2020--2021学年九年级数学人教版下册 第二十七章 《相似》 常考题强化练习（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2020--2021学年九年级数学人教版下册 第二十七章 《相似》 常考题强化练习（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 188.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-22 17:04:06 | ||
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文档简介
2020--2021学年九年级下册数学第二十七章 《相似》
常考题强化练习（一）
1．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
2．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）证明△DPC∽△AEP；
（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．
5．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）求DH长度．
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF：DC＝1：4，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为10，求BG的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．
9．小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
10．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
（3）若＝，请求出的值．
参考答案
1．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
2．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
3．解：（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1＝∠3，
又∠A＝∠D＝90°，
∴△DPC∽△AEP．
（2）∵∠2＝30°，CD＝4，
∴PC＝8，PD＝，
又∵AD＝10，
∴AP＝AD﹣PD＝10﹣4，
由（1），得＝10﹣12；
（3）存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，
∵相似三角形周长的比等于相似比，设＝2，
解得DP＝8．
4．解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，
∴△BCG∽△EDG，
∴，即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14，
∴这座建筑物的高BC为14米．
5．解：（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠A＝∠HDC，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H，
∴△HCD∽△HDB；
（2）∵DH∥AB，
∴＝，
∵AC＝3CD，
∴＝，
∴CH＝1，
∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴＝，
∴DH2＝4×1＝4，
∴DH＝2（负值舍去）．
答：DH的长度为2．
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵AE＝ED，DF：DC＝1：4，
∴AE＝DE＝AD＝AB，DF＝CD＝AD，
∵，＝
∴，且∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF
（2）∵CB＝AD＝CD＝10，
∴AE＝DE＝5，DF＝，CF＝
∵AD∥BC
∴△DEF∽△CGF
∴，即
∴CG＝15
∴BG＝BC+CG＝10+15＝25
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．
8．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB?AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝AB＝，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
∴＝＝，
∴＝．
9．解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD，
在Rt△OEN中，ON＝＝30（cm），
过点A作AM⊥BD于点M，
同理可证：EF∥BD，
∴∠ABM＝∠OEN，则Rt△OEN∽Rt△ABM，
∴＝，AM＝＝120（cm），
所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．
10．解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（3）∵＝，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴＝，
∴＝＝．
常考题强化练习（一）
1．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
2．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）证明△DPC∽△AEP；
（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．
5．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）求DH长度．
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF：DC＝1：4，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为10，求BG的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．
9．小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
10．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
（3）若＝，请求出的值．
参考答案
1．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
2．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
3．解：（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1＝∠3，
又∠A＝∠D＝90°，
∴△DPC∽△AEP．
（2）∵∠2＝30°，CD＝4，
∴PC＝8，PD＝，
又∵AD＝10，
∴AP＝AD﹣PD＝10﹣4，
由（1），得＝10﹣12；
（3）存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，
∵相似三角形周长的比等于相似比，设＝2，
解得DP＝8．
4．解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，
∴△BCG∽△EDG，
∴，即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14，
∴这座建筑物的高BC为14米．
5．解：（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠A＝∠HDC，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H，
∴△HCD∽△HDB；
（2）∵DH∥AB，
∴＝，
∵AC＝3CD，
∴＝，
∴CH＝1，
∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴＝，
∴DH2＝4×1＝4，
∴DH＝2（负值舍去）．
答：DH的长度为2．
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵AE＝ED，DF：DC＝1：4，
∴AE＝DE＝AD＝AB，DF＝CD＝AD，
∵，＝
∴，且∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF
（2）∵CB＝AD＝CD＝10，
∴AE＝DE＝5，DF＝，CF＝
∵AD∥BC
∴△DEF∽△CGF
∴，即
∴CG＝15
∴BG＝BC+CG＝10+15＝25
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．
8．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB?AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝AB＝，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
∴＝＝，
∴＝．
9．解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD，
在Rt△OEN中，ON＝＝30（cm），
过点A作AM⊥BD于点M，
同理可证：EF∥BD，
∴∠ABM＝∠OEN，则Rt△OEN∽Rt△ABM，
∴＝，AM＝＝120（cm），
所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．
10．解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（3）∵＝，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴＝，
∴＝＝．