专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．
（1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式；
（2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标．
（3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
2．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
3．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）
4．已知，A（-1，0）．
（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
①求C点的坐标；
②在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合）， 使△PAB与△ABC全等？ 若存在，直接写出P点坐标； 若不存在，请说明理由；
（2）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，设M（a，b），求a-b的值．
5．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？
6．如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BD=10厘米，求AC的长．
7．综合与实践
特例研究：
将矩形和按如图1放置，已知，连接．
如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ；
拓广探索：
图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．
8．已知：在中，∠BAC=90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m于点D，CE⊥直线m于点E．求证：；
9．（提出问题）如图1，在直角中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为
（探究问题）如图2，在直角中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．
（解决问题）如图3，在中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．
①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；
②若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．
11．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）求证：MN＝AM＋BN；
（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．
12．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴、轴于点，函数的图象分别交轴、轴于点，且，过点作射线轴．
（1）求直线的解析式；
（2）点自点沿射线以每秒个单位长度运动，同时点自点沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设的面积为，点的运动时间为（秒），求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，在运动的过程中，是否存在值，使得，若存在，求值：若不存在，请说明理由．
13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，c），且a、b、c满足=0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）在x轴正半轴上有一点E，使∠ECA＝45°，求点E的坐标；
（3）如图2，若点F、B分别在轴正半轴和轴正半轴上，且OB=OF，点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN=PF，连接PO、BN，过P作∠OPG=45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．
14．在平面直角坐标系中，已知点、满足
（1）直接写出：____________，________．
（2）点为轴正半轴上一点，如图1，于点，交轴于点，连接，若平分，求直线的解析式．
（3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，连，将线段绕点逆时针旋转，如图2，点的对应点为，当点运动时，判断点的运动路线是什么图形，并说明理由．
15．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．
16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
18．如图，在中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）求证：；
（2）若AD=2，BE=3，求的面积．
二、填空题
19．一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，从三角尺的刻度可知为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为____________．
20．如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(2，0)，点C是第一象限内的点，且△ABC是以AB为直角边，满足AB=AC，则点C的坐标为________．
21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B． C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、 E，若BD=4，CE=2，则DE=___．
22．如图，直线经过正方形的顶点，已知于点，于点．若，，则线段的长为______．
23．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．
（1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式；
（2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标．
（3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
【答案】（1）k= ，y=x+2；（2）P(1，0)；（3）（﹣5，3）或（﹣2，5）
【分析】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小，求出直线B＇C的解析式，求出直线B＇C与x轴的交点坐标即可；
（3）分两种情况讨论：①当∠DAB=90°时；②当∠D＇BA=90°时，添加辅助线构造全等三角形进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意，将点C(3，4)代入y=kx中，得：4=3k，
解得：k= ，
再将点C(3，4)、点A（﹣3，0）代入y＝k1x＋b中，得：
，
解得：，
∴函数y＝k1x＋b的解析式为：y=x+2；
（2）如图，作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小，
在y=x+2中，令x=0，则y=2，
∴B(0，2)，则B＇（0，﹣2），
设直线B＇C的解析式为y＝k2x﹣2，
将C（3，4）代入得：4=3k2﹣2，解得：k2=2，
∴直线B＇C的解析式为y＝2x﹣2，
令y=0，由0=2x﹣2得：x=1，
∴点P坐标为（1，0）；
（3）根据题意，OA=3，OB=2，分两种情况：
①当∠DAB=90°时，DA=AB，
过点D作DM⊥x轴于E，
∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵∠DMA=∠AOB=90°，DA=AB，
∴△DAM≌△ABO(AAS)，
∴DM=OA=3，MA=OB=2，
∴D(﹣5，3)；
②当∠D＇BA=90°时，D＇B=AB，
过D＇作D＇N⊥y轴于N，
同理可证△D＇BN≌△BAO(AAS)，
∴BN=OA=3，D＇N=OB=2，
∴D＇（﹣2，5），
故点D的坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．
【点睛】
本题是一次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次函数的相关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键．
