5.3.1 函数的单调性（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件（15张PPT）

5.3.1 函数的单调性（一）
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。
问题1:我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述函数f(x)在区间 I 上是单调递增的吗？
(1)如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么f(x)在区间I上是单调递增的。
追问1：用定义法判断函数单调性的步骤？
（1）在给定区间内任取x1，x2，x1(2)如果函数f(x)在区间I是从左到右上升的，那么f(x)在区间I上是是单调递增的。
（3）如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1追问2：如果函数f(x)的图象在区间I是从左到右上升的，且x0∈I，那么我们说函数f(x)在 x=x0 处是单调递增的，这种说法正确吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法：
增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
2.图像法：
3.性质法:
4.导数法
问题3:图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=-9.8t+4.8的图象，
从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间，运动员离水面的高度发生什么变化？
a
b
t
h
O
a
b
t
v
O
(1)
(2)
追问1：你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系？
在区间（0，a）上，h(t)是单调递增的，相应的v(t)=h'(t)>0
在区间（a，b）上，h(t)是单调递减的，相应的v(t)=h'(t)<0
追问2：在高台跳水运动员问题中，可以用函数导数的正负判断函数的单调性， 那么这种做法是否具有一般性？
x
y
o
x
y
o
y
o
x
y
o
x
函数在R上
（-∞，0）
（0，+∞）
函数在R上
（-∞，0）
（0，+∞）
导数f ?(x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
f ?(x0)>0
f ?(x1)<0
f (x)在x1附近↘
f (x)在x0附近↗
切线“左下右上”
切线“左上右下”
追问3：如何从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系？
一般地，函数f(x)的单调性与导数f'(x)的正负之间有如下关系：
结论：
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；
思考：如果在某个区间上，恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特征？
函数f(x)是常值函数。
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解析:
(1) 因为 ,
因此, 函数 在R上单调递增.
(2) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递减.
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解析:
(3) 因为
因此, 函数 在区间 和 上单调递增.
小结
判断函数单调性的一般步骤：
注意：
(1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）。
(2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
(1)求函数的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
例2 已知导函数 的下列信息，试画出函数 的图象的大致形状.
当1 < x < 4 时,
当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,
x
y
O
1
4
解:
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.
当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减;
课堂小结
2） 用导数判断函数单调性的步骤；
3）应用导数判断函数图象；
1） 函数的单调性与导数的正负的关系；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；
(1)求函数的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
课本87 练习1-3