广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期四校联考（2月）数学试题 Word版含答案

华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
数 学 2021.02
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，false，则false（**）
A．false B．false C．false D．false
2．复数false在复平面内对应的点位于（**）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．已知直线false，false和平面false，且false，则false是false的（**）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
42481501639570第4题图
020000第4题图
4631690717554．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从false， false， false这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间false的概率是（**）
A．false B．false C．false D．false
5．已知false是两个夹角为false的单位向量，则false的最小值为（**）
A．false B．false C．false D．false
6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离false
44767501666875第6题图
第6题图
411670545720false（如图），其中false为雷达天线架设高度，false为探测目标高度，false为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，false等效取8490km，故false远大于false．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（**）
（参考数据：false）
A．6400m B．7200m C．8100m D． 10000m
7．已知抛物线false的焦点为false，点false是抛物线C上位于第一象限内的一点，false为线段false的中点，false垂直false轴于点false，若直线false的倾斜角为false，false，则直线false的倾斜角为（**）
A．false B．false C．false D． false
8．已知点false是函数false的图象和函数false图象的连续三个交点，若false是锐角三角形，则false的取值范围为（**）
A．false B．false C．false D． false

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分．
9．已知定义在false上的函数false对任意实数false满足false，false，且false时，false，则下列说法中，正确的是（**）
A．false是false的周期 B．false不是false图象的对称轴
C．false D．方程false只有4个实根