2．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE﹣AD
【分析】
（1）由题意易得∠DAC+∠ACD＝90°，则∠DAC＝∠BCE，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE，进而可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解；
（3）根据题意可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝BE﹣AD．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
3．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）
【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．
【分析】
（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【详解】
（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，
∴a＝5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
4．已知，A（-1，0）．
（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
①求C点的坐标；
②在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合）， 使△PAB与△ABC全等？ 若存在，直接写出P点坐标； 若不存在，请说明理由；
（2）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，设M（a，b），求a-b的值．
【答案】（1）①；②存在，或或；（2）1．
【分析】
（1）作CD⊥y轴于D，证△CEB≌△BOA，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；
（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；
（3）作MF⊥y轴于F，证△EFM≌△AOE，求出EF，即可得出答案．
【详解】
（1）①作CE⊥y轴于E，如图1，
∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∵∠CBA=90°，
∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，
∴∠ECB=∠ABO，
在△CBE和△BAO中
∴△CBE≌△BAO，
∴CE=BO=2，BE=AO=1，
即OE=1+2=3，
∴C（-2，3）．
②存在一点P，使与全等，
分为三种情况：①如图2，过P作轴于E，
则，
，，
，
在和中
，
≌，
，，
，
即P的坐标是；
②如图3，过C作轴于M，过P作轴于E，
则，
≌，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
即P的坐标是；
③如图4，过P作轴于E，
≌，
，，
则，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即P的坐标是，
综合上述：符合条件的P的坐标是或或．
（2）过作轴于，得到下图5
∵
∴，
由上图得：，
，，
，
在和中
，
≌，
，，
轴，轴，
，
四边形FONM是矩形，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．
5．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？
【答案】应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．
【分析】
先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得千米，最后根据线段的和差可得．
【详解】
由题意得：，千米，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
千米，千米，
千米，
千米，
答：应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
6．如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BD=10厘米，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）厘米
【分析】
（1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=BC＝BD＝5厘米．
【详解】
解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC；
（2）∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=10厘米，
∴BE=BC＝BD＝5厘米．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
7．综合与实践
特例研究：
将矩形和按如图1放置，已知，连接．
如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ；
拓广探索：
图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】
，延长交于点G先证△FBC≌△EDC（SAS），可知，由∠DCE=90 ，可得∠DEC+∠CDE=90 ，可推出∠FDG+∠GFD=90 即可，
先下结论，，再证明，证法与（1）类似，延长交于点交于点．由四边形为矩形且AD=CD可得，可推出．由知
．由可用等量代换得由三角形内角和得即可．
【详解】
解：，
延长交于点G，
∵四边形为矩形，且AD=DC，
∴BC=CD，
=90 ，
由旋转的FC=EC，
∴△FBC≌△EDC（SAS），
，
∵∠DCE=90 ，
∴∠DEC+∠CDE=90 ，
∴∠FDG+∠GFD=90
∠FGD=90
，
，
理由如下：
如答图，延长交于点交于点．
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
矩形为正方形．
，
在和中，
．
．
．
．
【点睛】
本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法．
8．已知：在中，∠BAC=90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m于点D，CE⊥直线m于点E．求证：；
【答案】证明见解析．
【分析】
先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证．
【详解】
，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
9．（提出问题）如图1，在直角中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为
（探究问题）如图2，在直角中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．
（解决问题）如图3，在中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．
①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；
②若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为
【答案】提出问题：；探究问题：，理由见解析；解决问题：①，理由见解析；②．
【分析】
提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；
探究问题：先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差即可得；
解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得，再根据线段的和差即可得；
②如图（见解析），同探究问题的方法可得，再根据三角形全等的性质可得，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC面积表示出来，由此即可得出答案．
【详解】
提出问题：，
，
故答案为：；
探究问题：，理由如下：
，
，
，
由提出问题可知，，
，
在和中，，
，
，
，
即；
解决问题：①，理由如下：
同探究问题的方法可证：，
，
即；
②如图，过点C作于点D，
同探究问题的方法可证：，
