3.1.3 两角和与差的正切 同步练习
1．与相等的是( )
A．tan66° B．tan24°
C．tan42° D．tan21°
解析：选B.原式＝＝tan(45°－21°)＝tan24°.
2．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝.
3．tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)等于( )
A. B．1
C. D.
解析：选B.原式＝tan10°tan20°＋(1－tan10°tan20°)·tan(10°＋20°)＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
4.＝______.
解析：＝＝＝
tan(15°－45°)＝tan(－30°)＝－.
答案：－
一、选择题
1．已知sinα＝，α是第二象限的角，且 tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.∵sinα＝，α为第二象限的角，∴cosα＝－，
∴tanα＝－.
∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]
＝
＝＝－.
2．若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝( )
A.m B.(1－m)
C.(m－1) D.(m＋1)
解析：选B.tan(28°＋32°)＝tan60°＝＝＝，
∴tan28°＋tan32°＝(1－m)．
3.的值为( )
A．－1 B．1
C．－ D.
解析：选B.原式＝＝tan(105°－60°)＝tan45°＝1.
4．锐角△ABC中，tanA·tanB的值( )
A．不小于1 B．小于1
C．等于1 D．大于1
解析：选D.由于△ABC为锐角三角形，
∴tanA、tanB、tanC均为正数．
∴tanC＞0，∴tan[180°－(A＋B)]＞0，
∴tan(A＋B)＜0，
即＜0，
而tanA＞0，tanB＞0，
∴1－tanAtanB＜0，即tanAtanB＞1.
5．已知α＋β＝π，则(1－tanα)(1－tanβ)＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：选A.－1＝tan(α＋β)＝.
∴tanα＋tanβ＝－1＋tanα·tanβ.
∴(1－tanα)(1－tanβ)
＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.
6．如图，由三个正方形拼接而成的长
方形，则α＋β＋γ等于( )
A. B.
C. D．π
解析：选B.易知tanα＝，tanβ＝.tan(α＋β)＝＝1，由题意α＋β＝，∴α＋β＋γ＝.
二、填空题
7．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.
解析：由题意得2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z
∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，∴sin2α＞0，
∴sin2α＝＝，
∴tan2α＝＝－，
∴tan(＋2α)＝＝＝－＝－.
答案：－
8．(2011年济宁高一检测)若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β＝________.
解析：(tanα－1)(tanβ－1)＝2
tanα·tanβ－tanα－tanβ＋1＝2
tanα＋tanβ＝tanα·tanβ－1 ＝－1.
即tan(α＋β)＝－1∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
答案：kπ－，k∈Z
9．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，那么＝________.
解析：由已知得，tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝－3，原式＝＝tan(α＋β)＝＝.
答案：
三、解答题
10．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；(2)tan(α＋β)．
解：(1)tan(α＋β－)＝tan[＋]
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝
＝＝2－3.
11．证明：－2cos(α＋β)＝.
证明：左边＝
＝
＝
＝＝＝右边，∴命题成立．
12．是否存在锐角α和β，使得下列两式
(1)α＋2β＝π；
(2)tan·tanβ＝2－同时成立．
解：假设存在符合题意的锐角α和β，
由(1)知：＋β＝，
∴tan(＋β)＝＝.
由(2)知tantanβ＝2－，∴tan＋tanβ＝3－，
∴tan，tanβ是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，得x1＝1，x2＝2－.
∵0＜α＜，0＜tan＜1，
∴tan≠1，∴tan＝2－，tanβ＝1.
又∵0＜β＜，∴β＝代入(1)得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 同步练习
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析：选B.∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底．
2．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)，B(3，2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
解析：选A.＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)，
∴∴
∴x＝－1.
3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2等于( )
A．5 B．(－1,5)
C．6 D．(－4,9)
解析：选D.＝(2,3)，＝(－3,3)，
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.
解析：由题意知3x－4y＝6且2x－3y＝3，得x＝6，y＝3，故x－y＝3.
答案：3
一、选择题
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：选B.由平面向量基本定理可知，①④正确．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个．故选B.
2．已知两点M(3,2)，N(－5，－5)，＝，则P点坐标是( )
A．(－8,1) B．(－1，－)
C．(1，) D．(8，－1)
解析：选B.＝(－5－3，－5－2)＝(－8，－7)，
＝＝(－4，－)，
∵M(3,2)，∴P(－1，－)．
3．若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则c等于( )
A．－a＋3b B．a－3b
C．3a－b D．－3a＋b
解析：选B.设c＝ma＋nb，所以(－2,4)＝m(1,1)＋n(1，－1)，所以所以m＝1，n＝－3，所以c＝a－3b.故选B.
4．(2011年南宁高一检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.如图可知＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋.
∴λ＝.
5.
如图，设一直线上三点A、B、P满足＝λ(λ≠－1)，O是平面上任一点，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：选A.∵P、A、B三点共线，
∴一定存在实数t，使得＝(1－t)＋t，则t满足
(1－t)＋t＝1，选择项中只有A中＋＝＝1，故选A.
6.
如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
解析：选D.连接BD交AC于O(图略)，则O为AC中点，G为OC中点，∴AG＝AC，∴＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b.
二、填空题
7．如图所示，已知四边形ABCD为长方形，且AD＝2AB，△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，＝e1，＝e2，以e1，e2为基底，表示向量，，及.则＝__________，＝________，＝________，＝________.
解析：因为＝e1，＝e2，所以＝－＝e2－e1；根据题意可知，DE＝AD＝2AB，且F为DE的中点，所以四边形ABDF为平行四边形，所以＝＝e2－e1；＝＝e2；所以＝＋＝e2－e1＋e2＝2e2－e1.
答案：e2－e1 e2 2e2－e1 e2－e1
8．(2011年马鞍山高一检测)已知P1(2，－1)，P2(0,5)，点P在线段P1P2上且||＝2||，则P点坐标为________．
解析：设P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－x,5－y)，因为点P在线段P1P2上且||＝2||，
所以＝2，
∴，∴，∴P.
答案：
9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，
又＝a＋b，得＝(＋)，
即λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.
答案：
三、解答题
10.
如图，在 ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，且＝a，＝b，用a，b表示，，，.
解：＝－＝b－b＝b，
＝＋＝a＋b，
＝－＝b－(a＋b)
＝－a－b，
＝＋＝a＋b，
＝－＝a＋b，
＝－＝b－(a＋b)
＝－a＋b.
∴＝a＋b，＝－a－b，
＝a＋b，＝－a＋b.
11.
如图所示，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点．求证：＝.
证明：在平面上任取一点O，则＝－.
因为K和L分别是MN和PQ的中点，所以
＝(＋)，＝(＋)．
又因为点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，
所以＝(＋)，＝(＋)；
＝(＋)，＝(＋)．
所以＝－＝(＋－－)
＝(＋＋＋－－－－)
＝(－)
＝.
12．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若A＝A＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在一、三象限角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
解：设点P的坐标为(x，y)，
则A＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵A＝A＋λ，
∴，∴.
(1)若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，
∴λ＝.
(2)若P在第三象限内，则，∴λ＜－1.
综上，λ＝时，点P在一、三象限角平分线上；
λ＜－1时，点P在第三象限内．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 同步练习
1．已知a＝(2，－1)，b＝(－1,1)，则a·b＋b2等于( )
A．3 B．5
C．1 D．－1
解析：选D.a·b＋b2＝2×(－1)＋(－1)×1＋(－1)2＋12＝－2－1＋1＋1＝－1.
2．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C.a⊥b a·b＝0 3x＋1×(－3)＝0，
∴x＝1，故选C.
3．已和A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
解析：选B.由＝(1,1)，＝(－4,2)，＝(－3,3)，
得2＝2，2＝20，2＝18.
∴2＋2＝2，
即AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形．
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)．若c＝2a＋b，则|c|＝________.
解析：c＝2a＋b＝(4－1,8＋2)＝(3,10)，
∴|c|＝.
答案：
一、选择题
1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：选C.∵(2a－b)⊥b，
∴(3，n)·(－1，n)＝0，
∴n2＝3.
∴|a|＝＝2.
2．(2010年高考广东卷)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C.∵(8a－b)·c＝30，
∴8a·c－b·c＝30，
∴8(1×3＋x)－(2×3＋5x)＝30，
解得x＝4.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
解析：选D.不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，根据数量积为零，则有3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.
4．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，A＝(2,3)，则k的值是( )
A．5 B．－5
C. D．－
解析：选A.因为＝(k,1)，＝(2,3)，
所以＝－＝(2－k,2)．
又在△ABC中，∠C＝90°，即⊥，
所以·＝0，
则(2,3)·(2－k,2)＝0
所以2(2－k)＋3×2＝0，
解得k＝5.
