
综上所述：点E的坐标为：（1，0）或（7，0）或（，0）或（，0）．
点评：本题是二次函数综合题，待定系数法求解析式，最值问题，平行四边形的性质，中点坐标等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
16．如图，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，与抛物线交于点E，点P在抛物线上且P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AE上方的抛物线上一动（不与A、E重合），过点P向x轴作垂线交直线AE于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式；
（3）连接PA，使得∠PAD＝45°，求P点的坐标．
分析：（1）抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3），则c＝3，将点B坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣a﹣2a+3，即可求解；
（2）m＝PQ＝﹣t+3+t2﹣2t﹣3＝t2﹣t，即可求解；
（3）tan∠ADO＝＝，设AH＝x＝MH，则HD＝＝2x，AH+DH＝AD＝＝3＝3x，解得：x＝，AM＝x＝，则OM＝＝＝1，即可求解．
解：（1）抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3），则c＝3，
将点B坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣a﹣2a+3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）P的横坐标为t，则点P（t，﹣t2+2t+3）、点Q（t，﹣t+3），
m＝PQ＝﹣t+3+t2﹣2t﹣3＝t2﹣t，
将y＝﹣x+3与y＝﹣x2+2x+3联立并解得：x＝，
故：m＝t2﹣t，（t＜0或t＞）；
（3）如图，故点M作MH⊥AD交DA于点H，
直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，则点D（6，0），
tan∠ADO＝＝，
设：AH＝x＝MH，则HD＝＝2x，
AH+DH＝AD＝＝3＝3x，
解得：x＝，
AM＝x＝，
则OM＝＝＝1，
即点M（1，0），
同理可得：直线AM（AP）的函数表达式为：y＝﹣3x+3…②，
联立①②并解得：x＝5或0（舍去0），
故点P（5，﹣12）．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3），利用解直角三角形的方法求解AM的长度，是本题的亮点
1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
（1）点A的坐标为
．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．
（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；
（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．
4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接PA，PB，试求出当PA+PB的值最小时点P的坐标；
（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；
（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；
（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；
（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．
8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求a，k，b的值．
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（3）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在x轴是否存在一点P，使得△POD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该二次函数图象顶点为D，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转180°得到新抛物线的顶点记为E，与x轴的交点记为F、G（点F在点G的左侧），若四边形DBEF是矩形，求点P的坐标；
（3）若抛物线与y轴交于点C，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，在平移后的抛物线上是否存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）①点A坐标为（
，
），点B坐标为（
，
）
②求出图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴上有一点E，在抛物线上有一点F，能否以A、B、E、F四点构造平行四边形？如果能，请直接写出E点的坐标；如果不能，请说明理由．
16．如图，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，与抛物线交于点E，点P在抛物线上且P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AE上方的抛物线上一动（不与A、E重合），过点P向x轴作垂线交直线AE于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式；
（3）连接PA，使得∠PAD＝45°，求P点的坐标．
2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练答案
1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据点B的坐标为（1，0），OC＝4OB可得出C点坐标，再把A，B，C两点的坐标代入抛物线的解析式求出a，c的值即可；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线AC的解析式，故可得出DM＝﹣（x+2）2+4，即可得出结论；
（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4得出x的值即可得出P点坐标．
解：（1）∵OC＝4OB，B（1，0），
∴C（0，﹣4），
把点A，B，C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线线的解析式为：y＝x2+3x﹣4；
（2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
∵A（﹣4，0），B的坐标为（1，0），
∴AB＝5，
∴S△ACD＝DM×（AN+ON）＝DM?OA＝2DM，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴，解得，
故直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣4．
