6.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（2）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（20张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（2）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（20张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 329.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-23 21:20:52 | ||
图片预览
文档简介
6.1分类加法计数原理
和分步乘法计数原理（2）
1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别.(逻辑推理)
2.运用两个计数原理解决综合与实际问题.(数学运算)
课堂小结
1、分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法、那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
推广： 完成一件事情需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法、那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
推广： 做一件事情，完成它可以有n类不同方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
解决计数问题的一般思维过程：
要完成的一件事
如何完成这件事
方法的“分类”
过程的“分步”
利用分类加法计数原理计数
利用分步乘法计数原理计数
分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
复习引入
现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：
(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
分析：
如何完成：
（1）“要完成的一件事”：
第1类：选一名高一年级的学生，m1=3种；
第2类：选一名高二年级的学生，m2=5种；
第3类：选一名高三年级的学生，m3=4种；
“分类”
“从3个年级的学生中任选1人”
N=m1+m2+m3=3+5+4=12
课前练习
现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：
(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
分析：
如何完成：
（2）“要完成的一件事”：
第1步：选一名高一年级的学生，m1=3种；
第2步：选一名高二年级的学生，m2=5种；
第3步：选一名高三年级的学生，m3=4种；
“分步”
“从3个年级的学生中任选1人”
N=m1?m2?m3=3?5?4=60
课前练习
例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
2、如何完成：
1、“要完成的一件事”：
“选出2幅画，分别挂
在左、右两边墙上”
第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；
第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法；
N=3?2=6种.
“分步”
分析：
左边
右边
甲
甲
乙
丙
乙
丙
丙
甲
乙
两个计数原理的综合应用
例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
2、如何完成：
1、“要完成的一件事”：
“选出2幅画，分别挂
在左、右两边墙上”
第1步：从3幅画中选2幅，有3种选法；
第2步：将选出的两幅画挂好，有2种挂法；
N=3?2=6种.
“分步”
分析：
两个计数原理的综合应用
追问1：你还能给出不同的解法吗？
（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙）
例5：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U～Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？
分析：
如何完成：
（1）“要完成的一件事”：
“分步”
“给程序模块命名”
第1步：选首字符，
第2步：选中间字符，
第3步：选最后一个字符，
N=m1×m2×m3=13×9×9=1053
两个计数原理的综合应用
m1=7+6=13种；
m2=9种；
m3=9种；
注意：后面两个字符可以重复
例6：电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成。
两个计数原理的综合应用
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符?
分析：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
2种
第3位
第8位
......
2种
2种
2种
如何完成：
“要完成的一件事”：
“分步”
“确定一个字节各二进制上的数字”
N=28=256
例6：电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成。
两个计数原理的综合应用
（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?
分析：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
2种
第3位
第8位
......
2种
2种
2种
256*256=65536
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
2种
第3位
第8位
......
2种
2种
2种
例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
两个计数原理的实际应用
如何完成：
“要完成的一件事”：
“分步”
“开始 A 结束”
第1步：开始 A
第2步：
A 结束”
例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
两个计数原理的实际应用
“开始 A 结束”
例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
解：整个模块的执行路径条数共为：91×81=7371.
先分别单独测试5个模块，总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172.
测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为：3×2=6.
N=172+6=178
两个计数原理的实际应用
例8：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如下图）.
鲁R·JR007
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
例9：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如下图）.
鲁R·JR007
解：根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张。
根据分类加法计数原理，这类号牌张数共为：
240000+240000+240000+240000+240000=1200000.
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
例9：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如下图）.
鲁R·JR007
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第b位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为：24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为：76000×10=5760000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为
576000×10=5760000.
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为：100000+1200000+5760000=7060000.
课堂小结
我们今天都学到了什么？
2.把握好解题的关键——要“完成的一件事”是什么？
1.复习巩固了两个计数原理；
3.能够综合利用两个计数原理解决简单的综合应用问题.
