5.3.2 函数的极值与最大(小）值（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件（13张PPT））

5.3.2 函数的极值
与最大（小）值（一）
1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值 与导数的关系.
2．初步掌握求函数极值的方法．
3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．
复习回顾
2）判断函数y＝f (x)单调性的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求出导数f ′(x)的零点；
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
1） 函数的单调性与导数的正负的关系；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；
问题1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应的，导数的正负有什么变化规律?
单调递增
O
t
a
b
单调递减
以a，b为例进行说明.
问题2：对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？观察下图，函数y=f(x)在
x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
一般地，设函数f(x)在a附近有定义,如果对a附近的所有的点,都有f(x)＞f(a),
f(a)是函数y=f(x)的极小值，a是极小值点.
设函数f(x)在点b附近有定义，如果对b附近的所有的点，都有f(x)＜f(b)，
f(b)是函数y=f(x)的极大值，b 是极大值点.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值。
结论：极值点两侧，导数正负符号相异.
2、极值点两侧导数正负符号的规律：
1、函数的极大值和极小值的概念：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} x
x x1
x>x1
f'(x)



f (x)
+
-
0
增
减
极小值
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} x
x x2
x>x2
f'(x)



f (x)

增
0
-
极大值
减
+
注意：
(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f (x)在[a，b]内有极值，那么f (x)在[a，b]内绝不是单调函数，即极值不单调，单调无极值．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图)．
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
2
( 2, +∞)
f '(x)
0
0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
(0, e)
e
(e, ＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
f (x)
令 f ′(x)＝0，解得 x＝e.
当 x 变化时，f ′(x) 与 f (x)的变化情况如下表：
解：函数 的定义域为 (0，＋∞)，且 .
因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f (e)＝ ，没有极小值.
单调递增
单调递减
如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；
+
-
x0
-
+
x0
解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：
如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；
求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
分析：x =0是否为函数f (x)=x3的极值点?
f' (x)=3x2 ，当f' (x)=0时，x =0，
而x =0不是该函数的极值点.
x
y
o
f (x) = x3
问题3: 若 f '(x0)=0，则 x0是否为极值点？
结论：f '(x0)=0是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
f' (x0) =0 x0 是可导函数f (x)的极值点
x0左右两侧导数异号 x0是函数f (x)的极值点 f' (x0)=0
课堂小结
如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；
解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：
如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；
3.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
一般地，设函数f(x)在a附近有定义,如果对a附近的所有的点,都有f(x)＞f(a),
f(a)是函数y=f(x)的极小值，a是极小值点.
设函数f(x)在点b附近有定义，如果对b附近的所有的点，都有f(x)＜f(b)，
f(b)是函数y=f(x)的极大值，b 是极大值点.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值。
2.极值点两侧导数正负符号的规律：极值点两侧，导数正负符号相异
1.函数的极大值和极小值的概念：