，
和都是等腰直角三角形，且，
，
，
五边形EMNFC面积为，
，
，
，
则当面积取得最大值时，五边形EMNFC面积最大，
设的BC边上的高为，则，
在中，、均为锐角，
当时，取得最大值，最大值为，
面积的最大值为，
则五边形EMNFC面积的最大值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．
【答案】见解析
【分析】
根据题意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，则有∠EAC＝∠BCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．
【详解】
证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
【点睛】
本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．
11．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）求证：MN＝AM＋BN；
（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析
【分析】
(1)根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，根据全等的性质得到AM=CN，CM=BN，则MN=MC+CN=AM+BN．
(2)根据已知条件能证得△ACM≌△CBN，利用全等的性质得到AM=CN，CM=BN，而MN=CN-CM=AM-BN．
【详解】
解：(1)∵AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
\
∴ACM≌△CBN，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN．
(2)题(1)中的结论不成立，
同题(1)证明可知：ACM≌△CBN，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN，
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴、轴于点，函数的图象分别交轴、轴于点，且，过点作射线轴．
（1）求直线的解析式；
（2）点自点沿射线以每秒个单位长度运动，同时点自点沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设的面积为，点的运动时间为（秒），求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，在运动的过程中，是否存在值，使得，若存在，求值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】
（1）利用待定系数法求出，两点坐标，再求出点坐标即可解决问题；
（2）想办法用表示点坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）分两种情形，通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题．
【详解】
解：（1）函数的图象分别交轴、轴于点，，
，，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
（2）如图1中，
由题意，易知，，
（3）存在；
情形①如图2中，取点，连接，，作垂足为交于，作垂足为．
，，
，
，，
，
的等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
．
情形②如图3中，由，可知，
由得到，
，
，
综上所述或．
【点睛】
此题考查一次函数的应用，直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间表示出有关线段的长度，进而建立关于线段的关系式，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，难度较大．
13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，c），且a、b、c满足=0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）在x轴正半轴上有一点E，使∠ECA＝45°，求点E的坐标；
（3）如图2，若点F、B分别在轴正半轴和轴正半轴上，且OB=OF，点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN=PF，连接PO、BN，过P作∠OPG=45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．
【答案】（1）（-3，0）；（3，-2）；（2）（2，0）；（3）证明见详解
【分析】
（1）根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负性，求出a、b、c的值，即可得出点A、C的坐标；
（2）通过辅助线作图，构造一线三垂直模型，证明，求出点G的坐标，由等面积法求出AE长度即可求出点E坐标；
（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形即可．
【详解】
（1）由题意知，=0，
所以a=-3，b=3，c=-2，
点A坐标为（-3，0），点C坐标为（3，-2），
故答案为：（-3，0）；（3，-2）；
（2）过点A作AC的垂线，交CE的延长线于点G，过点A作x轴的垂线KL，过点C作KL的垂线于点K ，过点G作KL的垂线于点L，过点G作x轴的垂线于M，过点C作x轴的垂线于N，
∵∠ECA＝45°，AG⊥AC，
∴∠CAG=90°，AG=AC，△CAG为等腰直角三角形，
由一线三垂直模型可知，∠GAL=∠ACK，
在△ALG和△CKA中
∴，
∴AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，
∴GM=6，OM=3-2=1，
∴点G坐标为（-1，3），
在Rt△ANC中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，AG=AC=，
由等面积法，得，
∴，
∴AE=5，
∴OE=AE-OA=5-3=2，
故点E坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（3）如图，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，
∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，
∴∠OEP=∠EPO=45°，
∴EO=PO，
∵∠EOP=∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠POF，
在△EOB和△POF中，
∴△EOB≌△POF，
∴EB=PF=PN，∠1=∠OFP，
∵∠2+∠PMO=180°，
∵∠MOF=∠MPF=90°，
∴∠OMP+∠OFP=180°，
∴∠2=∠OFP=∠1，
∴EB∥PN，
∵EB=PN，
∴四边形ENPB是平行四边形，
∴BG=GN，
即点G是BN的中点．
【点睛】
本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，已知点、满足
（1）直接写出：____________，________．
（2）点为轴正半轴上一点，如图1，于点，交轴于点，连接，若平分，求直线的解析式．
（3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，连，将线段绕点逆时针旋转，如图2，点的对应点为，当点运动时，判断点的运动路线是什么图形，并说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）点的运动路线是直线，理由见解析
【分析】
（1）根据题意得到关于a、b的方程，求a、b即可；
（2）如图1，过点作，交于，分别证明，，得到，，确定点B、D坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）如图2，过点作轴，垂足为，过点作交的延长线于，证明为等腰直角三角形，得到，，设，则，得到，即，，消去m，即可得到点N运动轨迹．
【详解】
解：（1）由题意得a+2=0，b+5=0，解得a=，b=，
故答案为：，；
（2）如图1，过点作，交于，
∵，平分，
∴为等腰直角三角形，
∴OE=OF，∠BOF=∠COE=45°，
∵于点，
∴∠1+∠BAC=90°，
∵∠2+∠BAC=90°，
∴∠1=∠2，
∴，
∴，
∵∠1=∠2, ∠AOC=∠DOB=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设直线解析式为，
∴，
∴ ，
∴直线，即直线的解析式为；
（3）由题意得，为等腰直角三角形