令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），则DM＝﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）＝﹣（x+2）2+4，
当x＝﹣2时，DM有最大值4，
故三角形ACD面积的最大值＝2DM＝8；
（3）①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4＝﹣4，
∴x＝0或x＝﹣3．
∴P1（﹣3，﹣4）．
②如图3，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣4），
∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4，得x2+3x﹣8＝0．
解得x＝或x＝．
此时存在点P2（，4）和P3（，4）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
（1）点A的坐标为 （4，0） ．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．
（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．
分析：（1）解方程即可得到A点的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
（4）用m可表示出P、F、E的坐标，由题意可知有F为线段PE的中点、P为线段EF的中点或E为线段PF的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．
解：（1）在y＝+2中，令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0）；
故答案为：（4，0）；
（2）∵在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），
∵△BEF和△APF相似，且∠BFE＝∠AFP，
∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，
当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE，
∴E点的纵坐标为2，
∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，
如图1，当∠EBF＝90°时，过点E作EC⊥y轴于点C，
则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BEC，
∴Rt△ECB∽Rt△BOA，
∴＝，
∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，
解得，m＝，
综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，；
（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），
∵E、F、P三点为“共谐点”，
∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，
当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；
当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；
当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；
综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．
点评：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；
（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，先确定直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），所以PQ＝﹣x2+5x，利用三角形面积公式得到S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ，则﹣x2+5x＝6，然后解方程求出x即可得到P点坐标；
（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，先证明△BME≌MNF得到ME＝NF＝t，BE＝MF＝2t，则N（3t，﹣t+4），接着把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4；然后表示出点N关于点M的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4；当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，通过证明△BME≌NBF得到ME＝BF＝t，BE＝NF＝2t，则N（2t，t+4），然后把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，最后分别解关于t的方程可得到满足条件的M点坐标．
解：（1）解：根据题意得，解得：b＝3，c＝4，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵C为OA的中点，
∴C点坐标是（2，0）
作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（0，4），C（2，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；
设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），
∴PQ＝﹣x2+3x+4﹣（﹣2x+4）＝﹣x2+5x，
∵S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ?2＝PQ，
∴﹣x2+5x＝6，
整理得x2﹣5x+6＝0，解得x1＝3，x2＝2，
∴P点坐标为（3，4）或（2，6）；
（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），
当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，
∵△BMN为等腰直角三角形，
∴BM＝MN，
易得△BME≌MNF（AAS），则ME＝NF＝t，BE＝MF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，
∴N（3t，﹣t+4），
把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；
点N（3t，﹣t+4）关于点M（t，﹣2t+4）的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），
把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4，解得t1＝t2＝0（舍去）；
当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，
∵△BMN为等腰直角三角形，
∴BM＝BN，
易得△BME≌NBF（AAS），则ME＝BF＝t，BE＝NF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，
