第九章 因式分解的应用（含解析）

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因式分解的应用—苏科版七下
一、单选题
1．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（
）
A．线①处
B．线②处
C．线③处
D．线④处
2．如果是多项式的一个因式，那么m的值为（
）
A．8
B．
C．2
D．
3．下列四个多项式中，可以因式分解的有（
）
①；②；③；④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知，，则的值是（
）
A．实数
B．正实数
C．负实数
D．非负实数
5．利用因式分解简便计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得，乙与丙相乘得，则甲、丙之积与乙的差是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）
A．大于零
B．小于零
C．等于零
D．不能确定
8．已知，，则代数式M，N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　）
A．﹣22
B．﹣1
C．7
D．11
10．如图，中，，将沿方向平移个单位得（其中的对应点分别是），设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知，当时，恒成立，则y的值为_______．
12．若，，则________．
13．因式分解法：利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法。常用的因式分解法解方程的两种方法是______________和_______________。
14．若a3b=-1，则代数式a23ab+3b的值为__．
15．已知在中，三边长，满足等式，请你探究之间满足的等量关系为__________．
16．因式分解，其中、、都为整数，则的最大值是______．
17．已知x2－3x－1＝0，则2x3－3x2－11x＋1＝________．
18．已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
三、解答题
19．阅读下列材料:
分解因式：
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小云的解题过程从
步出现错误的，错误的原因是：
.
小朵的解题过程从
步出现错误的，错误的原因是
.
小天的解题过程从
步出现错误的，错误的原因是：
.
（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程.
20．学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设为整数，则的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由？若不能，请举出一个反例，你能回答这个问题吗？
21．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
22．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．
（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；
（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．
23．在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值．
24．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式：=______．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
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参考答案
1．B
解：原式，
∵为正整数，
∴，
∴原式可化为：，
∵分子比分母小1，且为正整数，
∴是真分数，且最小值是，
即，，
∴表示这个数的点落在线②处，
故选：B．
2．A
解：设==，
则，
解得：．
故选：A．
3．C
解：①不能因式分解；
②可用完全平方公式因式分解；
③可提取公因式；
④可用平方差公式因式分解；
故选：C．
4．D
解：，，
∴
≥0，
故选：D．
5．B
解：
故答案选B．
6．A
解：A
∵，
∵，
又∵甲与乙相乘得：，乙与丙相乘得：，
∴甲为，乙为，丙为，
∴甲、丙之积与乙的差是：
，
，
，
故选：A
7．B
解：∵（ab）2c2=（ab+c）（abc），
∵a，b，c是三角形的三边，
∴a+cb＞0，abc＜0，
∴（ab）2c2的值是负数．
故选：B．
8．A
解：M-N=3x2-2x+4-（2x2+4x-5）
=x2-6x+9
=（x-3）2≥0，
故M≥N．
故选：A．
9．B
解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
10．B
解：∵，
∴，
由平移可知，AD=b，
∴，
∵的面积比的大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选B.
11．2
解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，3P-2Q=7恒成立，
∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7，
∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，
13xy-26x=0，
13x（y-2）=0，
∵x≠0，
∴y-2=0，
∴y=2；
故答案为：2．
12．
解：，，
故答案为：
13．提公因式法
公式法
解：因式分解常用两种常用方法提公因式法和公式法．
故答案为：提公因式法和公式法．
14．1
解：∵；
∴
，
故答案为：1．
15．
解：∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：
16．5
解：∵(x＋p)(x＋q)=
x2＋（p+q）x+pq=
x2＋mx-6
∴p+q=m，pq=-6，
∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6，
∴m=-5或5或1或-1，
∴m的最大值为5，
故答案为：5．
17．4
解：∵x2－3x－1＝0，
∴x2－3x＝1，
∴
=
=
将x2－3x＝1代入
原式=
=
将x2－3x＝1代入
原式=，
故答案为：4．
18．1
解：∵是的因式，
∴当时，，即，
∴，∴，
∵为正数，∴，∴可化为，
∴另一个因式为．
故答案为1；
19．（1）①，提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式，②，平方差公式用错，③，分解因式不完整还可以继续分解；（2）见解析
解：(1)小云的解题过程从
①
步出现错误的，错误的原因是：
提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式
小朵的解题过程从
②
步出现错误的，错误的原因是
平方差公式用错
小天的解题过程从
③
步出现错误的，错误的原因是：
分解因式不完整还可以继续
分解
(2)若都不正确，请你写出正确的解题过程.
原式
20．能，理由见解析.
解：的值一定能被20整除，理由如下：
=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=20（n+2），
∴的值一定能被20整除．
21．（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
解：（1）∵a2+b2-6a-14b+58=（a2-6a+9）+（b2-14b+49）=（a-3）2+（b-7）2=0，
∴a-3=0，b-7=0，
解得a=3，b=7；
（2）∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴b-a＜c＜a+b，
即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小，
又∵c是正整数，
∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15．
故答案为：（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
22．（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．
解：(1)设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则，，
，
令，得，令，得，
∴6不是尼尔数，39是尼尔数．
证明：设P表示的数为3m，则a＝(3m－1)，b＝(3m＋1)，
K＝(3m－1)2＋(3m＋1)2－(3m－1)(3m＋1)＝9m2＋3，
∵m为整数，∴m2为整数，
∴9m2＋3被9除余3；
(2)设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2.
∴K1－K2＝9m12－9m22＝189，
∴m12－m22＝21，
∵m1，m2都是整数，
∴，
∴，
∴.
∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．
23．（1）212814、281421；（2）m=-12，n=17；（3）或
解：(1)
，
当x＝21，y＝7时，x+y=28，x-y=14，
∴可以形成的数字密码是212814、281421；
(2)设，
∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，
∴27+p=24，27+q=28，27+r=34，
解得p=-3，q=1，r=7，
∴=
∴，
∴，解得；
(3)﹣＝，
去分母得（x+7）-k（x-3）=x+1，
解得，
∵方程﹣＝无解，
∴x=-1或3或-7，
当x=-1时，，解得k=，经检验是方程的解；
当x=3时，=3，方程无解；
当x=-7时，=-7，解得k=，经检验是方程的解；
∴k的值为或．
24．（1）；（2）证明见解析；（3）当，时，多项式有最小值，最小值为5．
解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式的值总为正数；
（3）
，
当，即，时，原式取最小值5．
∴当，时，多项式有最小值5．
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