6.1.2 两个计数原理的综合应用（习题课）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（14张 ppt ）

两个计数原理
——综合应用（习题课）
解决计数问题的一般思维过程：
要完成的一件事
如何完成这件事
方法的“分类”
过程的“分步”
利用分类加法计数原理计数
利用分步乘法计数原理计数
分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
复习引入
题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用
1.从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？
解：要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”，分两步完成：第1步，选正组长，有5种方法；第2步，选副组长，有4种方法，所以共有5×4=20种。
2.在1,2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
法一：解：被5除余2的数的末位是2或7，在1，2，…，500中符合题意的数分为3类：
第1类：一位数，只有2，7两个数；.
第2类：两位数，个位数有2，7两种取法，十位数有9种取法，共有2×9=18个数；
第3类：三位数，个位数有2，7两种取法，十位数有10种取法，百位数可以为1，2，3，4，共4种取法，共有2×10×4=80个数。
所以，N=2+18+80=100.
题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用
1.从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？
解：要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”，分两步完成：第1步，选正组长，有5种方法；第2步，选副组长，有4种方法，所以共有5×4=20种。
2.在1,2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
法二：
5=k ...2
=
5k +2
=
所以，N=100.
题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用
变式1：各位上的数字不可以重复？
变式2：0.1.2.3.4 可以组成多少个三位数？（各位上的数字不可以重复）
3.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？
解：分3步来解决，由于各位上的数字可重复，因此三位数中每一位都有5种来法，所以共可以组成5×5×5=125个三位数.
解：分3步来解决，由于各位上的数字不可重复，
第1步：选一个百位数字，5种；第2步：选一个十位数字，4种；第3步：选一个个位数字，3种
所以共可以组成5×4×3=60个三位数.
解：分3步来解决，由于各位上的数字不可重复，
第1步：选一个百位数字，在1，2，3，4四个数里选一个，4种选择；第2步：选一个十位数字，4种；第3步：选一个个位数字，3种；所以共可以组成4×4×3=48个三位数.
4.任意画一条直线，在直线上任取n个分点.
（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？
（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？
解：（1）当直线上左起第1个点为线段的左端点，右端有（n-1）种取法，可得到（n-1）条线段，类似地，当直线上左起第2,3,...,(n-1)个点为线段左端点时，右端分别有(n-2)，(n-3)，...，1种取法，分别得到(n-2)，(n-3)，...，1条线段，所以共得到 条线段。
（2）因为每条线段都对应两个向量，所以由（1）可知共可得到 个向量。
...
1
2
3
n-1
4
n
（n-1）条线段
题型二：投信问题
例1. 把3封信投到4个信箱，所有可能的投法有多少种？
练习1：（课本12页 8题）
（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是34还是43？
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53？
易错点：分不清两个计数原理，首先明确“要完成的一件事”，如何完成？分类还是分步，然后合理选择计数原理。
解：（1）一件事情是“4名同学分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”，应该是人选运动队，所以不同报法种数是34.
（2）一件事情是“3个班分别从5个景点中选择一处游览”，应该是班选景点，故不同的选法种数是53.
题型三：涂色类问题
例2.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3=180(种)不同的涂法.
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80(种)不同的涂法.
由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法.
题型三：涂色类问题
练习1:本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?
将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
法一：依题意,可分两类:①④不同色;①④同色.
第1类,①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成四步来完成.
第1步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第2步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第3步涂③与第4步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.
于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5×4×3×2=120(种).
第2类,①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.
第1步涂①④,有5种涂法;第2步涂②,有4种涂法;第3步涂③,有3种涂法.
于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3=60(种).
综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).
题型三：涂色类问题
练习1:本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?
将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
法二：
第1步涂②，从5种颜色中任选一种,有5种涂法;
第2步涂③，从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;
第3步涂①，与第4步涂④时,分别有3种涂法.
于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3×3=180(种).
先涂相邻最多的方格。
题型三：涂色类问题
练习2：（课本12页 11题）
在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人；连续值班2天，有多少种可能的安排方法？
解：利用分步乘法计数原理，分七步来求解。
第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法；
第二步，安排第二天的值班人员，有6种方法；除第一天值班的人外，剩余6人都可安排。
第三步，安排第三天的值班人员，有6种方法；除第二天值班的人外（包括第一天值班的人），剩余6人都可安排。
同理，第四、五、六、七步均有6种方法。
公上所述，共有7×6×6×6×6×6×6=26592.
题型三：涂色类问题
练习3：（课本27页 17题）
如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？
解：可以按照Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的顺序着色，所以不同的着色方法种数为 5?4?3?3=180
课堂小结
题型一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用；
题型二：投信问题；
题型三：涂色类问题；