10．已知实数false，则下列说法中，正确的是（**）
A．false B． false
C．false D．存在false，使得直线false与圆false相切
11．点C，D是平面false内的两个定点，false，点false在平面false的同一侧，且false．若false与平面false所成的角分别为false，则下列关于四面体ABCD的说法中，正确的是（**）
A．点A在空间中的运动轨迹是一个圆
B．false面积的最小值为2
C．四面体ABCD体积的最大值为false
D．当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为false
12．已知函数false，其中false是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（**）
A. false在false是增函数
B. false是奇函数
C. false在false上有两个极值点
D. 设false，则满足false的正整数false的最小值是2
第二部分 非选择题
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程false ，根据最小二乘法计算可得false，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为__**___万元．
14．false的展开式中，false的系数是__**___．
15．已知双曲线false的左焦点为false，false为双曲线上一点，false与双曲线false的渐近线平行，且false，其中false为坐标原点，则双曲线false的离心率false__**___．
16．已知数列false的前n项和false，则数列false的通项公式为false__**__，
则false的最大值为__**___．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知正项数列false满足false，false，等比数列false满足：falsefalse．
（1）证明数列false是等差数列，并求数列false的通项公式；
（2）设false，求false．
18．（本小题满分12分）
已知函数false只能同时满足以下三个条件中的两个．
① 函数false的最大值是false；
② 函数false的图象可由函数false左右平移得到；
③ 函数false的对称中心与false的对称轴之间的最短距离是false；
（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数false的单调递增区间；
（2）已知false的内角false、false、false所对的边分别为false、false、false，满足false，
点false为false的中点，且false，求false的值．
4145280200025
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱false中，false、false分别为false、false的中点，false，falsefalse，false.
right401320第19题图
020000第19题图
（1）求证：false平面false；
（2）求二面角false的余弦值．
20．（本小题满分12分）
某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料．
现有如下两种抽样检验方案：
方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．
假设拟购进的这批原料，合格率为p（false），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．
（1）若false，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列；
（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率．如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？ 并说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知离心率为false的椭圆false与抛物线false有相同的焦点false，且抛物线经过点false，false是坐标原点．
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）已知直线false：false与抛物线交于A,B两点，与椭圆交于C,D两点，若false的内切圆圆心始终在直线false上，求false面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）求函数false的单调区间；
（2）若false且false，证明：false，false；
（3）记方程false的三个实根为false，若falsefalsefalsefalsefalse，证明：false．
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
数 学 参 考 答 案
一、单项选择题：1-4：BABB 5-8: DCDA
第8题提示：将false变形为false，然后研究图象即可.
二、多项选择题：9、AC 10、BC 11、ABD 12、ABD
第10题C选项解析：false
令false，
因为false，故false关于false对称，故只需研究false的情况即可.
false. 令false，
则false. 易知false在false上单调递减.
因为false，false，所以存在false，使得false，且false时，false，false单调递增，false时，false，false单调递减.
因为false时，false，且false，故false，false.
所以当false时，false，false单调递增， 所以false.
第12题提示：false，显然false不是极值点.
当false时，false.
绘制函数false的草图可知，此时false仅有一个根false，
且false. 故C选项错误.
由上述分析可知false时，函数false单调递增，false时，函数false单调递减.
当false时，false，显然false.
当false时，false. false的几何意义为点false与坐标原点连线的斜率. 因为false，故只需比较false的大小即可.
false. 故D正确.
三、填空题： 13、85 14、false 15、false 16、false； false
17．解：（1）∵false各项为正，且false，∴false.
∴false是公差false，首项false的等差数列. ………………2分
∴false，则false. ………………3分
设等比数列false的公比为false，则false.
故false，解得false. 故false. ………………5分
（2）false. ①
false. ② ………………6分
②—①：false. ………………8分
false. ………………10分
18．解：（1）函数false只能同时满足①③ . ………………2分
由①知false，由③知false,则false.
故false. ………………4分
由false,false解得false，false.
所以false的单调递增区间为false，false. ………………6分
（2）false.
∵false. ∴false ………………8分
（此处若未结合角B 的范围，直接写出B的值，扣1分.）
法一：作线段false的中点false,因为false，故false．
因为false， 即false. ………………10分
由正弦定理知false ………………12分
法二：分别在false中对角B运用余弦定理，可得边长a,c的关系，略.
19．（1）证明：连接false.
∵false, false为false的中点, ∴false
∵false, ∴false. ………2分
∵false, false为false的中点, ∴false
∵false, ∴false. ………4分
false, false.
∵false ∴false平面false. ………6分
359664088900z
y
x
z
y
x
（2）以O为坐标原点，false所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则false, false, false.
则false, false. ………7分
设平面false的法向量false，
则false.
令false则false. ………9分
易证false平面false,故取平面false的法向量false. ………10分
false
因为二面角false的平面角false为锐角，所以false ………12分
20．解：（1）X可能的取值为false． ………………1分
false,falsefalse, ………………3分
故X的分布列为:
X
50
100
P
false
false
………………4分
（2）方案一通过检验的概率为false. ………………6分
方案二通过检验的概率为false
………………8分
false，其中false.
令false，
则false. ………………10分
故false在false上单调递增，false.故false
原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高．
………………12分
21．解：（1）由题：false，故抛物线false的方程为false．………………1分
抛物线false的焦点为false，故false.
又因为椭圆离心率为false，即false.解得false.
∴椭圆false的方程为false. ………………3分
（2）因为false的内切圆圆心始终在直线false上，即false平分false.
设直线false的斜率分别为false．因为false垂直于x轴，故false ………………4分
设false，则false.
∵false， ∴false，即false. ………………5分
∴false，即false. ………………6分
将直线false与false联立，可得false，
由题false，故false ………………7分
将直线false与false联立，可得false，
由题false，故false，故false． ………………8分
设false，则false
则false ………………9分
坐标原点O到直线l的距离为false，
故false的面积false .………………10分
∵false，∴false．
故当false时，false ………………12分
22．解：（1）false，false ……………1分
∵ false ∴false
∴false false或false，false false.
∴false的单调递增区间为false,false，单调递减区间为false. ……………3分
（2）令false，则false. false.
故false在false单调递增，在false上单调递减.
故false，即false. ……………4分
欲证：false，false，即证：false，false.
令false，则false.
因为false，故false.所以false，false在false上单调递增.
∴false. 故欲证false，false，只需证false.
……………6分
∵false， ∴false，即false
因为false，故false. 故等价于证明：false. ……………7分
令false，则false，false在false上单调递增.
故false．即false. 从而结论得证. ……………8分
（3）法一：令false，则false
由（1）可知，false在false,false上单调递增，在false上单调递减.
由题易知.false，false，
故falsefalsefalsefalse.因为false，故存在false，使得false，由（2）可知false，false，故false，false
……………10分
令false，则false，false
易知false在false上单调递减，在false上单调递增.
记false的两个零点为false，易知false.
故false，false
因为false在false上单调递减，在false上单调递增.
所以false，false，所以false. ……………12分
法二：（切线放缩）略解.
令false，则false
研究函数false在点false处的切线false以及在点false处的切线false,然后证明当false时，false以及false.
切线false与x轴的交点为false；切线false与x轴的交点为false，
故false.