5.3.2 函数的极值与最大(小）值（2）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件（13张PPT）

5.3.2 函数的极值
与最大（小）值（二）
1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；2．初步掌握求函数最值的方法；3．体会数形结合、化归转化的数学思想．
复习引入
如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；
解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：
如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；
1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
2.函数最大值和最小值的概念：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值；
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（2）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值 。
问题1：找出函数y=f(x)的在区间[a,b]内极大值、极小值：
追问1：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?
极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)
极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)
最大值：f(a);最小值：f(x3)
x
y
O
问题2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
a
b
y=f(x)
x
y
O
a
b
X2
X1
X3
X4
X5
y=g(x)
最大值：f(b);最小值：f(a)
最大值：f(x3);最小值：f(x4)
一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x)的图像是一条连续曲线,它必有最大值和最小值;
追问1：函数最值与极值有什么关系？
联系：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值。
区别：
1、函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的。
2、函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个。
3、极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值。
追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？
因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值（最值有可能在区间端点处取得）。
解：因为
x
(0,2)
2
(2,3)
y′



y

令 , 解得x1=-2 , x2=2.
单调递减
-4/3
+
－
0
所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，
当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值- 4/3.
例1:求
在[0,3]的最大值与最小值；
又因为f(0)=4,f(3)=1
单调递增
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
解：（1）因为
x

y′



y

令 解得x= .
单调递减
+
－
0
所以,当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值20，
当x= 时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值 .
练习1:求下列函数在给定区间上的最大值与最小值；
又因为f(0)=-2,f(2)=20
单调递增
解：（2）因为
x

y′



y

令 解得 .
单调递减
+
－
0
所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值22，
当x= 时，函数f(x)在 上取得最小值 .
练习1:求下列函数在给定区间上的最大值与最小值；
又因为
单调递增
课堂小结
1.最大（小）值的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值；
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（2）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值 。
2.最大（小）值与函数极值的区别与联系
只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值。
课堂小结
3.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．