∴N（2t，t+4），
把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；
综上所述，M点坐标为（，）或（，）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
分析：（1）把a＝﹣2代入y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，解方程得到点C（0，﹣6），根据勾股定理即可得到结论；
（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，根据三角形的中位线的性质得到DG＝2AE＝﹣2a，求得BD＝DG+BG＝﹣5a，当△OBD为等腰三角形时，①当OB＝BD＝﹣5a，②当OD＝BD＝﹣5a时，③当OD＝OB时，DG＝BG，解方程即可得到结果；
（3）根据已知条件得到点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，求得n＝a，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：（1）当a＝﹣2时，y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，
当x＝0时，得y＝﹣6，
∴点C（0，﹣6），
当y＝﹣6时，即﹣6＝﹣2x2+8x﹣6，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴点B（4，﹣6），
∴BC＝4，OC＝6，
∴OB═＝2；
（2）在y＝a（x﹣1）（x﹣3）中，令x＝0，得y＝3a，
∴C（0，3a），B（4，3a），
∵点A是抛物线的顶点，
∴A（2，﹣a），
过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，
将BD与x轴的交点记为点G，
则E为OG的中点，
∵AE∥BD，
∴DG＝2AE＝﹣2a，
∴BD＝DG+BG＝﹣5a，
当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：
①当OB＝BD＝﹣5a，在Rt△OBC中，BC＝﹣4a＝4，
∴a＝﹣1，
②当OD＝BD＝﹣5a时，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2＝16，
∴a＝﹣（由于a＜0，所以已负数舍去）；
③当OD＝OB时，DG＝BG，但﹣2a≠﹣3a，
∴此种情况不可能；
∴a＝﹣1或﹣（由于a＜0，所以舍去）；
（3）∵BD＝DG+BG＝﹣5a，
∵点M是△OBD的外心，
∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD垂直于x轴，
∴n＝﹣a，
∵M（m，n），D（4，﹣2a），
∴（﹣a）2+m2＝（﹣a）2+（4﹣m）2，
∴8m＝6a2+16，
∵n＝a，
∴8m＝24n2+16，
整理上式，得：m＝3n2+2．
点评：本题考查了二次函数的综合题，求函数的解析式，勾股定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接PA，PB，试求出当PA+PB的值最小时点P的坐标；
（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．
分析：（1）将点A、B的坐标代入可得出b、c的值，继而得出这个抛物线的解析式；
（2）由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法确定直线BC的解析式，然后求得该直线与y轴的交点坐标即可；
（3）如图2，QH交BC于E，设Q（t，0），根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设P点的坐标为（a，0），E（a，a+5），H（a，﹣a2﹣4a+5）．
然后分类讨论：分别利用EH＝EQ或EH＝EQ，列关于a的方程，然后分别解关于t的方程，从而得到Q点坐标．
解：（1）将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c．
得
解这个方程组，得，
所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）如图1，由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，
由y＝﹣x2﹣4x+5，令y＝0，得﹣x2﹣4x+5＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴C点的坐标为（﹣5，0），
又B（0，5），
∴易得直线BC的解析式为：y＝x+5．
∴当x＝﹣2时，y＝3，
∴点P坐标（﹣2，3）；
（3）设Q点的坐标为（a，0），
所以BC所在的直线方程为y＝x+5．那么，QH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），
QH与抛物线y＝﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．
由题意，得
①EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），
解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去）．
②EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），
解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去），
综上所述，Q点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．
点评：本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；
（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；
（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．
分析：（1）用顶点式求解即可；
（2）设点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），用S△BDG＝?EG?（xD﹣xB）即可求解；
（3）通过证△MNP′≌MDP′（AAS），求而出P点对应点为P′坐标即可求解；
（4）分当点H在E上（下）方两种情况画图，①利用BE＝BQ，②利用△BQR∽△DEP即可求解．
解：（1）由A、B、C点的坐标，可知D点坐标为（﹣1，4），
设：二次函数表达式为：y＝a（x+1）2+4，
将点B的坐标（﹣3，0）代入表达式，解得：a＝﹣1，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设：点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），
设：直线BD的表达式为y＝kx+b，直线过B（﹣3，0）、D（﹣1，4），
将点B、D坐标代入直线方程，则：k＝2，b＝6，
y＝2x+6，
∵点G、E横坐标相同，则E（m，2m+6），
∴EG＝yG﹣yE＝﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣6＝﹣m2﹣4m﹣3，