5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b ＝(－1,2)，
因为两个向量垂直，故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
6．已知点O为原点，点A、B的坐标分别为(a,0)和(0，a)，其中a∈(0，＋∞)，点P在AB上且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A．a B．2a
C．3a D．a2
解析：选D.根据向量的运算求出向量和的坐标，再根据向量数量积的公式，列出关于t的函数．
∵A(a,0)，B(0，a)，∴＝(a,0)，＝(－a，a)．
又∵＝t，∴＝＋＝(a,0)＋t(－a，a)
＝(a－ta，ta)，∴·＝a(a－ta)＝a2(1－t)．
∵0≤t≤1，∴0≤1－t≤1，即·的最大值为a2.
二、填空题
7．若两个平面向量a＝(1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标形式是________．
解析：∵b与a的夹角为180°，a＝(1,2)，
∴b＝λa＝(λ，2λ)(λ＜0)，
∴|b|＝＝|λ|＝－λ＝3，∴λ＝－3，
∴b＝(－3，－6)．
答案：(－3，－6)
8．(2010年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
解析：∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.
∴m＝－1.
答案：－1
9．(2011年济宁高一检测)若M(2,0)，N(0,2)，且点P满足＝，O为坐标原点，则·＝________.
解析：＝＝(－2,2)＝(－1,1)，∴P(1,1)，
∴＝(1,1)，∴·＝(2,0)·(1,1)＝2.
答案：2
三、解答题
10．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
(1)求a－2b的坐标表示和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
解：(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝ ＝.
(2)a·b＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1，
所以c＝a＋b＝(1,6)，
∴|c|＝＝.
11．已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解：设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ(λ>0)，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴，
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0. ①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0. ②
由①②可得，
∴||＝＝，
即||＝，D(1,1)．
12．以原点O和点A(5,2)为顶点做等腰直角三角形OAB，试求点B和的坐标．
解：设B点坐标为(x，y)，
则有＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．
当点B为等腰直角三角形OAB的直角顶点时，
①则有⊥ ·＝0且||＝||.
∴
，
解得或.
∴B点坐标为(，－)或(，)；
＝(－，－)或＝(－，)．
②当点O为等腰直角三角形OAB的直角顶点时，
则有⊥ ·＝0且||＝||，
∴，解得：或.
∴B点坐标为(－2,5)或(2，－5)；
＝(－7,3)或＝(－3，－7)．
③当点A为等腰直角三角形OAB的直角顶点时，同理可以计算(过程略)．
得到：点B坐标为(3,7)或(7，－3)；
＝(－2,5)或＝(2，－5)．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.1.1 向量的概念 同步练习
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．
其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，所以不是向量．故选D.
2．下列关于零向量的说法不正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量
B．零向量的方向是任意的
C．零向量与任一向量共线
D．零向量只能与零向量相等
解析：选A.零向量的方向是任意的，是有方向的．
3．如图所示，四边形ABCD中，＝，则相等的向量是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选D.∵＝，∴ABCD为平行四边形，
∴只有与长度相等，方向相同，所以＝.
4．下图中，小正方形的边长为1，则||＝________；||＝________；||＝________.
解析：根据勾股定理可得||＝3，||＝，||＝2.
答案：3 2
一、选择题
1．给出下列各命题
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：
选B.根据向量的有关概念，逐一判断．①根据作用力与反作用力的概念，可知作用力与反作用力是一对共线向量．②温度只有大小没有方向，所以不是向量．③如图可知，是共线向量．④x轴和y轴只有方向，没有大小，所以不是向量．只有①和③是正确的．故选B.
2．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，则下列说法中错误的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
解析：选D.依题意可知，a与b方向相反，长度相等．
3．下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则
a＝b或a＝－b；③若a与b是平行向量，则|a|＝|b|；
④若a＝0，则－a＝0，其中正确的命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.①是不正确的，原因是把数0当做了向量；②是把两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等只能说明它们的长度是相等的，但方向可以不同；③之所以错是对两向量平行的定义理解错误，两个向量平行并没有对模进行限制；④是正确的，所以本题应当选A.
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A．一条线段 B．一段圆弧
C．两个孤立点 D．一个圆
解析：选D.以圆心为始点，单位圆上的点为终点，所成的都是长度为1个单位的向量．
5．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则( )
A.与共线
B.与共线
C.与相等
D.与相等
解析：选B.向量共线(平行)，则向量的方向应该相等或者相反，故A错，B对；相等向量要同向等长，C不同向，D不同向．
6．如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )
A．||＝|| B.与共线
C.＝ D.与共线
解析：选C.与方向相同，但长度不一定相等．
二、填空题
7．已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定________．
解析：依题意知，c与b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)．
答案：平行(或共线)
8．如图，设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确表示的序号为________．
解析：正方形的对角线互相平分，
∴＝，①正确；
与的方向相同，∴∥，②正确；
与的方向相反，∴与共线，③正确；
尽管||＝||，但是与的方向不相同，∴≠，∴④不正确．
答案：①②③
9．一架飞机向西飞行100 km，然后改变方向向南飞行100 km，则飞机两次位移的和是________．
解析：如图，令起点为A，向西飞行100 km到达B，由B向南飞行100 km到达C，则飞机两次飞行后的位移向量为，且||＝100 km，方向为西南．
答案：西南100 km
三、解答题
10．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
(1)试作出向量，，；
(2)求||.
解：
(1)建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．
(2)根据题意，向量与方向相反，故向量∥.
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，
AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴||＝||＝400(海里)．
11．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段．
(1)写出图中与共线的向量；
(2)写出图中与方向相同的向量；
(3)写出图中与，的模相等的向量；
(4)写出图中与相等的向量．
解：等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC，
(1)图中与共线的向量有，，，.
(2)图中与方向相同的向量有，，，.
(3)图中与的模相等的向量为，与的模相等的向量有.
(4)图中与相等的向量为.
12．如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，求集合T＝{|P、Q∈M，且≠0}．
解：集合T＝{|P、Q∈M，且≠0}中的元素为非零向量，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点ABCD.这些向量为，，，，，，，，，，，.
由于＝，＝，＝，＝，根据集合元素的互异性，得集合T＝{，，，，，，，}．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1.2.3 同角三角函数的基本关系式 同步练习
1．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于( )
A．－ B.
C．± D．±
解析：选A.∵α为第二象限角，
∴cosα＝－＝－＝－，
∴tanα＝＝＝－.
2．化简的结果是( )
A．cos160° B．－cos160°
C．±cos160° D．±|cos160°|
解析：选B.＝＝－cos160°.
3．若tanα＝2，则的值为( )
A．0 B.
C．1 D.
解析：选B.＝＝.
4．若cosα＝－，则sinα＝________，tanα＝________.
解析：∵cosα＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
若α是第二象限角，则sinα>0，tanα<0.
∴sinα＝＝，tanα＝＝－.
若α是第三象限角，则sinα<0，tanα>0.
∴sinα＝－＝－，tanα＝＝.
答案：或－ －或
一、选择题
1．若α是第四象限的角，tanα＝－，则sinα等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.∵tanα＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，
∴sinα＝±，
又α为第四象限角，∴sinα＝－.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B.∵α为第三象限角，∴sinα<0，cosα<0，
∴＋＝＋＝－1－2＝－3.
3．(2011年济南高一检测)A为三角形ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝，则这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解析：选B.∵sinA＋cosA＝，
∴(sinA＋cosA)2＝()2＝，
即1＋2sinAcosA＝，∴2sinAcosA＝－<0，
∴sinA>0，cosA<0，
∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
4．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D.sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ
＝
＝
＝＝.
5．(tanx＋cotx)cos2x＝( )
A．tanx B．sinx
C．cosx D．cotx
解析：选D.(tanx＋cotx)·cos2x＝(＋)·cos2x＝·cos2x＝＝cotx.
6．使 ＝成立的α的范围是( )
A．{x|2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z}
B．{x|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}
C．{x|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}
D．只能是第三或第四象限的角
解析：选A . ＝ ＝＝，
即sinα＜0，故{x|2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z}．
二、填空题
7．计算＝________.
解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
8．已知tanα＝－3，则＝________.
解析：＝＝＝＝－.
答案：－
9．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为________．
答案：0
三、解答题
10．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ·(1＋)＝＋.
证明：左边＝sinθ(1＋)＋cosθ·(1＋)
＝sinθ＋＋cosθ＋
＝(sinθ＋)＋(＋cosθ)
＝＋
＝＋＝右边，
∴原式成立．
11．在△ABC中，sinA＋cosA＝，AC＝2，AB＝3，求tanA的值．
解：∵sinA＋cosA＝，①
∴(sinA＋cosA)2＝，即1＋2sinAcosA＝，
∴2sinAcosA＝－.
∵0°
0，cosA<0.
∴sinA－cosA>0.
∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝，
∴sinA－cosA＝.②
①＋②，得sinA＝.
①－②，得cosA＝.
∴tanA＝＝×＝－2－.