（1）课本第7页 1.2.3.4.5
（2）课本第7页 1.2.3.4
和分步乘法计数原理（2）
1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别.(逻辑推理)
2.运用两个计数原理解决综合与实际问题.(数学运算)
课堂小结
1、分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法、那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
推广： 完成一件事情需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法、那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
推广： 做一件事情，完成它可以有n类不同方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
解决计数问题的一般思维过程：
要完成的一件事
如何完成这件事
方法的“分类”
过程的“分步”
利用分类加法计数原理计数
利用分步乘法计数原理计数
分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
复习引入
现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：
(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
分析：
如何完成：
（1）“要完成的一件事”：
第1类：选一名高一年级的学生，m1=3种；
第2类：选一名高二年级的学生，m2=5种；
第3类：选一名高三年级的学生，m3=4种；
“分类”
“从3个年级的学生中任选1人”
N=m1+m2+m3=3+5+4=12
课前练习
现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：
(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
分析：
如何完成：
（2）“要完成的一件事”：
第1步：选一名高一年级的学生，m1=3种；
第2步：选一名高二年级的学生，m2=5种；
第3步：选一名高三年级的学生，m3=4种；
“分步”
“从3个年级的学生中任选1人”
N=m1?m2?m3=3?5?4=60
课前练习
例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
2、如何完成：
1、“要完成的一件事”：
“选出2幅画，分别挂
在左、右两边墙上”
第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；
第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法；
N=3?2=6种.
“分步”
分析：
左边
右边
甲
甲
乙
丙
乙
丙
丙
甲
乙
两个计数原理的综合应用
例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
2、如何完成：
1、“要完成的一件事”：
“选出2幅画，分别挂
在左、右两边墙上”
第1步：从3幅画中选2幅，有3种选法；
第2步：将选出的两幅画挂好，有2种挂法；
N=3?2=6种.
“分步”
分析：
两个计数原理的综合应用
追问1：你还能给出不同的解法吗？
（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙）
例5：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U～Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？
分析：
如何完成：
（1）“要完成的一件事”：
“分步”
“给程序模块命名”
第1步：选首字符，
第2步：选中间字符，
第3步：选最后一个字符，
N=m1×m2×m3=13×9×9=1053
两个计数原理的综合应用
m1=7+6=13种；
m2=9种；
m3=9种；
注意：后面两个字符可以重复
例6：电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成。
两个计数原理的综合应用
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符?
分析：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
2种
第3位
第8位
......
2种
2种
2种
如何完成：
“要完成的一件事”：
“分步”
“确定一个字节各二进制上的数字”
N=28=256
例6：电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成。
两个计数原理的综合应用
（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?
分析：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
2种
第3位
第8位
......
2种
2种
2种
256*256=65536
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
2种
第3位
第8位
......
2种
2种
2种
例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
两个计数原理的实际应用
如何完成：
“要完成的一件事”：
“分步”
“开始 A 结束”
第1步：开始 A
第2步：
A 结束”
例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
两个计数原理的实际应用
“开始 A 结束”
例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
解：整个模块的执行路径条数共为：91×81=7371.
先分别单独测试5个模块，总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172.
测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为：3×2=6.
N=172+6=178
两个计数原理的实际应用
例8：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如下图）.
鲁R·JR007
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
例9：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如下图）.
鲁R·JR007
解：根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张。
根据分类加法计数原理，这类号牌张数共为：
240000+240000+240000+240000+240000=1200000.
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
例9：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如下图）.
鲁R·JR007
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第b位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为：24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为：76000×10=5760000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为
576000×10=5760000.
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为：100000+1200000+5760000=7060000.
课堂小结
我们今天都学到了什么？
2.把握好解题的关键——要“完成的一件事”是什么？
1.复习巩固了两个计数原理；
3.能够综合利用两个计数原理解决简单的综合应用问题.
（1）课本第7页 1.2.3.4.5
（2）课本第7页 1.2.3.4