∴S△BDG＝?EG?（xD﹣xB）＝﹣（m+2）2+1，
∴当m＝﹣2时，S△BDG面积最大值为1；
（3）如图所示P点对应点为P′，PP′交BD于M点，过P′作P′H⊥轴，交BD于N点，
则：△MNP′≌MDP′（AAS），
∴P′N＝PD，DM＝MN，
设运动的时间为t，则PD＝P′N＝t，
∵BC＝2，CD＝4，∴tan∠BDC＝＝，
在△DMP中，DP＝t，PM＝P′M＝t，DM＝MN＝t，
∴DN＝t，BN＝BD﹣DN＝2﹣t，
∴BH＝2﹣t，HN＝4﹣t；
∴HP′＝HN+NP′＝4﹣t，
OH＝OB﹣HB＝1+t，
∴点P′坐标为（﹣1﹣t，4﹣t），
∵P′在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3上，
将P点坐标代入二次函数化简得：16t2﹣15t＝0，
t＝，t＝0（舍去）；
答：t的值为时，点P的对应点P′恰好落在抛物线上；
（4）①如左图所示，当点H在E上方时，
∵四边形BEHQ为菱形，则BE＝BQ，
过点E作EP⊥DC，在Rt△DPE中，tan∠BPD＝，BD＝2，
则BE＝BD﹣ED＝2﹣，
BE＝2﹣＝BQ＝t，解得：t＝20﹣8，
∴菱形BEHQ周长＝4?BQ＝80﹣32；
②如右图所示，当点H在点E下方时，
连接QH交BE于R，则QH⊥EB，过点E作EP⊥y轴，
易证：△BQR∽△DEP，∴…①，
由题意得：BQ＝DP＝t，tan∠ABD＝tan∠BDC＝，
BR＝t＝ER，ED＝2﹣t，
代入①式解得：t＝，
∴菱形BEHQ周长＝4?BQ＝；
答：在矩形ABCD内存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，其周长为或80﹣32．
点评：本题是二次函数压轴题，涉及到解直角三角形、三角形全等、形似等知识点，根据题目正确画出图形是这类题目的关键．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；
（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．
分析：（1）由对称性可得B（﹣3，0），根据交点式可求解析式．
（2）分BC＝BM，BC＝CM，BM＝CM三种情况讨论可得M点坐标
（3）设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3），用a表示S△PBC，根据二次函数的最值问题可求P点坐标
解：（1）∵对称轴是直线x＝﹣，点A（2，0）
∴B（﹣3，0）
∴设抛物线解析式y＝a（x﹣2）（x+3）且过C（0，3）
∴a＝﹣
∴抛物线解析式y＝﹣（x﹣2）（x+3）＝﹣x2﹣x+3
（2）∵B（﹣3，0），C（0，3）
∴BC＝3
若BC＝BM＝3
∴M（﹣3﹣3，0）（不合题意舍去）或M（﹣3+3，0）
若BC＝CM＝3
∴M（3，0）
若BM＝CM
∴在Rt△CMA中，CM2＝（3﹣CM）2+CO2
∴CM＝3
∴M（0，0）
∴M点坐标为（0，0），（﹣3+3，0）
（3）∵B（﹣3，0），C（0，3）
∴直线BC解析式y＝x+3
如图作PD⊥x轴交直线BC于D，
设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3）
∴PD＝﹣a2﹣a+3﹣a﹣3＝a2﹣a
∴S△PCB＝×（﹣a2﹣a）×3＝﹣a2﹣a
∵﹣＜0
∴当x＝﹣时，S△PBC
最大值为
∴P（﹣，）
点评：本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想，关键是灵活运用二次函数的性质解决问题．
8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
分析：（1）先把A点坐标代入y＝﹣3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），由于S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，S△PAB＝2S△AOB，则S△POB﹣S△POA＝S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，?3?（﹣x）﹣?1?（﹣x2﹣2x+3）＝?1?3，当P点在x轴下方时，?3?（﹣x）+?1?（x2+2x﹣3）＝?1?3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；
（3）解方程﹣x2﹣2x+3＝0得C（﹣3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE＝BE＝（3﹣t），接着利用tan∠MCB＝tan∠ABO得到＝＝，所以3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y＝x+，然后解方程组得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，设N（k，﹣3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN＝，再利用两点间的距离公式得到（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，解方程求出t得N点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，然后解方程组得此时M点坐标．
解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣3x+c得﹣3+c＝0，解得c＝3，则B（0，3），
把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），
当P点在x轴上方，
S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，
∵S△PAB＝2S△AOB，
∴S△POB﹣S△POA＝S△ABO，
当P点在x轴下方．
易得S△POB+S△POA＝S△ABO，
当P点在x轴上方时，?3?（﹣x）﹣?1?（﹣x2﹣2x+3）＝?1?3，解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），此时P点坐标为（﹣2，3）；
当P点在x轴下方时，?3?（﹣x）+?1?（x2+2x﹣3）＝?1?3，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3（舍去），
综上所述，P点坐标为（﹣2，3）；
（3）存在．
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，则C（﹣3，0），
∵OC＝OB＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3，
当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），
∵∠DBE＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE＝BE＝BD＝（3﹣t），
∵∠MCB＝∠ABO，
∴tan∠MCB＝tan∠ABO，
∴＝＝，即CE＝3DE，
∴3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解得t＝，则D（0，），
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把C（﹣3，0），D（0，）代入得，解得，