12．是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦值．
解：设这两个锐角为A，B，
∵A＋B＝90°，∴sinB＝cosA，
所以sinA，cosA为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根．
所以
②代入①2，得9k2－8k－20＝0，解得k1＝2，k2＝－，当k＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，Δ<0方程无解；将k＝－代入②，得sinAcosA＝－<0，
所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )3.1.2 两角和与差的正弦 同步练习
1．若M＝cos17°sin13°＋sin17°cos13°，则M的值为( )
A. B.
C. D. 以上都不对
解析：选A.原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝.
2．sin65°cos35°－cos65°sin35°等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝.
3．若M＝sin12°cos57°－cos12°sin57°，N＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°，则以下判断正确的是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＋N＝0 D．MN＝
解析：选C.M＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－sin45°＝－，
N＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝cos45°＝，
∴M＋N＝0.
4．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sinαsin＝________.
解析：原式＝2sinαcosβ－2sinαcosβ＝0.
答案：0
一、选择题
1．计算sin43°·cos13°－cos43°·sin13°的结果等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．(2011年金华高一检测)已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若·＝－1，则sin等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，
∴·＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)
＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα
＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，
∴3(sinα＋cosα)＝2，
∴3sin(α＋)＝2，
∴sin(α＋)＝.
3．在△ABC中，若sinAcosB＝1－cosAsinB，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B.∵sinAcosB＝1－cosAsinB，
∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，
即sin(A＋B)＝1.
∵A，B为三角形的内角，
∴A＋B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D.∵cosB＝∴sinB＝，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×＝.
5．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．ab＜1 D．ab＞2
解析：选B.a＝sin(α＋)，b＝sin.
f(x)＝sin在上是增函数．
又0＜α＜β＜，
∴f(α)＜f(β)，即a＜b.
6．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵m·n＝1＋cos(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．
又A＋B＝π－C，∴整理得sin(C＋)＝，
∵0＜C＜π，∴＜C＋＜，
∴C＋＝，∴C＝.
二、填空题
7．函数f(x)＝sinx＋sin的最大值是________．
解析：f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，
∴f(x)的最大值为2.
答案：2
8．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝________.
解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－(cos120°cosx＋sin120°sinx)
＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.
答案：0
9.＋sin10°tan70°－2cos40°＝________.
解析：＋sin10°tan70°－2cos40°
＝＋－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝
＝2.
答案：2
三、解答题
10．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵＜α＜π，＜＋α＜π，
∴sin＝＝.
∵0＜β＜，π＜π＋β＜π，
∴cos
＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
11．设A，B为锐角三角形ABC的两个内角，向量a＝(2cosA,2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)，若a，b的夹角为60°，求A－B的值．
解：∵|a|＝2，|b|＝3，
a·b＝2cosA·3cosB＋2sinA·3sinB＝6(cosAcosB＋sinAsinB)＝6cos(A－B)
而a与b的夹角为60°，
则cos60°＝＝
＝＝cos(A－B)
即cos(A－B)＝.
又∵0＜A＜，0＜B＜，
∴－＜A－B＜，
∴A－B＝±.
12．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点(，2)．
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
解：(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x
由于f(x)图象经过点(，2)．
∴f()＝2，即m(1＋sin)＋cos＝2，
∴m＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋sin(2x＋)．
故当sin(2x＋)＝－1时，f(x)取得最小值，
f(x)min＝1－.
相应的2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，
∴x＝kπ＋π，k∈Z，
∴使函数f(x)取得最小值的x的集合为{x|x＝kπ＋π，k∈Z}．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1.3.3 已知三角函数值求角 同步练习
1．已知α是三角形的一个内角，且sinα＝，则角α等于( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选C.∵α是三角形的一个内角，
∴0＜α＜π，
∵sinα＝，
∴α＝或.
2．已知cosx＝，πA. B.
C. D.
解析：选D.∵cosx＝，π∴x＝2π－arccos＝.
3．满足tanx＝－1的x的集合是( )
A．{x|x＝} B．{x|x＝kπ＋，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝kπ－，k∈Z}
解析：选D.∵tanx＝－1，∴在(－，)内x＝－，
∴x＝kπ－，k∈Z.
4．arcsin(－)＋arctan＝________.
解析：arcsin(－)＝－，
arctan＝，
∴arcsin(－)＋arctan＝0.
答案：0
一、选择题
1．若sinx＝，x∈(，π)，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C.＋arcsin D．－arcsin
解析：选B.∵π－arcsin∈(，π)，且sin(π－arcsin)＝，∴x＝π－arcsin.
2．(2011年大庆高一检测)设cosα＝－，α∈(0，π)，则α的值可表示为( )
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
解析：选C.∵π－arccos∈(0，π)，且cos(π－arccos)＝－cos(arccos)＝－，
∴α＝π－arccos.
3.的值等于( )
A. B．0
C．1 D．－
解析：选C.∵arcsin＝，arccos(－)＝，arctan(－)＝－，
∴原式＝＝＝1.
4．若x∈[0，]，则使等式cos(πcosx)＝0成立的x的值是( )
A. B.或
C.或 D.或或
答案：D
5．给出下列等式
①arcsin＝1 ②arcsin(－)＝－ ③arcsin(sin)＝ ④sin(arcsin)＝
其中正确等式的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①arcsin无意义；②③④正确．
6．若tan(2x＋)＝，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B.∵tan(2x＋)＝，∴2x＋＝＋kπ
∴2x＝－＋kπ，∴x＝－＋(k∈Z)，
∴x＝或x＝或x＝或x＝，共4个．
二、填空题
7．方程2cos(x－)＝1在区间(0，π)内的解是________．
解析：∵2cos(x－)＝1，∴cos(x－)＝，
∵x∈(0，π)，∴x－∈(－，)，∴x－＝，
∴x＝.
答案：
8．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.
解析：∵x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，
∴2cos(＋α)＝1，∴cos(＋α)＝.
∵α∈(0,2π)，∴α＋∈(，)，
∴α＋＝，∴α＝.
答案：
9．函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．
解析：要使函数有意义，需有：，
解得：1≤x≤.
答案：[1，]
三、解答题
10．已知tanx＝－1，且cosx＝，求x的取值集合．
解：∵tanx＝－1<0，且cosx＝>0，
∴x是第四象限角，即2kπ－∵又cos(x－2kπ＋π)＝cos(x＋π)＝－cosx＝－(k∈Z)，
∴x－2kπ＋π＝arccos(－)(k∈Z)，
即x＝2kπ－π＋＝2kπ－(k∈Z)．
∴x的取值集合为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．
11．已知函数f(x)＝2sin(2x－)＋1，
(1)求函数y＝f(x)的最大值、最小值以及相应的x值；
(2)若x∈[0,2π]，求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)若y>2，求x的取值范围．
解：(1)当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最大值为3；
当2x－＝2kπ－，即x＝kπ－，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最小值为－1.
(2)令T＝2x－，则当2kπ－≤T≤2kπ＋，即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，也即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sinT＋1单调递增，
又x∈[0,2π]，∴函数y＝f(x)的单调增区间为[0，]，[，]，[，2π]．
(3)∵y＝2sin(2x－)＋1>2，∴sin(2x－)>，从而2kπ＋<2x－<2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin(180°－A)＝cos(B－90°)，cosA＝－cos(180°＋B)，求角A、B、C的大小．
解：∵sin(180°－A)＝cos(B－90°)，
∴sinA＝sinB.①
又cosA＝－cos(180°＋B)，
∴cosA＝cosB，②
①2＋②2得cos2A＝，
即cosA＝±.
∵A∈(0，π)，∴A＝或.
(1)当A＝时，有cosB＝，
又B∈(0，π)，∴B＝，C＝.
(2)当A＝时，
由②得cosB＝＝－<0，
可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．
综上，可知A、B、C的大小分别为，，.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )3.1.1 两角和与差的余弦 同步练习
1．下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cosα－cosβ；
②cos(＋α)＝sinα；
③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A.①仅有特殊角使之成立，一般情况下不成立；②cos(＋α)＝－sinα；③cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
2．cos24°cos54°＋sin24°sin54°的值是( )
A．0 B.
C. D．－
解析：选C.原式＝cos(24°－54°)＝cos(－30°)＝.
3．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)
＝cos43°cos77°－sin43°sin77°
＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－.
4．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝________.
解析：原式＝cos[(α＋β)－α]＝cosβ.
答案：cosβ
一、选择题
1．cos80°cos35°＋sin80°cos55°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.原式＝cos(80°－35°)＝cos45°＝.
2．cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析：选A.cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)
＝cos(36°＋x)cos(54°－x)－sin(x＋36°)sin(54°－x)
＝cos(36°＋x＋54°－x)＝cos90°＝0.
3．(2011年菏泽高一检测)sin15°－cos15°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.原式＝sin30°sin15°－cos30°cos15°
＝－(cos30°cos15°－sin30°sin15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－.
4．若sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β都是锐角，则β等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.从凑角入手，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝
cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
∵β为锐角，
∴β＝.
5．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝π B．α＝π，β＝π
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选A.原式可变为：cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
即cos(α－β)＝，依次代入验证A适合．
6．若△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B) 的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵△ABC为直角三角形，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，sinB＝，cosB＝，
∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝×＋×＝.
