2021年北师大版七年级数学下册《1.6完全平方公式》自主学习同步提升训练
1．老师给出：a+b=1，=2，
你能计算出ab的值为
（
）
A．-1
B．3
C．-
D．-
2．若x+y＝7，xy＝﹣11，则x2+y2的值是（ ）
A．49
B．27
C．38
D．71
3．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+
B．1+x2
C．x+xy+1
D．x2+2x﹣1
4．若M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（ ）
A．零
B．负数
C．正数
D．整数
5．已知：a＝2020x+2021，b＝2020x+2022，c＝2020x+2023．则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．0
B．2023
C．2022
D．3
6．已知（a﹣b）2＝7，（a+b）2＝13，则a2+b2与ab的值分别是（ ）
A．10，
B．10，3
C．20，
D．20，3
7．若x+y＝3，则（x﹣y）2+4xy﹣1的值为（ ）
A．2
B．5
C．8
D．10
8．设a＝x﹣2017，b＝x﹣2019，c＝x﹣2018，若a2+b2＝34，则c2的值是（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
9．若m为大于0的整数，则（m+4）2﹣（m﹣4）2一定是（ ）
A．5的倍数
B．6的倍数
C．10的倍数
D．16的倍数
10．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为
．
11．已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝
．
12．若n满足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，则（n﹣2019）（2020﹣n）＝
．
13．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，则a2+b2的值为
，ab的值为
．
14．已知a+b＝8，ab＝12，则﹣ab＝
．
15．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是
，宽是
．
16．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为
．
17．已知x＝5﹣y，则2x2+4xy+2y2﹣7的值为
．
18．若x2﹣16x+m2是一个完全平方式，则m＝
；若m﹣＝9，则m2+＝
．
19．设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝
．
20．如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是
．
21．用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．
（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．
22．阅读理解：
已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝
，（x+y）2＝
；
（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．
23．（1）已知关于x、y的多项式x2+kxy﹣y2+xy+3不含xy项，且满足2a+4b﹣k﹣3＝0，ab﹣2k＝0，求代数式a2+4b2的值；
（2）已知（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，求代数式（4x2﹣4039）2的值．
24．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是
；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x?y＝，则x﹣y＝
；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
25．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：
；方法2：
；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系
；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
③已知（a﹣2019）2+（a﹣2021）2＝8，则求（a﹣2020）2的值．
26．已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值．
27．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）?c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．2021年北师大版七年级数学下册《1.6完全平方公式》自主学习同步提升训练答案
1．D解：根据完全平方公式可得：，即2+2ab=1，则ab=-
2．解：∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝49，
即x2+2xy+y2＝49，
∵xy＝﹣11，
∴x2+y2＝49﹣2×（﹣11）＝49+22＝71．
故选：D．
3．解：A、x2﹣x+是完全平方式；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；
C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；
D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．
故选：A．
4．解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13，
＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2），
＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2＞0．
故选：C．
5．解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ac+a2）]
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
而a＝2020x+2021，b＝2020x+2022，c＝2020x+2023，
∴a﹣b＝2020x+2021﹣（2020x+2022）＝﹣1，
同理
b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝3．
故选：D．
6．解：∵（a﹣b）2＝7，（a+b）2＝13，
∴a2+b2﹣2ab＝7①，
a2+b2+2ab＝13②，
①+②得a2+b2＝10，
①﹣②得ab＝．
故选：A．
7．解：（x﹣y）2+4xy﹣1
＝x2﹣2xy+y2+4xy﹣1
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1，
当x+y＝3时，原式＝32﹣1＝8．
故选：C．
8．解：∵a＝x﹣2017，b＝x﹣2019，a2+b2＝34，
∴（x﹣2017）2+（x﹣2019）2＝34，
∴（x﹣2018+1）2+（x﹣2018﹣1）2＝34，
∴（x﹣2018）2+2（x﹣2018）+1+（x﹣2018）2﹣2（x﹣2018）+1＝34，
∴2（x﹣2018）2＝32，
∴（x﹣2018）2＝16，