∴直线CD的解析式为y＝x+，
解方程组得或，此时M点坐标为（，）；
当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，
易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，AB＝，AC
设N（k，﹣3k+3），
∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，
∴∠NCA＝∠ABC，
而∠BAC＝∠CAN，
∴△ABC∽△ACN，
∴AB：AC＝AC：AN，即：4＝4：AN，
∴AN＝，
∴（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，
整理得（k﹣1）2＝，解得k1＝（舍去），k2＝﹣，
∴N点坐标为（﹣，），
易得直线CN的解析式为y＝2x+6，
解方程组，得或，此时M点坐标为（﹣1，4），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（，）或（﹣1，4）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设顶点式y＝a（x+2）2﹣8，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）如图，先确定C（0，﹣6），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6），所以PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6），然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设M（﹣2，t），利用两点间的距离公式得到AC2＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，利用勾股定理的逆定理进行讨论：当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2；当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2；当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，然后分别解关于t的方程得到对应的M点坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣8，
把A（﹣6，0）代入得a（﹣6+2）2﹣8＝0，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣8，即y＝x2+2x﹣6；
（2）如图，当x＝0时，y＝x2+2x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，0），C（0，﹣6）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，
设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6）
∴PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+3）2+，
当x＝﹣3时，PE的长度有最大值，最大值为，此时P点坐标为（﹣3，﹣）；
（3）存在．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设M（﹣2，t），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴AC2＝62+62＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，
当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2，解得t＝4，此时M点坐标为（﹣2，4）；
当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2，解得t＝﹣8，此时M点坐标为（﹣2，﹣8）；
当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，解得t1＝﹣3+，t2＝﹣3﹣，此时M点坐标为（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．
综上所述，M点的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣8）或（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH＝OC＝4，即可求得OD的长；
（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF＝∠EDF，由于tan∠ECF＝＝＝，即可求得tan∠FDE＝；
②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED＝45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°，求得直线CE的解析式为y＝﹣x+4，即可设出直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，直线DG2的解析式为y＝3x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．
解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，
∴，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）如图2，
∵点F恰好在抛物线上，C（0，4），
∴F的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝﹣x2+x+4，解得x＝0或x＝6，
∴F（6，4），
∴OH＝6，
∵∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠EDH＝90°，
∴∠OCD＝∠EDH，
在△OCD和△HDE中，
，
∴△OCD≌△HDE（AAS），
∴DH＝OC＝4，
∴OD＝6﹣4＝2；
（3）①如图3，
连接CE，
∵△OCD≌△HDE，
∴HE＝OD＝2，
∵BF＝OC＝4，
∴EF＝4﹣2＝2，
∵∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴C、D、E、F四点共圆，
∴∠ECF＝∠EDF，
在RT△CEF中，∵CF＝OH＝6，
∴tan∠ECF＝＝＝，
∴tan∠FDE＝；
②如图4，连接CE，
∵CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CED＝45°，
过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°
∵EH＝2，OH＝6，∴E（6，2），
∵C（0，4），
∴直线CE的解析式为y＝﹣x+4，
设直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，
∵D（2，0），
∴0＝﹣×2+m，解得m＝，
∴直线DG1的解析式为y＝﹣x+，
当x＝6时，y＝﹣×6+＝﹣，
∴G1（6，﹣）；
设直线DG2的解析式为y＝3x+n，