二、填空题
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
∴＝＝＝，
∴tanαtanβ＝.
答案：
8．已知向量a＝(sinα，cosα)，向量b＝(cosβ，sinβ)，α、β都是锐角，且a∥b，则α＋β等于________．
解析：∵a∥b，
∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0，
即cos(α＋β)＝0.
∵α、β均为锐角，∴0°＜α＋β＜180°，
∴α＋β＝90°.
答案：90°
9．如果cosθ＝－，θ∈(π，)，那么cos(θ＋)的值等于______．
解析：∵cosθ＝－，θ∈(π，)，
∴sinθ＝－，
∴cos(θ＋)＝cosθcos－sinθsin
＝－×－(－)×＝－.
答案：－
三、解答题
10．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈(，π)，α＋β∈(，2π)，求cos2β的值．
解：∵sin(α－β)＝，α－β∈(，π)，
∴cos(α－β)＝－ ＝－.
∵sin(α＋β)＝－，α＋β∈(π，2π)，
∴cos(α＋β)＝ ＝.
∵2β＝(α＋β)－(α－β)，
∴cos2β＝cos(α＋β)·cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β)
＝×(－)＋(－)×＝－＝－1.
11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
求cos(α－β)．
解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
12．已知函数f(x)＝2cos(x－π)＋2cosx，x∈[，π]．
(1) 若sinx＝，求函数f(x)的值；
(2)求函数f(x)的值域．
解：(1)∵sinx＝，x∈[，π]，
∴cosx＝－.
又f(x)＝2(cosxcosπ＋sinxsinπ)＋2cosx＝－cosx＋sinx＋2cosx
＝sinx＋cosx＝×－＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)
＝2(coscosx＋sinsinx)＝2cos(x－)．
∵≤x≤π，∴≤x－≤，
∴－≤cos(x－)≤，
∴函数f(x)的值域为[－1，]．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 同步练习
1．设5π＜θ＜6π，cos＝a，那么sin等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.由cos＝1－2sin2
得sin2＝，
又5π＜θ＜6π，∴＜＜.
∴sin＜0.
∴sin＝－.
2．已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则cos的值为( )
A. B．－
C．± D．－
解析：选B.∵cosθ＝2cos2－1，
∴cos2＝，
∵270°＜θ＜360°∴135°＜＜180°，∴cos＜0，
∴cos＝－＝－＝－.
3．已知sinα＝－，且α为第三象限的角，则tan等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A.由sinα＝－，且α为第三象限的角，
则cosα＝－.
所以tan＝＝＝－.
4．若cos22°＝a，则sin11°＝________，cos11°＝________.
解析：cos22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，
∴cos11°＝＝，
sin11°＝＝.
答案：
一、选择题
1．cos2－的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D.cos2－＝＝cos＝×＝.
2．下列各式与tanα相等的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由于＝＝tanα.
3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝，则tan的值为( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：选D.∵sin(270°＋α)＝，∴cosα＝－.
又180°＜α＜270°，∴90°＜＜135°.
∴tan＝－＝－＝－3.
4．已知tan＝3，则cosα为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.cosα＝＝＝－.
5．已知cosα＝，且π<α<2π，则tan等于( )
A．－ B.
C．－或 D．－3
解析：选A.∵<α<2π，∴<<π.
∴cos＝－＝－＝－，
sin＝＝＝，
∴tan＝＝－.故选A.
6．已知α为锐角，且sinα∶sin＝3∶2，则tan的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.＝＝2cos＝，
∴cos＝，
∵α为锐角，
∴sin＝＝，
∴tan＝＝.
二、填空题
7．化简 (<θ<2π)＝______.
解析：原式＝＝|sin|，
∵<θ<2π，∴<<π，
∴sin>0，故原式＝sin.
答案：sin
8．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x
＝sin＋1
∴ymin＝－＋1
答案：1－
9．(2011年西安高一检测)已知tan(π－α)＝2，则的值是________．
解析：∵tan(π－α)＝－tanα＝2，
∴tanα＝－2，
∴原式＝＝＝＝－.
答案：－
三、解答题
10．已知tan＝2，求
(1)tan的值；
(2)的值．
解：(1)∵tan＝2，
∴tanα＝＝＝－；
∴tan
＝＝
＝＝－；
(2)由(1)，tanα＝－，
所以＝
＝＝.
11．化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－180°)．
解：原式＝＋＋sin2θ＝1＋[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋sin2θ
＝1＋(cos2θcos30°－sin2θsin30°－cos2θcos30°－sin2θsin30°)＋sin2θ
＝1＋(－sin2θsin30°)＋sin2θ＝1.
12．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos的值．
解：∵0<α<，∴cosα＝＝，
∵0<α<，0<β<，
∴0<α＋β<π，
若0<α＋β<，∵sin(α＋β)∴α＋β<α不可能，故<α＋β<π.
∴cos(α＋β)＝－，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－×＋×＝.
∵0<β<，∴0<<，
故cos＝＝.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.1.3 向量的减法 同步练习
1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.a＋b＝＋＝.
2．下列非零向量的运算结果为零向量的是( )
A.＋ B.＋＋
C.＋＋＋ D.＋＋＋
解析：选D.A中＋＝＋＝≠0；
B中＋＋＝＋＝＋＝≠0；
C中＋＋＋＝＋＋＝≠0；
D中＋＋＋＝＋＝0.
3．化简－(－－)为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.－(－－)＝－＋＋＝＋＋0.
4．已知＝a，＝b且||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，|a－b|＝________，tan∠OBA＝________.
解析：如图||＝13.
答案：13
一、选择题
1.＋＋等于( )
A. B.
C．0 D.
解析：选B.＋＋＝＋＋＝＋＝.
2．下列等式一定能成立的是( )
A.＋＝ B.－＝
C.＋＝ D.－＝
解析：选D.很容易看出A是不正确的；－＝，故B错误，D正确；又－＋＝＋＋＝2≠0，故C是错误的，故选D.
3．已知a、b是非零向量，下列说法正确的是( )
A．|a|－|b|＜|a－b| B．|a|－|b|＞|a－b|
C．|a|＋|b|＞|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|
解析：选D.当a、b不共线时，如图有||AD|－|AB||＜|BD|＜|AD|＋|AB|，即||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，所以B错；当a、b同向时，有||a|－|b||＝|a－b|，|a|＋|b|＝|a＋b|，所以A、C错．
4．下列四个式子中，不能化简为的是( )
A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋)
C.＋－ D.－＋
解析：选C.(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝，故排除A；又(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0，故排除B；而－＋＝＋＝，故排除D，故选C.
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则必有( )
A.＝0
B.＝0或＝0
C．ABCD是矩形
D．ABCD是正方形
解析：选C.∵平行四边形ABCD中，
|＋|＝|－|，
∴||＝||，即平行四边形ABCD对角线相等，
∴ABCD为矩形．
6．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋) km
解析：选B.如图，由向量加法的平行四边形法则，可知a＋b的方向是沿平行四边形的对角线的方向，且tanα＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故应选B.
二、填空题
7．给出下列运算：
①－＋＝0；
②－＋＝0；
③－(－)－＝；
④(－)－(－)＝.
其中，所有正确的序号是________．
解析：①－＋＝＋＝0，∴正确；
②－＋＝＋－＝－＝0，∴正确；
③－(－)－＝－＋－＝＋－＝－＝，∴正确；
④(－)－(－)＝＋－(＋)＝－＝≠，∴不正确．
答案：①②③
8．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________.
解析：|＋＋|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.
答案：2
9．已知△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，有下列命题：
①|－|＝|＋|；②|－|＝|－|；
③|－|＝|－|；④|－|2＝|－|2＋|－|2.
其中正确命题的序号为________．
解析：如图，①正确．因为|－|＝||，
|＋|＝||＝||.
②正确．因为|－|＝||，|－|＝||＝||.
③正确．|－|＝||，|－|＝||＝||.
④正确．|－|2＝||2，|－|2＋|－|2
＝||2＋||2＝||2.
所以①②③④都正确．
答案：①②③④
三、解答题
10．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明：已知四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：如图，设＝a，＝b，则＝＝a，＝＝b.
∴＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a.
∴＝，又∵点B不在上，
∴AD∥BC，AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
11.
如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
12．已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量、、、满足等式＋＝＋.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．
解：通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形．
证明如下：
∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，∴AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.1.4 数乘向量 同步练习
1.的结果是( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：选B.
＝(2a＋8b)－(4a－2b)
＝a＋b－a＋b
＝－a＋2b＝2b－a.
2．若向量方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于( )
A.a B．－6a
C．6a D．－a
解析：选C.原方程变形为2x－3x＋6a＝0，∴x＝6a.
3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )
A.＋
B．－＋
C．－－
D.－
解析：选B.＝＋＝－＋.
4．O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________.
解析：3e2＝，2e1＝，∴3e2－2e1＝－＝(－)＝＝.