如图2，过点作轴，垂足为，过点作交的延长线于，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
由（2）得直线的解析式，
设，则，
∴，
令，，
∴，
即点的运动路线是直线．
【点睛】
本题为一次函数综合题，考查了三角形全等判定，等腰直角三角形性质，待定系数法等，综合性强，根据题意构造全等，理解函数图象是点的运动轨迹是解题的关键．
15．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．
【答案】见解析．
【分析】
先由旋转的性质得到BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，再运用“AAS”证得△EDB≌△ABC即可．
【详解】
证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，
∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠ACB＝∠DBE，
又∵∠CAB＝∠DEB＝90°，
∴△EDB≌△ABC（AAS）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和旋转的性质，根据旋转的性质得到判定全等三角形的条件是解答本题的关键．
16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
【答案】（1）见解析；（2）7
【分析】
（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
【详解】
解：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．
17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）DE=AD+BE，理由见详解；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由见详解；（3）BE=AD+DE．
【分析】
（1）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；
（2）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；
（3）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠EBC+∠BCE=90°，则有∠ACD=∠CBE，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可得解．
【详解】
解：（1）DE=AD+BE，理由如下：
∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，
∠DAC=∠ECB，
AC=BC，
△ADC≌△CEB，
AD=CE，CD=BE，
DE=DC+CE
DE=AD+BE；
（2）发生变化，AD=BE+DE，理由如下：
∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，
∠DAC=∠ECB，
AC=BC，
△ADC≌△CEB，
AD=CE，CD=BE，
CE=DC+DE
AD=BE+DE；
（3）BE=AD+DE，理由如下：
同理（2）的方法可得△ADC≌△CEB，
AD=CE，CE=AD，
CD=EC+DE
BE=AD+DE．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
18．如图，在中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）求证：；
（2）若AD=2，BE=3，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据垂直定义求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根据等式性质求出∠ACD＝∠CBE，根据AAS证出△ADC和△CEB全等即可；
（2）由（1）可推出CD＝BE，AD＝CE，进而可得到AC=AB=，再计算△ABC面积即可．
【详解】
解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠BEC＝∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）∵△ADC≌△CEB
∴BE＝CD，AD＝CE，AC=BC，
又AD=2，BE=3，
∴AC=BC=，
∴△ABC的面积为，
故△ABC的面积为．
【点睛】
全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
二、填空题
19．一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，从三角尺的刻度可知为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为____________．
【答案】
【分析】
设砖块的厚度为xcm，由题意可知：AD=3x，BE=2x，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC，利用AAS即可证出△DAC≌△ECB，从而得出CD=BE=2xcm，利用勾股定理列出方程即可求出x．
【详解】
解：设砖块的厚度为xcm，由题意可知：AD=3xcm，BE=2xcm
∵，
∴
解得=
由题意可知：∠ADC=∠CEB=90°
∴∠DAC＋∠ACD=90°，∠ECB＋∠ACD=90°
∴∠DAC=∠ECB
∴△DAC≌△ECB
∴CD=BE=2xcm
在Rt△ADC中，
即
解得：x=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(2，0)，点C是第一象限内的点，且△ABC是以AB为直角边，满足AB=AC，则点C的坐标为________．
【答案】（5，7）
【分析】
依题∠BAC=90°，AB=AC，画出C点位置，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
【详解】
解：如图：
当∠BAC=90°，AB=AC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，
在△OAB和△DCA中，
，
∴△OAB≌△DCA（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=5，
∴OD=OA+AD=7，
∴点C的坐标为（5，7）；
【点睛】
本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B． C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、 E，若BD=4，CE=2，则DE=___．
【答案】6
【分析】
先证明∠DBA=∠CAE，从而根据AAS定理证明△BDA≌△AEC，根据全等三角形的性质可得AD=CE=2，AE=BD=4，进而得到答案．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
∵CE⊥DE，
∴∠AEC=90°，
在△BDA和△AEC中，
，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴AD=CE=2，AE=BD=4，
∴DE=AD+AE=2+4=6；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．
22．如图，直线经过正方形的顶点，已知于点，于点．若，，则线段的长为______．
【答案】11
【分析】
根据题意易得△AEB≌△DFA，则有BE=AF，DF=AE，进而问题可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵，，
∴∠DFA=∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
又∵∠FAD+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
∴△AEB≌△DFA，
∵，，
∴BE=AF=3，DF=AE=8，
∴EF=AF+AE=3+8=11；
故答案为11．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．
23．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．
【答案】
【分析】
根据题意过点E作EN⊥BM，垂足为点N，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP= BN，BN=AO，
∴BP= AO= ×7=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．