∵D（2，0），
∴0＝3×2+n，解得n＝﹣6，
∴直线DG2的解析式为y＝3x﹣6，
当x＝6时，y＝3×6﹣6＝12，
∴G2（6，12）．
综上，在直线l上，存在点G，使∠EDG＝45°，点G的坐标为（6，﹣）或（6，12）．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
分析：（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴a＝，
解得：a＝．
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣．
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q点的横坐标为6，
此时QD显然不垂直于AD，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
12．如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求a，k，b的值．
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（3）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据待定系数法得出a，k，b的值；
（2）观察函数图象，即可得出不等式的解集；
（3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；
（4）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，解得，
∴a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2；
（2）观察函数图象可知，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2；
（3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，
∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），
∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，
＝×AC?PD+×BC?PE﹣×BC?AC，
＝×3×（m+1）×3×（﹣m2+4）﹣×3×3，
＝﹣m2+m+3．
∵﹣＜0，m＝﹣＝，
而﹣1＜m＜2，
∴当m＝时，S△APB的最大值为，此时点P的坐标为（，﹣）；
（4）存在三组符合条件的点．
当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，
解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．
故：P、Q的坐标分别为（﹣3，﹣9）、（0，﹣12）或（3，﹣9）、（0，﹣6）或（1，﹣1）、（0，﹣4）．
点评：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在x轴是否存在一点P，使得△POD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．
分析：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C
（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）∵D点坐标为（1，4），点O（0，0），
∴OD＝＝，
如图，当OD＝OP＝时，则点P（，0）或（﹣，0）；
当DO＝PD时，过点D作DH⊥x轴，
∴OH＝OP＝1，DH＝4，
∴点P（2，0），
当OP＝DP时，
∵DP2＝DH2+HP2，
∴OP2＝16+（OP﹣1）2，
∴OP＝，
∴点P（，0），
综上所述：点P坐标为（，0）或（﹣，0）或（2，0）或（，0）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该二次函数图象顶点为D，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转180°得到新抛物线的顶点记为E，与x轴的交点记为F、G（点F在点G的左侧），若四边形DBEF是矩形，求点P的坐标；
（3）若抛物线与y轴交于点C，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，在平移后的抛物线上是否存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把A、B两点坐标代入解析式，建立二元一次方程组，便可求得解析式；
（2）设P（t，0），根据矩形的性质得P为DE的中点，从而得E的坐标，因旋转前后的抛物线的解析式中二次项系数互为相反数，便可写出旋转后的抛物线的解析，进而求得F点坐标，再根据矩形的性质得DE＝BF，列出t的方程，求得t的值便可；
（3）由题意知，平移后的抛物线的解析式中二次项系数与常数项没变化，只是一次项系数发生了变化，可设出平移后抛物线的解析式，分三种情况：分别以BC、AB、AC为对角线构成平行四边形，由平移知识求出M点的坐标，再把M点坐标分别代入平移后的解析式，求得新抛物线的顶点坐标，再由原抛物线与新抛物线的顶点坐标，便可得各种情形下的平移方式．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．
∴，
∴，
∴此二次函数的解析式：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
设P（t，0），则E（2t﹣1，﹣4），如图1，
∴新抛物线的解析式为：y＝（x﹣2t+1）2﹣4，DE＝，
令y＝0，得（x﹣2t+1）2﹣4＝0，
解得，x＝2t﹣1±2，
∴F（2t﹣3，0），
∴BF＝6﹣2t，
∵四边形DBEF是矩形，
∴DE＝BF，
∴＝6﹣2t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，0）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∵将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，
∴可设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+mx+3，
∵以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，
∴存在三种情况：
①如图2，当四边形ABMC为平行四边形时，则CM∥AB，且CM＝AB，M在第一象限内，则M（4，3），
M（4，3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝4，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴平移后抛物线的顶点为（2，7），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
②如图3，当四边形AMCB为平行四边形时，则CM∥AB，且CM＝AB，M在第二象限内，则M（﹣4，3），
M（﹣4，3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝﹣4，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x+2）2+7，