答案：
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立，D错误．等号左边结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等．C正确，因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
2．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )
A．－a B．－b
C．－c D．以上都不对
解析：选A.∵3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3a＋6b)－(6b＋2c)－(2a＋2b)＝a－2b－2c，又∵a＝b＋c，∴3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝－a.
3．设x是未知向量，a、b是已知向量，且满足3(x＋a)＋2(b－a)＋x－a－2b＝0，则x等于( )
A．0 B．a＋b
C．3a－b D．0
解析：选D.(3＋1)x＝－3a－2b＋2a＋a＋2b＝0，
∴x＝0.
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析：选B.以，为邻边作 ABCD，对角线的交点为O，如图，则＋＝＝2，又＋＝2，
所以O，P重合，＋＝＋＝0.
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(2x－2y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x＋y的值为( )
A．3 B．－3
C．9 D．2
解析：选C.∵(2x－2y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴，解得.
∴x＋y＝6＋3＝9.
6．O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：选A.如图，因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC.
二、填空题
7．若2－(b－3x＋c)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析：2x＋x＝a＋b－b＋c，
∴x＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
8．若△ABC满足||＝|＋|，则△ABC的形状一定为________．
解析：∵△ABC满足||＝|＋|，
∴由矩形的对角线相等且互相平分可知：
△ABC的形状必定为直角三角形．
答案：直角三角形
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若＝a，＝b，则＝________.
解析：如图，∵＝(＋)，且＝a，
＝＋＝a＋b，
∴＝(a＋a＋b)＝a＋b.
答案：a＋b
三、解答题
10．计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b
＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6－4＋4)a＋(－6＋8)b＋(6－4－2)c
＝6a＋2b.
11．如图所示，已知＝3e1，＝3e2，
(1)如图(1)，C、D为AB的三等分点，求，；
(2)如图(2)，C、D、E为AB的四等分点，求、.
解：(1)＝－＝3e2－3e1，
∴＝e2－e1＝.
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝2e1＋e2；
＝＋＝2e1＋e2＋(e2－e1)＝e1＋2e2.
(2)＝3e2－3e1，＝e2－e1，
＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2，
此时，＝＝(3e2－3e1)＝e2－e1，
＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2.
12．已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e、f表示；
(2)证明四边形ABCD为梯形．
解：(1)根据向量求和的多边形法则，
有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f
＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝－2，
即＝2.
所以根据数乘向量的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )3.2.1 倍角公式 同步练习
1．(2011年高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.设P为角θ终边上任意一点，则cos θ＝.当t>0时，cos θ＝；当t<0时，cos θ＝－.因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
2．cos4－sin4等于( )
A．0 B.
C．1 D．－
解析：选B.cos4－sin4
＝＝cos＝.
3．若α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＞0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.∵sin2α＝2sinαcosα＜0∴sinα，cosα一正一负
∵cosα－sinα＞0，∴cosα＞0，sinα＜0.
∴α在第四象限．
4．(1)2sin37.5°·cos37.5°＝________；
(2)sin267.5°－cos267.5°＝________；
(3)＝________.
解析：(1)2sin37.5°cos37.5°＝sin75°＝；
(2)sin267.5°－cos267.5°＝－cos135°＝；
(3)＝·＝tan15°＝.
答案：(1) (2) (3)
一、选择题
1．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15° B．cos2－sin2
C. D.
解析：选D.A中原式＝sin30°＝；
B中原式＝cos＝；
C中原式＝＝＝cos＝；
D中原式＝tan45°＝.
2．函数y＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A.y＝2cos2－1＝cos＝sin2x.
3．(2011年日照高一检测)已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.f(x)＝cos2－cos2
＝cos2－sin2
＝cos＝－sin2x
∴f＝－sin＝－.
4．函数f(x)＝sin4x－cos4x＋2的周期和最大值为( )
A．2π 3 B．2π 2
C．π 3 D．π 2
解析：选C.f(x)＝sin4x－cos4x＋2
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2
＝－cos2x＋2.
∴T＝π，f(x)max＝3.
5．已知f(tanx)＝tan2x，则f(2)等于( )
A．4 B.
C．－ D．－
解析：选D.∵f(tanx)＝tan2x＝
∴f(2)＝＝－.
6．(2011年临沂高一检测)已知＝1＋2，那么sin2θ＋sin2θ的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选A.由已知可解得tanθ＝∴sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＋2sinθcosθ＝＝1.
二、填空题
7．若f(cosx)＝3－cos2x，则f(sinx)＝________.
解析：f(sinx)＝f＝3－cos＝3－cos＝3＋cos2x.
答案：3＋cos2x
8．若sin2α＝，则tan2α＋＝________.
解析：tan2α＋＝＋
＝
＝
＝＝＝.
答案：
9．若f(x)＝－asincos的最大值为2，则a＝________.
解析：f(x)＝＋asincos
＝cosx＋asinx＝sin(x＋φ)．
∴＝2，
∴1＋a2＝16，
∴a＝±.
答案：±
三、解答题
10．化简.
解：法一：原式＝
＝
＝＝1.
法二：原式＝
＝
＝＝＝1.
11．(1)已知sinα＋cosα＝，求cos2α，tan2α的值；
(2)已知sinsin＝，求sin2α的值．
解：(1)∵(sinα＋cosα)2＝，
∴1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝sin2α＝－，
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.
又＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα－cosα＝，
∴cos2α＝cos2α－sin2α
＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)
＝×＝－，
∴tan2α＝＝＝.
(2)∵sin＝sin＝cos.
∴sinsin
＝sincos
＝sin＝sin
＝cos2α＝，
∴cos2α＝.
又∵0＜α＜，∴0＜2α＜π，∴sin2α＝.
12．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx
＝2sinxcosx＝sin2x，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由－≤x≤ －＜2x≤π，
∴－≤sin2x≤1，
∴f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 同步练习
1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是( )
A．向左、右无限延展
B．与y＝－sinx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
解析：选D.y＝sinx是奇函数，图象关于原点对称．
2．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，π，2π B．0，，，π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，π
解析：选B.令2x＝0，，π，，2π得x＝0，，，，π.
3．下列命题中正确的个数为( )
①y＝sinx的递增区间为[2kπ，2kπ＋](k∈Z)
②y＝sinx在第一象限是增函数
③y＝sinx在[－，]上是增函数
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选A.由y＝sinx的单调性知①②错，③正确．
4．函数y＝sin2x－6sinx＋10的最大值是________，最小值是________．
解析：令sinx＝t，t∈[－1,1]，
则t2－6t＋10＝(t－3)2＋1，
∴最大值为17，最小值为5.
答案：17 5
一、选择题
1．函数y＝sin|x|的图象是( )
解析：选B.y＝sin|x|＝，
作出y＝sin|x|的简图知选B.
2．设函数f(x)＝|sin(x＋)|(x∈R)，则f(x)( )
A．在区间[，]上是增函数
B．在区间[－π，－]上是减函数
C．在区间[，]上是增函数
D．在区间[，]上是减函数
解析：选A.f(x)的增区间为kπ≤x＋≤kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
当k＝1，则为≤x ≤，故在其子区间[，]上为增函数．
3．(2010年高考江西卷)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1,1] B．[－，－1]
C．[－，1] D．[－1，]
解析：选C.令sinx＝t，t∈[－1,1]，
∴y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，
∵t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]．
4．(2011年济宁高一检测)已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选A.定义域为R.
∴f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|.
∴|a|＝0，∴a＝0.
5．(2011年汕头模拟)函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的最大值和最小值之和为( )
A. B．2π
C．4π D.
解析：选B.画出图象可知，b－a的最大值为，最小值为，∴最大值和最小值的和为＋＝2π
6．下列函数中，奇函数的个数是( )
①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①∵x∈R定义域关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2·sin(－x)＝－x2·sin x＝－f(x)，是奇函数．②∵x∈[0,2π]定义域不关于原点对称，∴它是非奇非偶函数．③∵x∈[－π，π]，∴定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x)，是奇函数．④∵x∈R关于原点对称且f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，是奇函数．综上应选C.
二、填空题
7．(2011年聊城高一检测)方程sinx＝x2有________个正实根．
解析：由图象看出在y轴右侧两个函数y＝sinx，
y＝x2有3个交点．
故方程sinx＝x2有3个正实根．
答案：3
8．函数y＝()sinx的单调递增区间为________．
解析：设u＝sinx，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u＝sinx的单调递减区间，结合u＝sinx的图象知：2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案：[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
9．(2011年烟台模拟)函数f(x)＝sinx＋2|sinx|(x∈[0,2π])的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的范围是________．
解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
分别画出f(x)及y＝k的图象(图略)，
由图象可知1答案：(1,3)
三、解答题
10．对于函数y＝|sinx|和y＝sin|x|.
