5.3.1 函数的单调性（2）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件（22张PPT）

(共21张PPT)
5.3.1函数的单调性（二）
复习引入
函数的单调性与其导函数的正负的关系：
问题1：判断函数单调性的方法有哪些
增+增→增，减+减→减， （-1）增→减，复合函数单调性同增异减
1.定义法：
2.图像法：
3.性质法 :
4.导数法：
如果对于区间
内的任意两个值
，
时，都有
，
在区间
上单调递增。
当
则
结论：在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有则为常数函数
判断函数y＝f (x)的单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；解集即为f(x) 的单调递增（或递减）区间;
问题2:判断以下函数的单调性？
(1)
(2)
解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得
令 ，
解得 x<2；
令 ，
解得 x>2
所以，f(x)在 上单调递减，在 单调递增。
(2)
(1)
解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得
令 ，
解得 x<0；
令 ，
解得 x>0
所以，f(x)在 上单调递减，在 单调递增。
；
；
例1： 求函数 的单调区间.
问题3:如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得
令 ，
解得 x<-1，或x>2
注：单调区间是定义域的子集
法一
令 ，解得-1所以 在
单调递增，在上单调递减。
例1： 求函数 的单调区间.
解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得
令 ，
x
x=-1和x=2把定义域分成了三个区间， 的正负，以及f(x)的单调性如表所示：
单调
递增
单调
递增
单调
递减
解得 x=-1，或x=2
问题3:如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
法二
x
0 0
单调
递增
单调
递增
单调
递减
所以，f(x)在 和 上单调递增，
在 单调递减。
例1： 求函数 的单调区间.
问题3:如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
追问1：如果不用导数的方法，直接运用函数的单调性的定义求解？运算过程麻烦吗？
函数单调性的定义
例1： 求函数 的单调区间.
问题3:如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
小结:
（1）定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
（2）如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
2、利用导数解决单调性问题需要注意的问题：
1、判断函数y＝f (x)的单调性的一般步骤：
前提，容易忽视.
使 的实数 x.
练习1： 求函数 的单调区间.
令 ，
x
x=-1和x=2把定义域分成了三个区间， 的正负，以及f(x)的单调性如表所示：
单调
递增
单调
递减
解得 x=-1，或x=2
解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得
单调
递减
所以，f(x)在 和 上单调递减，
在 单调递增。
练习1： 求函数 的单调区间.
x
单调
递增
单调
递减
单调
递减
小结：形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性
问题4：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？
设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”；
观察——猜想——验证——结论——应用
问题4：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？
设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”；
函数图像较“陡峭”。
推理证明
就是函数 的图象在点 处的切线的斜率.
导数在某一范围内绝对值较大
函数图像在这一范围内各点处切线的斜率较大，
在各点附近，曲线可由切线近似代替（“以直代曲”思想），
问题4：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？
问题4：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？
设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”；
解：因为
所以
当x>1时，
当x=1时，
当0所以，f(x),g(x)在 上都是增函数。在区间（0,1）上，
g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间 ，
g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。
;
所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。
课堂小结
1、判断函数y＝f (x)的单调性的一般步骤：
法一：
法二：
(1)求函数的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；解集即为f(x) 的单调递增（或递减）区间;
课堂小结
2、
函数变化快慢与导数的关系：
设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”；
观察——猜想——验证——结论——应用
3.研究方法：
作业
2、课本P89 练习1-3
1、利用导数定量的刻画“直线上升”、”对数增长“、
”指数爆炸“，这三种增长方式。