又c＝x﹣2018，
∴c2＝16．
故选：A．
9．解：原式＝m2+8m+16﹣m2+8m﹣16＝16m，
∵m＞0的整数，
∴（m+4）2﹣（m﹣4）2一定是16的倍数，
故选：D．
10．解：根据题意可得，四边形ABCD的面积
＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）
＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；
代入a+b＝10，ab＝20，可得：
四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．
故答案为：20．
11．解：∵x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，
∴m+3＝±3，
解得：m＝﹣6或m＝0，
故答案为：﹣6或0
12．解：∵（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，
∴[（n﹣2019）+（2020﹣n）]2
＝（n﹣2019）2+2（n﹣2019）（2020﹣n）+（2020﹣n）2＝1+2（n﹣2019）（2020﹣n）＝1，
∴（n﹣2019）（2020﹣n）＝0．
故答案为：0．
13．解：∵（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，
∴a2+2ab+b2＝25①，a2﹣2ab+b2＝9②，
∴①+②得：2a2+2b2＝34，
∴a2+b2＝17，
①﹣②得：4ab＝16，
∴ab＝4．
故答案是：17；4．
14．解：当a+b＝8、ab＝12时，
原式＝＝＝＝＝8，
故答案为：8．
15．解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得，，
解得：．
故答案为：9cm，4cm．
16．解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝，
∴S阴影＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM
＝a2+b2﹣a×﹣b×
＝a2+b2﹣（a+b）2＝（a+b）2﹣2ab﹣（a+b）2＝100﹣40﹣25＝35，
故答案为：35．
17．解：∵x＝5﹣y，
∴x+y＝5，
∴2x2+4xy+2y2﹣7＝2（x+y）2﹣7＝2×25﹣7＝43．
故答案为：43．
18．解：∵x2﹣16x+m2是完全平方式，
∴16x＝2×8?x，
∴m2＝82，
解得m＝±8；
∵m﹣＝9，
∴（m﹣）2＝m2﹣2+＝81，
解得m2+＝81+2＝83．
19．解：∵（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，
∴25a2+9b2+30ab＝25a2+9b2﹣30ab+A，
∴A＝60ab．
故答案为：60ab．
20．解：因为a2﹣9b2＝4，
所以（a+3b）（a﹣3b）＝4，
所以（a+3b）2（a﹣3b）2
＝[（a+3b）（a﹣3b）]2
＝42
＝16，
故答案为：16．
21．解：（1）方法一，小正方形的边长为（a﹣b），因此，小正方形的面积是（a﹣b）2，
方法二，大正方形的面积减去四个长方形的面积可得，小正方形的面积为：（a+b）2﹣4ab，
可以发现（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
答：（a﹣b）2，或（a+b）2﹣4ab，
可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）解：依题意，得，
解得，
∴a﹣b＝5，
答：小正方形的边长是5cm．
22．解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，
故答案为：5，1；
（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，
∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．
23．解：（1）根据题意，k＝﹣1，2a+4b＝2，a+2b＝1，
又∵ab﹣2k＝0，
∴ab＝2k＝﹣2，
a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab＝1+8＝9．
（2）设2x2﹣2019＝m，2x2﹣2020＝n．
∴原式（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，即为m2+n2＝4，
求代数式（4x2﹣4039）2的值即为求（m+n）2．
又∵m﹣n＝1，
∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝4﹣2mn＝1．
∴2mn＝3．
因此，（m+n）2＝m2+n2+2mn＝4+3＝7．
24．解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x?y＝，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×，
∴（x﹣y）2＝16
∴x﹣y＝±4，
故答案为：±4；
（3））∵（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1，
∴[（2019﹣m）+（m﹣2020）]2＝1，
∴（2019﹣m）2+2（2019﹣m）（m﹣2020）+（m﹣2020）2＝1，
∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，
∴2（2019﹣m）（m﹣2020）＝1﹣15＝﹣14；
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣7．
25．解：（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，
∴S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
∴S正方形＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝13，
∴ab＝6；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，
∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy＝＝＝﹣2，
即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；
③设a﹣2019＝x，a﹣2021＝y，则x﹣y＝2，
∵（a﹣2019）2+（a﹣2021）2＝8，
∴x2+y2＝8，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴xy＝，
∵x﹣y＝2，即y＝x﹣2，
∴（a﹣2020）2＝（a﹣2000）（a﹣2000）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝3．
26．解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11．
（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．
27．解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）2（a﹣b）＝[（a﹣b）2+4ab]（a﹣b）
＝[（﹣3）2+4×（﹣2）]×（﹣3）＝﹣3．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c＝（﹣10）2+2×（﹣12）＝76．