(1)分别作出它们的图象；
(2)分别求出其定义域、值域，单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性．
解：(1)y＝|sinx|的图象如图①所示．
y＝sin|x|图象如图②所示．
(2)y＝|sinx|，定义域：R；值域：[0,1]；单调递增区间：[kπ，kπ＋](k∈Z)，偶函数，周期为π.
y＝sin|x|，定义域：R；值域：[－1,1]；单调递增区间：[2kπ－π，2kπ－](k为非正整数)，[0，]，[2kπ＋，2kπ＋](k为非负整数)；偶函数；非周期函数．
11．若函数y＝a－bsinx的最大值为，最小值为－，试求函数y＝－4asinbx的最值及周期．
解：设t＝sinx∈[－1,1]，
①当b>0时，a－b≤a－bt≤a＋b.∴，
∴.∴所求函数为y＝－2sinx.
②当b<0时，同理可得，∴.
∴所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sinx.
∴综合①②得，所求函数为y＝±2sinx，其最小值为－2，最大值为2，周期为2π.
12．已知函数f(x)＝asin(x－)＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝sin(x－)＋1＋b.
∵y＝sinx的单调递减区间为
[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，
∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)f(x)＝asin(x－)＋a＋b，
∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤，
∴－≤sin(x－)≤1.
又∵a<0，∴a≤asin(x－)≤－a.
∴a＋a＋b≤f(x)≤b.
∵f(x)的值域是[2,3]，
∴a＋a＋b＝2且b＝3，
解得a＝1－，b＝3.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.4.2 向量在物理中的应用 同步练习
1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：选A.设P(x，y)是所求直线上任一点，则⊥a，
又∵＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，
即所求的直线方程为2x＋y－7＝0.
2．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 D．5
解析：选D.|F1＋F2|＝|＋|＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5.
3．已知点A(2，－1)，B(－1,3)，C(t，t－1)，若⊥，则点C的坐标为( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：选D.∵＝(t－2，t)，＝(t＋1，t－4)，
∴·＝(t－2)(t＋1)＋t(t－4)＝2t2－5t－2＝0，
∴t＝，
∴点C的坐标为或.
4．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则P点的轨迹方程为______．
解析：由题意，点P(x，y)满足·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，即为P点的轨迹方程．
答案：x＋2y＝4
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：选D.∵∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
解析：选B.如图可知|F1|
＝|F|cos60°＝5.
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)．若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )
A．(1，－1) B．(－1,1)
C．(－4,6) D．(4，－6)
解析：选D.设c＝(x，y)，
∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，
∴4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8,18)．
又由表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0.
即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，求得c＝(x，y)＝(4，－6)，应选D.
4．(2011年三明高三检测)O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
解析：选B.∵－＝，
＋－2＝－＋－＝＋，
∴·(＋)＝0，
∴△ABC为以BC为底边的等腰三角形．
5．一条河的宽为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为( )
A．|v1| B.
C. D．|v1|－|v2|
解析：选C.画出船过河的简图可知，实际速度是v1与v2的和，由勾股定理知道选C.
6．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选C.|＝||＝||，则O是△ABC外接圆的圆心，O为外心；＋＋＝0，则N为△ABC的重心；·＝·，则·(－)＝0，
即·＝0，PB⊥CA，同理PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
7．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为________．
解析：＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝0，
即⊥，故△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
8．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移s＝，则共点力对物体所做的功为________．
解析：对于合力F＝(5,3)，其所做的功为W＝F·s＝＋＝7.
答案：7
9．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.
解析：·＝(＋)·＝·＋·＝0＋·＝(－)·＝2－·＝2＝.
答案：
??三、解答题
10．已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.
求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
证明：
建立如图所示平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．
∵·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥得y＝－2x＋4，
由得，∴点P坐标为(，)．
∴||＝＝2＝||，即AP＝AB.
11．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．若∥，⊥，
(1)求x，y的值；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)＝＋＋＝(4＋x，y－2)，
＝(－4－x,2－y)．
由∥，得x(2－y)＋y(4＋x)＝0.①
＝＋＝(6＋x，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)．
由⊥，得(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
由①②，解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.
(2)S四边形ABCD＝||||，当x＝2，y＝－1时，S四边形ABCD＝16；当x＝－6，y＝3时，S四边形ABCD＝16.
即四边形ABCD的面积为16.
12．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量)．
求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
解：＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.
(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28 J.
F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23 J.
(2)F＝F1＋F2＝5i－4j.
所以F做的功W＝F·s＝F·＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5 J.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )3.3 三角函数的积化和差与和差化积 同步练习
1．下列等式错误的是( )
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB
B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB
C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB
D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB
解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确．
2．sin15°sin75°＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B.sin15°sin75°＝
－[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]
＝－(cos90°－cos60°)
＝－(0－)＝.
3．sin105°＋sin15°等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sincos＝2sin60°cos45°＝.
4．sin37.5°cos7.5°＝________.
解析：sin37.5°cos7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin45°＋sin30°)
＝＝.
答案：
一、选择题
1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50°
＝(sin90°＋sin50°)＋(cos60°－cos40°)
＝＋sin50°＋－cos40°＝.
2．cos72°－cos36°的值为( )
A．3－2 B.
C．－ D．3＋2
解析：选C.原式＝－2sinsin
＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°
＝－2·＝－
＝－＝－，故选C.
3．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
解析：选B.由已知等式得[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，又A＋B＝π－C.所以cos(A－B)－cos(π－C)
＝1＋cosC.
所以cos(A－B)＝1，又－π4．函数y＝sincosx的最大值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B.y＝sincosx
＝
＝
＝sin－.
∴ymax＝－＝.
5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos2α＋cos2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]
＝cos2α－sin2β，
∴cos2α－sin2β＝.
6．函数y＝sin－sinx(x∈[0，])的值域是( )
A．[－2,2] B.
C. D.
解析：选B.y＝sin－sinx＝2cossin
＝cos(x＋)．
∵x∈，
∴≤x＋≤，
∴y∈.
二、填空题
7．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值等于________．
解析：y＝sin215°＋cos215°＋cos75°·cos15°
＝1＋(cos90°＋cos60°)＝.
答案：
8．已知α－β＝，且cosα＋cosβ＝，则cos(α＋β)等于________．
解析：cosα＋cosβ＝2coscos＝2coscos＝cos＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
答案：－
9．函数y＝coscos的最大值是______．
解析：y＝
＝＝－cos2x，
因为－1≤cos2x≤1，所以ymax＝.
答案：
三、解答题
10．化简下列各式：
(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝
＝＝tan.
(2)原式＝
＝
＝＝.
11. 在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．
解：由题意得
cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝[sin(π－B)－sin(A－C)]
＝－sin(A－C)．
∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴－≤－sin(A－C)≤，
∴cosAsinC的取值范围是.
12．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f(x)表示成cosx的多项式；
(2)求f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝
＝＝2coscos
＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1.
(2)∵f(x)＝2(cosx＋)2－，
且－1＜cosx＜1.
∴当cosx＝－时，f(x)取最小值－.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1.3.1 正弦函数的图象与性质 第二课时 同步练习
1．函数y＝2sin(＋)的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
解析：选B.振幅为2，周期为＝4π.
2．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.∵φ∈[0,2π)，∴把 y＝sin x的图象向左平移 φ个单位长度得到 y＝sin(x＋φ)的图象，而 sin(x＋)＝sin(x＋－2π)＝sin(x－)．
3．已知函数y＝2011sinωx(ω>0)的图象与直线y＋2011＝0的相邻的两个公共点间的距离为，则ω的值为( )
A．3 B.
C. D.
解析：选A.函数y＝2011sinωx的最小值是－2011，它与直线y＋2011＝0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由＝，得ω＝3.
4．函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．
解析：y＝sinx→y＝3sinx→y＝3sin(x－3)
＝3sin(x－1)．
答案：y＝3sin(x－1)
一、选择题
1．要得到y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选D.∵y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]，∴把y＝sin2x的图象向右平移个单位就能得到y＝sin(2x－)的图象．
2．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示，那么ω＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选B.2T＝2π，∴T＝π，
又T＝，∴＝π，∴ω＝2.
3．(2011年宁德高一检测)函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]的简图为( )
解析：选A.f(π)＝sin(2π－)＝－，排除B、D.f()＝sin(2×－)＝0，排除C，或用五点法作图验证．
4．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
解析：选D.∵T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)
∵f(0)＝2sinφ＝，∴sinφ＝，∵|φ|<，∴φ＝.
5．(2010年高考辽宁卷)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：选A.若平移后的图象与原图象重合，则平移量应该是周期的整数倍，即是函数的1个周期或多个周期，ω取最小值时，应为其1个周期，故＝.又ω>0，所以ω＝.
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)的值等于( )
A. B．0
C.＋2 D.－2
解析：选C.由图象知A＝2，T＝8＝，∴ω＝，
∴y＝2sin(x＋φ)，代入(2,2)，
∴2＝2sin(＋φ)，∴sin(＋φ)＝1，∴φ＝0，
∴y＝2sinx.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)
＝2(sin＋sin＋sin＋sinπ＋sin＋sinπ＋sinπ＋sin2π)＝0.