∴平移后抛物线的顶点为（﹣2，7），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
③如图4，当四边形ACBM为平行四边形时，则AC∥BM，且AC＝BM，M在第四象限内，则M（2，﹣3），
M（2，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝﹣1，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3＝，
∴平移后抛物线的顶点为（，），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
综上，存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，平移方式有三种：
向右平移1个单位，再向上平移3个单位；原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位；原抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位．
点评：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，图形变换：平移与旋转的性质，考查了矩形与平行四边形的存在性问题的探究，难度较大，是中考的压轴题，第（2）小题关键是旋转前后抛物线的解析式的异同，以矩形的对角线相等列方程是突破难点的方法；第（3）小题分情况讨论是一个难点，往往考虑不全面而失分．
15．如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）①点A坐标为（ 0 ， 2 ），点B坐标为（ 4 ， 0 ）
②求出图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴上有一点E，在抛物线上有一点F，能否以A、B、E、F四点构造平行四边形？如果能，请直接写出E点的坐标；如果不能，请说明理由．
分析：（1）①把x＝0，y＝0分别代入解析式可求点A，点B坐标；
②由待定系数法可求解析式；
（2）设点C（x，﹣x2+x+2），可求PC＝﹣（x﹣2）2+2，由二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；
（4）分BE为边或为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
解：（1）①∵直线与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，
∴点A（0，2），点B（4，0）
故答案为：（0，2），（4，0）；
②∵抛物线经过点A、B，
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）设点C（x，﹣x2+x+2），
∵CP∥y轴，
∴点P（x，﹣x+2），
∴PC＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣（x﹣2）2+2，
∵点P在线段AB上运动
∴0≤x≤4，
∴当x＝2时，线段PC的长度的最大值为2；
（3）若点P在第一象限内，如图1，
∵四边形OACP是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴x＝2
∴点P（2，1），
若点P在第二象限内，如图2，
∵四边形OAPC是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣x+2﹣（﹣x2+x+2）
∴x2﹣4x﹣4＝0，
∴x＝2﹣2或x＝2+2（舍去），
∴点P（2﹣2，1+），
若点P在第四象限内，如图3，
∵四边形OAPC是平行四边形，
∴OA＝PC＝2，
∴2＝﹣x+2﹣（﹣x2+x+2）
∴x2﹣4x﹣4＝0，
∴x＝2﹣2（舍去）或x＝2+2，
∴点P（2+2，1﹣），
综上所述：使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形，满足的点P横坐标为：2或2+2或2﹣2；
（4）若BE是以A、B、E、F四点构造平行四边形的边，则AF∥BE，AF＝BE，
∴点F的纵坐标为2，
∴2＝﹣x2+x+2
∴x＝0（舍去）或x＝3，
∴AF＝3，
∴BE＝3，且点B（4，0），
∴点E（1，0）或（7，0），
若BE是以A、B、E、F四点构造平行四边形的对角线，则AF与BE互相平分，
∴点F的纵坐标为﹣2，
∴﹣2＝﹣x2+x+2
∴x＝或x＝，
∴AF的中点坐标为（，0），
∴点E的坐标为（，0）或（，0），
综上所述：点E的坐标为：（1，0）或（7，0）或（，0）或（，0）．
点评：本题是二次函数综合题，待定系数法求解析式，最值问题，平行四边形的性质，中点坐标等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
16．如图，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，与抛物线交于点E，点P在抛物线上且P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AE上方的抛物线上一动（不与A、E重合），过点P向x轴作垂线交直线AE于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式；
（3）连接PA，使得∠PAD＝45°，求P点的坐标．
分析：（1）抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3），则c＝3，将点B坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣a﹣2a+3，即可求解；
（2）m＝PQ＝﹣t+3+t2﹣2t﹣3＝t2﹣t，即可求解；
（3）tan∠ADO＝＝，设AH＝x＝MH，则HD＝＝2x，AH+DH＝AD＝＝3＝3x，解得：x＝，AM＝x＝，则OM＝＝＝1，即可求解．
解：（1）抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3），则c＝3，
将点B坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣a﹣2a+3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）P的横坐标为t，则点P（t，﹣t2+2t+3）、点Q（t，﹣t+3），
m＝PQ＝﹣t+3+t2﹣2t﹣3＝t2﹣t，
将y＝﹣x+3与y＝﹣x2+2x+3联立并解得：x＝，
故：m＝t2﹣t，（t＜0或t＞）；
（3）如图，故点M作MH⊥AD交DA于点H，
直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，则点D（6，0），
tan∠ADO＝＝，
设：AH＝x＝MH，则HD＝＝2x，
AH+DH＝AD＝＝3＝3x，
解得：x＝，
AM＝x＝，
则OM＝＝＝1，
即点M（1，0），
同理可得：直线AM（AP）的函数表达式为：y＝﹣3x+3…②，
联立①②并解得：x＝5或0（舍去0），
故点P（5，﹣12）．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3），利用解直角三角形的方法求解AM的长度，是本题的亮点
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