而2011÷8＝251……3，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝f(1)＋f(2)＋f(3)
＝2(2sin＋sin)＝2×(＋1)＝2＋2.
二、填空题
7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的实数x，都有f(＋x)＝f(－x)，则f(＋)等于________．
解析：由依题意知x＝为y＝f(x)的对称轴．
∴f()＝±3，
而T＝，
∴f(＋)＝±3.
答案：3或－3
8．(2011年沂水高一检测)把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．
解析：y＝sin(2x＋)→y＝sin[2(x－)＋]→y＝2sin2x.
答案：y＝2sin2x
9．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如下图所示，则φ＝________.
解析：由题图可知，＝2π－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，∴y＝sin(x＋φ)，又∵sin(×π＋φ)＝－1，∴sin(π＋φ)＝－1，∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∵－π≤φ＜π，∴φ＝π.
答案：π
三、解答题
10．已知函数y＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(3)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
解：(1)振幅A＝，周期T＝＝π，初相φ＝；
(2)当sin(2x＋)＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z时，取最大值＋＝，此时x＝kπ＋，k∈Z.
(3)把y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin(x＋)的图象，然后再把y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，然后再把y＝sin(2x＋)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，最后把y＝sin(2x＋)的图象向上平移个单位长度，就得y＝sin(2x＋)＋的图象．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图象向x轴正方向平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．
解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，∴ω＝.把(0,1)代入解析式y＝2sin(＋φ)，得2sinφ＝1.
又|φ|<，解得φ＝.
∴y＝2sin(＋)为所求．
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin(x＋)，再平移得g(x)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x－)．
列表
x
x－ 0 π 2π
2sin(x－) 0 2 0 －2 0
图象如图
12．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为(n∈N＋)．
(1)求函数y＝sin3x在[0，]上的面积；
(2)求函数y＝sin(3x－π)＋1在[，]上的面积．
解：(1)y＝sin3x在[0，]上的图象如图所示，
由函数y＝sin3x在[0，π]上的面积为，
∴在[0，π]上的面积为.
(2)由图可知阴影面积为S＝SABCD＋＝π＋.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 同步练习
1．已知a＝(－1,3)，b＝(x，－1)，且a、b共线，则x等于( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选C.∵a∥b，∴(－1)×(－1)－3·x＝0，∴x＝.
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y的值是( )
A．9 B．－9
C．13 D．－13
解析：选B.＝(－5－3,2－(－6))＝(－8,8)，
＝(6－3，y－(－6))＝(3，y＋6)，
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴(－8)×(y＋6)－8×3＝0，
∴－8y－48－24＝0，∴8y＝－72，∴y＝－9.
3．下列各组的两个向量，共线的是( )
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2) D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
解析：选D.D中(－3)×(－4)－2×6＝0，∴a4∥b4.
4．已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.
解析：∵a，b方向相反，∴a∥b，
∴x2－1＝0，∴x＝±1.
当x＝1时，a＝(1,1)，b＝(1,1)，此时a、b同向．
当x＝－1时，a＝(－1,1)，b＝(1，－1)，此时a、b反向．
答案：－1
一、选择题
1．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则x的值是( )
A．2 B．1
C. D．－
解析：选C.a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，
∴(1＋2x)·3－4(2－x)＝0，解得x＝.
2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，且2a＋b－3c＝0，则c等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵2a＋b－3c＝0，∴3c＝2a＋b，
∴c＝a＋b＝(5，－2)＋(－4，－3)
＝＝.
3．(2011年绍兴高一检测)已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．0 B．1－
C．1＋ D.
解析：选C.＝(1，a2＋a)，＝(2，a3＋a)
∵A、B、C三点共线，∴、共线，
∴1×(a3＋a)－2(a2＋a)＝0，
∴a3－2a2－a＝0，解得a＝0或a＝1±，
∵a＞0，∴a＝1＋.
4．若a，b是不共线的两个向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的条件为( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
解析：选D.A、B、C共线 ＝m λ1a＋b＝ma＋mλ2b λ1λ2＝1 λ1λ2－1＝0.
5．(2011年济南高一检测)设a＝(，sinα)，b＝(cosα，)，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60°
C．75° D．45°
解析：选D.∵a∥b，∴×－sinαcosα＝0，
∴sinαcosα＝，①
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋1＝2，
∵α为锐角，∴sinα＋cosα＝，②
由①②知α＝45°.
6．在平行四边形ABCD中，＝(－6，－7)，＝(2，－3)，若平行四边形ABCD的对称中心为E，则为( )
A．(－2,5) B．(－2，－5)
C．(2，－5) D．(2,5)
解析：选D.＝＋＝(－6，－7)＋(2，－3)＝
(－4，－10)，∴＝(4,10)，∴＝＝(2,5)，故选D.
二、填空题
7．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于________．
解析：∵a∥b，∴3cosα－4sinα＝0，∴4sinα＝3cosα，
∴＝tanα＝.
答案：
8．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵λa＋b与c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.
答案：2
9．a＝(1,1)，b＝(1，－2)，c＝(4,1)，若c＝xa＋yb，则x＋y的值为________．
解析：c＝xa＋yb＝(x，x)＋(y，－2y)
＝(x＋y，x－2y)＝(4,1)，
∴，∴，
∴x＋y＝3＋1＝4.
答案：4
三、解答题
10．已知点M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，且∥，求y的值，并求出向量的坐标．
解：∵点M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，
∴＝(－1,1)，＝(－1，y－1)．
∵∥，∴(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0，
解得y＝2
∴＝(－1,1)．
11．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x＋1,14)，
v＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x，－2)，
又因为u∥v，
所以－2(2x＋1)－14(2－x)＝0，
即10x＝30，解得x＝3.
(2)若a，v共线，则2(2－x)＝－2，解得x＝3，所以要使a，v不共线，{x|x∈R且x≠3}为所求．
12．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴＝(2,2)＝(，)．
∵＝，∴＝(－2,3)＝(－，1)．
因为(x1＋1，y1)＝(，)，
所以x1＝－，y1＝，即E(－，)．
因为(x2－3，y2＋1)＝(－，1)，
所以x2＝，y2＝0，即F(，0)．
∴＝(，－)．
又∵4×(－)－×(－1)＝0.
所以∥.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1.2.1 三角函数的定义 同步练习
1．角α的终边上有一点P(1，－1)，则sinα的值是( )
A. B．－
C．± D．1
解析：选B.利用三角函数定义知：sinα＝＝＝－.
2．若sinα>0，tanα<0，则α为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B.由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上，
由tanα<0知α终边在第二、四象限，
综上知α为第二象限角．
3．sin2cos3tan4的值为( )
A．负数 B．正数
C．0 D．不存在
解析：选A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2cos3tan4<0.
4．若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，secα＝________，cscα＝________，cotα＝________.
解析：∵m<0，∴r＝＝－m，
∴sinα＝＝＝；
cosα＝＝＝－；
tanα＝＝＝－；
secα＝＝－；
cscα＝＝；
cotα＝＝－；
答案： － － － －
一、选择题
1．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin0，cosπ}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{－1,0}
解析：选D.B＝{sin0，cosπ}＝{0，－1}，
∴A∩B＝{0，－1}．
2．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．4 B．－4
C．±4 D.
解析：
选B.在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P(－4，a)，作PM⊥x轴于M，则－|OM|＝－4，∠MOP＝60°，－|MP|＝a＝－4.
3．(2011年临沂高三模拟)在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角或钝角三角形
解析：选B.∵0∴cosB·tanC<0
∴cosB与tanC异号，∴B、C中有一个角为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
4．已知cosθ·tanθ<0，那么θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
解析：选C.由cosθ·tanθ<0，知或
且θ不在坐标轴上，因此θ在第三或第四象限．
5．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα的值为( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选C.在α的终边上任取一点P(1,2)，则r＝＝，所以sinα＝＝＝；或者取P(－1，－2)，则r＝＝，所以sinα＝＝＝－.
6．(2011年湛江高一检测)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是( )
A．(－2,3) B．[－2,3)
C．(－2,3] D．[－2,3]
解析：选C.由题意可知，解得
即－2二、填空题
7．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．
解析：由题意P(m，n)是角α终边上一点，
sinα＝＝<0，∴n<0.
又角α的终边与y＝3x重合，
故n＝3m<0，∴m<0.
由|OP|＝，则m2＋n2＝10，
10m2＝10，m2＝1，∴m＝－1.
由n＝3m，∴n＝－3.
∴m－n＝－1－(－3)＝2.
答案：2
8．5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°＝________.
解析：∵sin90°＝1，sin0°＝0，sin270°＝－1，cos180°＝－1，∴原式＝－2.
答案：－2
9．函数y＝的定义域为________．
解析：由1＋sinx≠0得x≠2kπ－，k∈Z，
要使tanx有意义，需x≠kπ＋，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}．
答案：{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
三、解答题
10．已知角α的终边上一点P(－，m)，且sinα＝m，求cosα，tanα的值．
解：由于r＝＝，
又sinα＝＝，由已知，得＝m，
∴m＝0或m＝，或m＝－.
当m＝0时，r＝，y＝0，
∴cosα＝－1，tanα＝0.
当m＝时，r＝2，y＝，
∴cosα＝－，tanα＝－.
当m＝－时，r＝2，y＝－，
∴cosα＝－，tanα＝.
11．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan(－)．
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.
(2)∵<3<π，π<4<，∴sin3>0，cos4<0，
∵－＝－6π＋，∴tan(－)>0，
∴sin3·cos4·tan(－π)<0.
12．已知＝－，且lgcosα有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．
解：(1)由＝－可知sinα<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lgcosα有意义可知cosα>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角
综上可知，角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴()2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－，
由正弦函数的定义可知，
sinα＝＝＝＝－.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2.3.2 向量数量积的运算律 同步练习
1．有4个式子：①0·a＝0；②0·a＝0；③0＝；④
|a·b|＝|a||b|，其中正确的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C.0|0|·|a|cosθ＝0，故①正确，②错误；0＝0＝，故③正确；而|a·b|＝||a||b|cosθ|＝|a|·|b|·|cosθ|，故④错误，从而选C.
2．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝( )
A．3 B．1
C. D．2
解析：选A.a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝2××＝3.
3．向量a，b满足a·b＝－40，|a|＝10，|b|＝8，则向量a，b的夹角为( )
A．60° B．－60°
C．120° D．－120°
解析：选C.cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
4．已知〈a，b〉＝120°，|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|＝________.
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝4＋2×2×3×＋9＝7.
答案：
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
①0·00；②a·b＝b·a；③|a·b|≤a·b.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析： 选A.①正确；a·b＝|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ＝b·a，②正确；|a·b|＝||a||b|·cosθ|＝|a||b||cosθ|≥|a|·|b|cosθ＝a·b，③错误，故选A.
2．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于( )
A．12 B．－12
C．12 D．－12
解析：选C.∵a与－b的夹角为45°，
∴a·(－b)＝|a|·|－b|·cos45°＝4×6×＝12.
3．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，
又|a|＝1，∴a·b＝3，
即|a||b|cos〈a，b〉＝3＝1×6cos〈a，b〉，
得cos〈a，b〉＝，
∴a与b的夹角为，故选C.
4．(2011年聊城高一检测)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )
A．72 B．－72
C．36 D．－36
解析：选B.∵a·b＝|a||b|cos60°＝12，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝36－12－96＝－72.
5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选B.＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，
于是|＋|＝|－|，
所以|＋|2＝|－|2，即·＝0，
从而AB⊥AC，故选B.
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.
∵AM＝1，且＝2.∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·＝2＝()2＝.
二、填空题
7．若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.
解析：∵a·a＝|a||a|cos0°＝1，
a·b＝|a||b|cos120°＝－，
∴a·a＋a·b＝1－＝.
答案：
8．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
解析：
如图，·＝(－)·(－)＝(－－)·(－－)＝(－)·(－)
＝·－2－2
＝×(2)2×cos60°－×(2)2－×(2)2
＝－2.
答案：－2
9．(2011年烟台模拟)设a与b是两个向量，定义|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，θ是a与b之间的夹角，则下列说法正确的是________．
①若a＝(1，)，b＝(2,0)，则|a×b|＝2；
②当向量a与b方向相同时，|a×b|＝0；
③当向量a与b方向相反时，|a×b|＝0；
④|a×b|是向量a与b张成的平行四边形的面积的大小．
解析：①若a＝(1，)，b＝(2,0)，
则a与b的夹角为，∴|a×b|＝2×2×sin＝2.
②当向量a与b方向相同时，|a×b|＝|a||b|sin0＝0.
③当向量a与b方向相反时，|a×b|＝|a||b|sinπ＝0.
④如图，作＝a，＝b，
|b|sinθ＝|BB1|，
所以|a×b|是向量a与b张成的平行四边形的面积的大小．
答案：①②③④
三、解答题
10．已知|a|＝4，|b|＝5，|a＋b|＝，求：
(1)a·b；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)∵|a＋b|＝，
∴21＝a2＋b2＋2a·b.
又|a|＝4，|b|＝5，
∴a·b＝＝－10.
(2)(2a－b)·(a＋3b)
＝2a2－3b2＋5a·b
＝2×42－3×52＋5×(－10)＝－93.
11．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝0，
即||2－||2＝0，∴||＝||.
∴△ABC为等腰三角形．
12．设△ABC是⊙O内接正三角形，P是⊙O上任一点，则PA2＋PB2＋PC2是否为定值？若是正多边形，结论是否成立？
解：∵＝－，∴||2＝(－)2＝||2－2·＋||2＝2r2－2·(r为半径)．
同理||2＝2r2－2·，||2＝2r2－2·，
∴||2＋||2＋||2＝6r2－2(＋＋)，
而＋＋＝0，
∴||2＋||2＋||2＝6r2为定值．
当为正多边形时，结论仍然成立．
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1.2.4 诱导公式 同步练习
1．sin585°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.
2．cos(－225°)＋sin(－225°)等于( )
A. B．－
C．0 D.
解析：选C.cos(－225°)＋sin(－225°)＝cos225°－sin225°
＝cos(180°＋45°)－sin(180°＋45°)＝－cos45°＋sin45°
＝－＋＝0
3．cos2010°＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.cos2010°＝cos(360°×5＋210°)＝cos210°
＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－.
4．tan－cos(－)＋sin(－)的值为________．
解析：原式＝tan(2π－)－cos(－2π－)＋sin(－2π－)
＝tan[2π＋(－)]－cos(2π＋)－sin(2π＋)
＝－tan－cos－sin
＝－1－－＝－2.
答案：－2
一、选择题
1．sin(－π)的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.sin(－π)＝sin(－4π＋)＝sin＝.
2．已知cos(＋φ)＝，且|φ|<，则tanφ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.∵cos(＋φ)＝，∴sinφ＝－，
又|φ|<，∴φ＝－，
故tanφ＝tan(－)＝－tan＝－.
3．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：选A.由tan(5π＋α)＝m得tanα＝m，所以原式＝＝＝，故选A.
4．下列三角函数中，与sin数值相同的是( )
①sin(nπ＋π) ②cos(2nπ＋) ③sin(2nπ＋)
④cos[(2n＋1)π－] ⑤sin[(2n＋1)π－]，(n∈Z)
A．①② B．①②③
C．②③⑤ D．①③⑤
解析：选C.①若n为偶数，则sin(nπ＋)＝sin
＝－sin；
若n为奇数，则sin(nπ＋)＝sin(π＋)
＝sin(2π＋)＝sin.
④cos[(2n＋1)π－]＝cos(π－)＝－cos≠sin.
5．(2011年南昌高三模拟)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)(a，b，α，β为常数)，且f(2010)＝－1，那么f(2011)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C.f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2011)＝asin(2011π＋α)＋bcos(2011π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)＝－(－1)＝1.
6．(2011年潍坊高一检测)已知a＝tan(－)，b＝cosπ，c＝sin(－π)，则a、b、c的大小关系是( )
A．b>a>c B．a>b>c
C．b>c>a D．a>c>b
解析：选A.a＝tan(－)＝－tan＝－tan(π＋)
＝－tan＝－；
b＝cosπ＝cos(6π－)＝cos＝；
c＝sin(－π)＝－sinπ＝－sin(8π＋)
＝－sin＝－.
∵>－>－，∴b>a>c.
二、填空题
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
解析：cos(－θ)＝cos[2π－(＋θ)]＝cos(＋θ)＝.
答案：
8．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
解析：令S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，
则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°
＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°，
∴2S＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89，
∴S＝.
答案：
9．若α∈(－，0)，且sin(2π＋α)＝log8，则tan(2π－α)＝________.
解析：∵sin(2π＋α)＝log8＝－，
∴sinα＝－.
∵α∈(－，0)，∴cosα＝，
∴tan(2π－α)＝－tanα＝－＝－＝.
答案：
三、解答题
10．求tan(－)sin(－)－costan的值．
解：原式＝tan(4π＋)sin(14π＋)－cos(6π＋)·tan(9π＋)＝tan(2π－)sin(π＋)－costan
＝tansin－sin
＝×－＝0.
11．已知cos(75°＋α)＝，α为第三象限角，求
cos(105°－α)sin(α－105°)的值．
解：由于cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－，
sin(α－105°)＝－sin(105°－α)
＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．
由于cos(75°＋α)＝>0，α为第三象限角，那么75°＋α为第四象限角，
则sin(75°＋α)＝－
＝－＝－，
所以cos(105°－α)sin(α－105°)
＝(－)×()＝－.
12．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1)原式＝
＝＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝－sinα，
∴sinα＝－，
又α是第三象限角，
∴cosα＝－＝－＝－，
∴f(α)＝－cosα＝.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )